用MATLAB求极值

用MATLAB求极值
灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。

例3.6.1 求
2
2
344
1
x x
y
x x
++
=
++
的极值
解首先建立函数关系：
s yms s
y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：
dy=diff(y); ↙
xz=solve(dy) ↙
xz=
[0] [-2]
知道函数有两个驻点x
1=0和x
2
=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：
d2y=diff(y,2); ↙
z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=
-2
z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=
2/9
于是知在x
1=0处二阶导数的值为z
1
=-2,小于0，函数有极大值；在x
2
=-2处二阶导数的
值为z
2
=2/9，大于0，函数有极小值。

如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：
y
1
=limit(y,x,0) ↙
y
1
=
4
y
2
=limit(y,x,-2) ↙
y
2
=
8/3
事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。

而借助MATLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。

例3.6.2画出上例中函数的图形
解syms x ↙
y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形
ezplot(y) ↙
如何用MATLAB求函数的极值点和最大值
比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？
求极值：
syms x y
>> y=x^3+x^2+1
>> diff(y) %求导
ans =
3*x^2 + 2*x
>> solve(ans)%求导函数为零的点
ans =
-2/3
极值有两点。

求最大值，既求-y的最小值：
>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)
f = @(x)(-x^3-x^2-1)
>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找
Warning: Gradient must be provided for trust-region method;
using line-search method instead.
> In fminunc at 354
Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.
x =
-0.6667
>> f(x)
ans =
-1.1481
在规定范围内的最大值是1.1481
由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。

求全局最值要用遗传算法。

如何用matlab求多元函数的极值
求在0<x<pi/2, 0<y< pi/2内的极大值
当X=pi/3 y=pi/3 z有极大值3/8*3^(1/2)
%定义二元函数
clc;clear;
syms x y;
z=sin(x)*sin(y)*sin(x+y);
ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,pi/2]);%画三维图见补充部分
dzx=diff(z,x) %求解驻点
dzy=diff(z,y)
dzx =
cos(x)*sin(y)*sin(x+y)+sin(x)*sin(y)*cos(x+y)
>> dzy=diff(z,y)
dzy =
sin(x)*cos(y)*sin(x+y)+sin(x)*sin(y)*cos(x+y)
>>
[xx,yy]=solve('cos(x)*sin(y)*sin(x+y)+sin(x)*sin(y)*cos(x+y)=0',... 'sin(x)*cos(y)*sin(x+y)+sin(x)*sin(y)*cos(x+y)=0','x','y')
%%%'x','y'可以不用？
A=diff(z,x,2); %对于定义域内的驻点求解二阶偏导函数
B=diff(diff(z,x),y);
C=diff(z,y,2);
D=A*C-B^2;
%判别极大值点
D1=subs(subs(D,'x',xx(1)),'y',yy(1))%% subs含义见补充部分A1=subs(subs(A,'x',xx(1)),'y',yy(1))
D2=subs(subs(D,'x',xx(2)),'y',yy(2))
A2=subs(subs(A,'x',xx(2)),'y',yy(2))
%极大值点和极大值
[xx(2) yy(2)]
JDZ=subs(subs(z,'x',xx(2)),'y',yy(2))
程序运行结果
ans =
[ 1/3*pi, 1/3*pi]
JDZ =
3/8*3^(1/2)
补充
matlab中的绘图函数很多，三维的有好几个呢，下面我给出两种绘制方法
1.使用ezmesh或者ezsurf这两个函数是简易绘图函数，可以直接使用字符串绘图ezmesh('x*y-(1/3)*(x^3)+1/4*((x^2)*(sqrt(2*(x^2-y*2))))-1/2*(y*(sqrt(2*(x^2-y*2))))')
2.先计算坐标点数据，再绘图，可以使用mesh和surf函数
[x,y]=meshgrid(0:0.1:10);
z=x.*y-(1/3)*(x.^3)+1/4*((x.^2).*(sqrt(2*(x.^2-y*2))))-1/2*(y.*(sqrt(2*(x.^2-y*2))));
z(imag(z)~=0)=nan;
mesh(x,y,z)
subs是赋值函数，用数值替代符号变量
替换函数
例如: 输入subs(a+b,a,4) 意思就是把a用4替换掉，返回4+b
也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])
分别用字符alpha替换a和2替换b，返回cos(alpha)+sin(2)
用法很灵活，仔细看帮助，会得到你想要的形式的
matlab subs如何用
悬赏分：0 - 解决时间：2008-12-3 17:36
在解一个模型，其中：
Qd=(-2*x-2*wd+2*a-a*k+y*k+wf*k+td*k)/(4*b-2*b*k^2)
现在求出来
x = 1/2*(48*a+32*k+16*wd-16*cdu-4*wf*k-4*td*k-12*a*k-10*a*k^2+td*k^3-8*k^3+4*k ^2*cdu-4*k*cfu+cfu*k^3+3*a*k^3-6*wd*k^2+wf*k^3)/(5*k^2-16)
y = (-8*a+a*k^2-2*wd*k+10*a*k+8*wf-3*wf*k^2-3*td*k^2+2*cfu*k^2+4*k^2+8*td-8*cf u-2*k*cdu)/(5*k^2-16)
要把x和y代回Qd，请教达人，用matlab的subs怎么写啊？
万分感谢！
问题补充：
Qd=(-2*x1-2*wd+2*a-a*k+y1*k+wf*k+td*k)/(4*b-2*b*k^2)
x1=1/2*(48*a+32*k+16*wd-16*cdu-4*wf*k-4*td*k-12*a*k-10*a*k^2+td*k^3-8*k^3+4*k^ 2*cdu-4*k*cfu+cfu*k^3+3*a*k^3-6*wd*k^2+wf*k^3)/(5*k^2-16)
y1=(-8*a+a*k^2-2*wd*k+10*a*k+8*wf-3*wf*k^2-3*td*k^2+2*cfu*k^2+4*k^2+8*td-8*cfu -2*k*cdu)/(5*k^2-16)
subs(Qd,{x1,y1},{x,y})
以上输入之后报错为：Undefined function or variable 'x1'.
请问是哪里除了问题？
提问者：nxdviola - 一级最佳答案
syms x1,y1 Qd
Qd=(-2*x1-2*wd+2*a-a*k+y1*k+wf*k+td*k)/(4*b-2*b*k^2)
subs(Qd,{x1,y1},{x,y})
为何Matlab用subs后给出的结果是个代数式而不是数字？
悬赏分：0 - 解决时间：2009-10-8 22:16
使用d=subs(f4,{x,y,z},{2,3,1})后，
结果给出了一个很长的代数式，里面有pi和atan,但都没有计算，为什么不给出一个最终的数字结果？
提问者：再见长江- 二级最佳答案
subs函数就是替换符号表达式的函数，要计算需要用eval函数
急询：Matlab中subs（S）的应用疑问？
悬赏分：5 - 解决时间：2006-6-29 12:57
急询：Matlab中subs（S）的应用疑问？
1.subs（S）到底是什么函数？其什么作用，谢谢！
2.下段绘图程序如下的话就画出不来：
syms x t;
t=0:pi/60:2*pi;
y1=int(sin(x),x,0,t);
y2=int(cos(x),x,0,t);
plot(y1,y2)
而把plot(y1,y2) 改成plot(subs(y1),subs(y2)) 就可以运行成功画出来了。

（1）为什么？
（2）subs 在此起到什么作用？
（3）而不加subs 为什么运行不了，画不出来
急，多谢！
(上次提问时候把y1写成y1=sin(x)了，现在改为int(sin(x),x,0,t); 抱歉)
问题补充：
(上次提问时候把y1写成y1=sin(x)了，现在改为int(sin(x),x,0,t);
抱歉)
请具体讲一下subs（S）到底是什么意思？（我知道subs（f，x，t）是什么意思，但我不明白sub（S）在此到底具体是什么意思？请详细一下，谢谢！）
提问者：wanglicun - 二级最佳答案
subs（S）的意思是：
S以前是sym变量，subs（S）为double变量，plot只能对double变量作图。

曲线极值的标注：用matlab 中plot 绘制的曲线时，把曲线上峰值的大小标注在上面
你指的是离散点的最大和最小值吧？给你个简单的例子看看： 求函数),(y x f z =极值的一般步骤：
第一步 解方程组,0),(=y x f x 0
),(=y x f y 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点),(00y x ，
求出二阶偏导数的值A 、B 、C .
第三步 定出2
B A
C -的符号，再判定是否是极值.
代码:x=0:pi/50:2*pi; y=sin(x);
y1=max(y);
x1=x(find(y==y1)); y2=min(y);
x2=x(find(y==y2)); plot(x,y);
hold on
plot(x1,y1,'r*');
plot(x2,y2,'g*');
离散数据就极值点
%方法一
x=0:0.01:20;
y=2*sin(x/2)+cos(2*x)/2;
% indmax=find(diff(sign(diff(y)))<0)+1;%极大值点% indmin=find(diff(sign(diff(y)))>0)+1;%极小值点ind=find(diff(sign(diff(y)))~=0)+1;%极值点
plot(x,y,x(ind),y(ind),'ro')
%方法二
x=0:0.01:20;
y=2*sin(x/2)+cos(2*x)/2;
indmax=intersect(find(diff(y)>0)+1,find(diff(y)<0));%极大值点indmin=intersect(find(diff(y)<0)+1,find(diff(y)>0));%极小值点
plot(x,y,x(indmax),y(indmax),'ro',x(indmin),y(indmin),'go')
%方法三
x=0:0.01:20;
y=2*sin(x/2)+cos(2*x)/2;
yf=y(2:end-1)-y(1:end-2); %前向差分
yb=y(2:end-1)-y(3:end);%后向差分
I=find(yf.*yb>=0)+1;%寻找极值点(不考虑首尾两点) plot(x,y,'b',x(I),y(I),'r*');
function [zhudian,n]=T jizhi(x,y,z,J)
ezsurf(x,y,z,J);
dx=diff(z,x);
dy=diff(z,y);
zhudian=solve('dx=0','dy=0','x','y');
zhudian=zhudian';
n=length(zhudian)
d2y=diff(dy);。