《二次函数的图像和性质》教学设计
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当抛物线开口向下时，在对称轴左侧，函数值随$x$的增 大而增大；在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而减小。
05
二次函数的应用举例
最值问题
引入最值概念
通过实际问题的例子，如最大利 润、最小成本等，引入最值的概 念，并说明最值与二次函数的关
系。
求解最值
通过配方或公式法将二次函数化为 顶点式，从而找到函数的最大值或 最小值。同时，也可以通过观察函 数的图像来确定最值。
顶点
抛物线的顶点位于对称轴上，对于一般形式的二次函数，顶点坐标可以通过公式 $(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a})$求得。对于顶点式的二次函数，顶点坐标直接 为$(h,k)$。
抛物线与坐标轴的交点
与$x$轴的交点
令$y=0$，解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，得到抛物线与$x$轴的交点横坐标。若方程有两个实数根，则抛 物线与$x$轴有两个交点；若方程有一个重根，则抛物线与$x$轴有一个交点；若方程无实数根，则抛物线与$x$ 轴无交点。
宽度
由二次项系数的绝对值 $|a|$决定，$|a|$越大，抛 物线越窄；$|a|$越小，抛 物线越宽。
顶点位置
由顶点式$y=a(xh)^2+k$中的$h$和$k$决 定，顶点坐标为$(h,k)$。
抛物线的对称轴和顶点
对称轴
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$ 。对于顶点式的二次函数$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$。
02
二次函数是一种非线性函数，其 图像是一个抛物线。
二次函数的一般形式
二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是 常数，且 $a neq 0$。
在这个形式中，$a$ 控制抛物线的开 口方向和宽度，$b$ 控制抛物线的对 称轴位置，$c$ 控制抛物线与 $y$ 轴 的交点位置。
过程与方法
通过探究、观察、归纳等 教学活动，培养学生的数 学思维和解决问题的能力 。
情感态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣 ，培养学生的数学素养和 审美情趣。
教学内容
01
02
03
04
二次函数的概念及标准 形式；
二次函数的图像及其性 质；
二次函数的最大值和最 小值问题；
二次函数在实际问题中 的应用。
06
教学方法与手段
教学方法
讲授法
01
通过教师的系统讲解，使学生掌握二次函数的基本概念、图像
特征以及性质。
讨论法
02
组织学生进行小组讨论，探讨二次函数的图像变化规律和性质
，激发学生的学习兴趣和主动性。
直观演示法
03
利用多媒体技术展示二次函数的图像动态变化过程，帮助学生
形成直观印象。
教学手段
1 2 3
教学重点与难点
教学重点
二次函数的图像和性质，以及在 实际问题中的应用。
教学难点
如何引导学生通过观察、归纳等 方法自主发现二次函数的性质， 以及如何运用二次函数的性质解 决复杂的实际问题。
02
二次函数的基本概念
二次函数的定义
01
二次函数是形如 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
THANKS
感谢观看
为学生提供反馈
及时反馈
在学生完成练习或作业 后，及时给予反馈，指 出错误并提供正确的解 题思路和方法，以便学 生及时调整学习策略。
个性化指导
针对学生的不同需求和 问题，提供个性化的指 导和建议，帮助他们克 服学习困难，提高学习 效果。
鼓励与肯定
对学生的努力和进步给 予充分的鼓励和肯定， 激发他们的学习动力和 自信心，促进他们更好 地发展。
对称轴为 $y$ 轴。
系数 $c$
决定抛物线与 $y$ 轴的交点位置 。当 $x = 0$ 时，$y = c$，即 抛物线与 $y$ 轴的交点是 $(0,
c)$。
03
二次函数的图像
抛物线的基本形状
开口方向
由二次项系数$a$决定， 当$a>0$时，抛物线开口 向上；当$a<0$时，抛物 线开口向下。
学生活动设计
观察与思考
引导学生观察二次函数的图像，思考其形状、开口方向、 顶点、对称轴等特征，培养学生的观察力和思维能力。
动手实践
组织学生进行实验操作，如利用数学软件绘制二次函数图 像，探究其性质，提高学生的实践能力和探究精神。
小组讨论与分享
鼓励学生进行小组讨论，分享自己的发现和思考成果，培 养学生的合作精神和表达能力。同时，通过小组间的交流 ，拓宽学生的思路和视野。
07
教学评价与反馈
设计评价策略
课堂表现观察
观察学生在课堂上的参与度、讨论积极性和思维活跃度，以评估 他们对二次函数图像和性质的理解程度。
练习题完成情况
通过检查学生完成的课堂练习和课后作业，了解他们对知识点的掌 握情况，以及运用所学知识解决问题的能力。
小组合作评价
评估学生在小组合作中的表现，包括分工合作、讨论交流、成果展 示等方面，以了解他们的团队协作能力和沟通技巧。
多媒体课件
制作包含丰富图形和动画的多媒体课件，辅助教 师讲解，使教学内容更加生动形象。
数学软件
利用数学软件（如GeoGebra、Desmos等）进 行二次函数图像的绘制和变换，让学生更加直观 地理解二次函数的性质。
实物模型
准备一些与二次函数图像相关的实物模型，如抛 物线模型等，帮助学生理解抽象概念。
对于顶点形式的二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其顶点坐标 为$(h, k)$。
对称性
二次函数的图像关于对称轴对称；
对称轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
单调性
当抛物线开口向上时，在对称轴左侧，函数值随$x$的增 大而减小；在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而增大；
二次函数的系数与图像关系
系数 $a$
决定抛物线的开口方向和宽度。 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上 ；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向 下。$|a|$ 的大小决定了抛物线 的宽度，$|a|$ 越大，抛物线越 窄；$|a|$ 越小，抛物线越宽。
系数 $b$
与系数 $a$ 共同决定抛物线的对 称轴位置。对称轴方程为 $x = frac{b}{2a}$。当 $b = 0$ 时，
《二次函数的图 像和性质》教学 设计
汇报人：XXX
2024-01-22
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用举例 • 教学方法与手段 • 教学评价与反馈
01
引言
教学目标
01
02
03
知识与技能
使学生掌握二次函数的概 念、图像和性质，能够运 用所学知识解决简单的实 际问题。
应用举例
列举一些与现实生活密切相关的最 值问题，如最大面积、最小距离等 ，让学生运用所学知识进行求解。
区间内的单调性问题
单调性定义
介绍函数单调性的定义，包括增函数 和减函数的定义。
判断单调性
应用举例
列举一些与区间内单调性相关的问题 ，如判断函数在某个区间内是增函数 还是减函数，以及求解函数的单调区 间等。
与$y$轴的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点
令$x=0$，代入二次函数解析式求得$y$值，即为抛物线与$y$轴的交点的纵坐标。
04
二次函数的性质
开口方向
当二次项系数$a > 0$时，抛物线开口向上； 当二次项系数$a < 0$时，抛物线开口向下。
顶点位置
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐 标为$(-frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$；
通过求导或观察二次函数的图像，判 断函数在指定区间内的单调性。
方程的根的问题
方程根的概念
介绍方程根的概念，包括实根和虚根的定义。
求解方程的根
通过因式分解、配方法或公式法等方法，求解一元二次方程的根。 同时，也可以通过观察二次函数的图像来判断方程的根的情况。
应用举例
列举一些与方程根相关的问题，如求解一元二次方程、判断方程根的 情况以及利用方程的根解决实际问题等。
05
二次函数的应用举例
最值问题
引入最值概念
通过实际问题的例子，如最大利 润、最小成本等，引入最值的概 念，并说明最值与二次函数的关
系。
求解最值
通过配方或公式法将二次函数化为 顶点式，从而找到函数的最大值或 最小值。同时，也可以通过观察函 数的图像来确定最值。
顶点
抛物线的顶点位于对称轴上，对于一般形式的二次函数，顶点坐标可以通过公式 $(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a})$求得。对于顶点式的二次函数，顶点坐标直接 为$(h,k)$。
抛物线与坐标轴的交点
与$x$轴的交点
令$y=0$，解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，得到抛物线与$x$轴的交点横坐标。若方程有两个实数根，则抛 物线与$x$轴有两个交点；若方程有一个重根，则抛物线与$x$轴有一个交点；若方程无实数根，则抛物线与$x$ 轴无交点。
宽度
由二次项系数的绝对值 $|a|$决定，$|a|$越大，抛 物线越窄；$|a|$越小，抛 物线越宽。
顶点位置
由顶点式$y=a(xh)^2+k$中的$h$和$k$决 定，顶点坐标为$(h,k)$。
抛物线的对称轴和顶点
对称轴
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$ 。对于顶点式的二次函数$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$。
02
二次函数是一种非线性函数，其 图像是一个抛物线。
二次函数的一般形式
二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是 常数，且 $a neq 0$。
在这个形式中，$a$ 控制抛物线的开 口方向和宽度，$b$ 控制抛物线的对 称轴位置，$c$ 控制抛物线与 $y$ 轴 的交点位置。
过程与方法
通过探究、观察、归纳等 教学活动，培养学生的数 学思维和解决问题的能力 。
情感态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣 ，培养学生的数学素养和 审美情趣。
教学内容
01
02
03
04
二次函数的概念及标准 形式；
二次函数的图像及其性 质；
二次函数的最大值和最 小值问题；
二次函数在实际问题中 的应用。
06
教学方法与手段
教学方法
讲授法
01
通过教师的系统讲解，使学生掌握二次函数的基本概念、图像
特征以及性质。
讨论法
02
组织学生进行小组讨论，探讨二次函数的图像变化规律和性质
，激发学生的学习兴趣和主动性。
直观演示法
03
利用多媒体技术展示二次函数的图像动态变化过程，帮助学生
形成直观印象。
教学手段
1 2 3
教学重点与难点
教学重点
二次函数的图像和性质，以及在 实际问题中的应用。
教学难点
如何引导学生通过观察、归纳等 方法自主发现二次函数的性质， 以及如何运用二次函数的性质解 决复杂的实际问题。
02
二次函数的基本概念
二次函数的定义
01
二次函数是形如 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
THANKS
感谢观看
为学生提供反馈
及时反馈
在学生完成练习或作业 后，及时给予反馈，指 出错误并提供正确的解 题思路和方法，以便学 生及时调整学习策略。
个性化指导
针对学生的不同需求和 问题，提供个性化的指 导和建议，帮助他们克 服学习困难，提高学习 效果。
鼓励与肯定
对学生的努力和进步给 予充分的鼓励和肯定， 激发他们的学习动力和 自信心，促进他们更好 地发展。
对称轴为 $y$ 轴。
系数 $c$
决定抛物线与 $y$ 轴的交点位置 。当 $x = 0$ 时，$y = c$，即 抛物线与 $y$ 轴的交点是 $(0,
c)$。
03
二次函数的图像
抛物线的基本形状
开口方向
由二次项系数$a$决定， 当$a>0$时，抛物线开口 向上；当$a<0$时，抛物 线开口向下。
学生活动设计
观察与思考
引导学生观察二次函数的图像，思考其形状、开口方向、 顶点、对称轴等特征，培养学生的观察力和思维能力。
动手实践
组织学生进行实验操作，如利用数学软件绘制二次函数图 像，探究其性质，提高学生的实践能力和探究精神。
小组讨论与分享
鼓励学生进行小组讨论，分享自己的发现和思考成果，培 养学生的合作精神和表达能力。同时，通过小组间的交流 ，拓宽学生的思路和视野。
07
教学评价与反馈
设计评价策略
课堂表现观察
观察学生在课堂上的参与度、讨论积极性和思维活跃度，以评估 他们对二次函数图像和性质的理解程度。
练习题完成情况
通过检查学生完成的课堂练习和课后作业，了解他们对知识点的掌 握情况，以及运用所学知识解决问题的能力。
小组合作评价
评估学生在小组合作中的表现，包括分工合作、讨论交流、成果展 示等方面，以了解他们的团队协作能力和沟通技巧。
多媒体课件
制作包含丰富图形和动画的多媒体课件，辅助教 师讲解，使教学内容更加生动形象。
数学软件
利用数学软件（如GeoGebra、Desmos等）进 行二次函数图像的绘制和变换，让学生更加直观 地理解二次函数的性质。
实物模型
准备一些与二次函数图像相关的实物模型，如抛 物线模型等，帮助学生理解抽象概念。
对于顶点形式的二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其顶点坐标 为$(h, k)$。
对称性
二次函数的图像关于对称轴对称；
对称轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
单调性
当抛物线开口向上时，在对称轴左侧，函数值随$x$的增 大而减小；在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而增大；
二次函数的系数与图像关系
系数 $a$
决定抛物线的开口方向和宽度。 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上 ；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向 下。$|a|$ 的大小决定了抛物线 的宽度，$|a|$ 越大，抛物线越 窄；$|a|$ 越小，抛物线越宽。
系数 $b$
与系数 $a$ 共同决定抛物线的对 称轴位置。对称轴方程为 $x = frac{b}{2a}$。当 $b = 0$ 时，
《二次函数的图 像和性质》教学 设计
汇报人：XXX
2024-01-22
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用举例 • 教学方法与手段 • 教学评价与反馈
01
引言
教学目标
01
02
03
知识与技能
使学生掌握二次函数的概 念、图像和性质，能够运 用所学知识解决简单的实 际问题。
应用举例
列举一些与现实生活密切相关的最 值问题，如最大面积、最小距离等 ，让学生运用所学知识进行求解。
区间内的单调性问题
单调性定义
介绍函数单调性的定义，包括增函数 和减函数的定义。
判断单调性
应用举例
列举一些与区间内单调性相关的问题 ，如判断函数在某个区间内是增函数 还是减函数，以及求解函数的单调区 间等。
与$y$轴的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点
令$x=0$，代入二次函数解析式求得$y$值，即为抛物线与$y$轴的交点的纵坐标。
04
二次函数的性质
开口方向
当二次项系数$a > 0$时，抛物线开口向上； 当二次项系数$a < 0$时，抛物线开口向下。
顶点位置
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐 标为$(-frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$；
通过求导或观察二次函数的图像，判 断函数在指定区间内的单调性。
方程的根的问题
方程根的概念
介绍方程根的概念，包括实根和虚根的定义。
求解方程的根
通过因式分解、配方法或公式法等方法，求解一元二次方程的根。 同时，也可以通过观察二次函数的图像来判断方程的根的情况。
应用举例
列举一些与方程根相关的问题，如求解一元二次方程、判断方程根的 情况以及利用方程的根解决实际问题等。