方向导数

第八章第七节
方向导数与梯度
,
P
l
ϕ
P l
α
T l
z =f (x ,y )•
M
ρ
本质上，方向导数
计算可归结为一元
函数导数计算
14 1414
)e ()
()e (i i f i i
f l l r r
r r
r −=−∂∂=∂∂存在，且
时，当i l r r =e ;
x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(x
f i f ∂∂−=−∂∂
)e ()
()e (i i f
i i
f
l l r r r r −=−∂∂=∂∂存在
可微
可偏导
沿任意方向的方向导数存在
处沿任意方向在)0,0(),(2
2y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1
o
α=5π/4
的方向导数达
沿梯度相反方向，
∂f ∂l
取得最小值： min (∂f ) = l ∂l
− grad
f (x, y)
≤
0
f ( x, y)减小最快 .
方向：是函数值增加最快的方向 grad f :
模 : 等于函数的方向导数最大值
2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)
grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z
类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.


例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)
处的梯度。

解
grad u
M
= ⎜⎛ ⎝
∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z
⎟⎞ ⎠
(1,2,−2)
令r=
x2 +
y2 + z2,
则
∂u = ∂x
1 r2
⋅ 2x
注意 x , y , z 具有轮换对称性
= ⎜⎛ ⎝
2 r
x
2
,
2 r
y
2
,
2z r2
⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)
= 2 (1, 2, − 2) 9


3. 梯度的几何意义
(1) 等高线
z
对函数 z = f ( x, y),
曲线
⎧ ⎨ ⎩
z z
= =
f c
(
x,
y)
x
o
y
L*
在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c
称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .




z z =2−(x2+y2)
z =c2
y
grad f ( x, y)
o x
z =c1
y
f (x, y) =c1 f (x, y) =c2
o x
(c1 < c2 )


(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量
等高线 L∗：f ( x, y) = c
⎩⎨⎧
x y
= =
x y(
x)
L∗在点 P ( x, y)处的切向量：
r T
=
{1,
d y } = {1, −
fx }
dx
fy
=
1 fy
{
fy,
−
fx}
( fy ≠ 0)
L∗在点 P ( x , y )处的法向量：
nr = ± { f x , f y }
(
nr ⋅
r T
=
0
)


(3) 等高线上的法向量与梯度的关系
L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则
① nr // grad f ( x, y)
②
∂f
=
grad
f ( x, y) cos(grad
f
(
x
,
y
)
∧
,
nr)
∂n = ± grad f ( x, y)
= 0或π
当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，
∂f ∂n
=
grad
f
(x,
y)
=
max
l
∂f ∂l


当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，
∂f = ∂n
grad
f
(
x
,
y
)
=
max
l
∂f ∂l
≥0
沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.
故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从
数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度
的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．


梯度为等高线上
y
f ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，
P
其指向为：从数
值较低的等高线
f ( x, y) = c1
到数值较高的等
o
x
高线.
(c1 < c2 )
f (x, y) = c
等高线


同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)
f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.


类似地,
设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.
4. 梯度的基本运算公式
grad (1)r
=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=u
u f u f grad )()(grad (5)′=
5. 梯度的应用
梯度的应用非常广泛，如：
(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：
U k q grad −=r
(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；
(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：
E r
u
E grad −=r
这说明场强:垂直于等位面,
且指向电位减少的方向.
),z y 沿方向l (γz
f
βcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为
可微时方可用。