2020-2021学年浙江省杭州外国语学校高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省杭州外国语学校高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）椭圆223412x y +=的焦点坐标为( ) A ．(1,0)±
B ．(0,1)±
C ．(7±，0)
D ．(0,7)±
2．（3分）在空间直角坐标系中，已知(1M -，0，2)，(3N ，2，4)-，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是( ) A ．(1，1，1)-
B ．(1-，1，1)-
C ．(1，1-，1)-
D ．(1，1，1)
3．（3分）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的余弦值为( ) A ．
1
2
B ．
33
C ．
22
D ．
32
4．（3分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该柱体的体积（单位：3)cm 是( )
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
5．（3分）方程||||2x y +所表示的曲线大致形状为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（3分）已知曲线22:1C mx ny +=．则下列命题不正确的是( ) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B ．若0m n =>，则
C 是圆，其半径为m
C ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为m
y x n
=±- D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线
7．（3分）已知焦点在x 轴上的椭圆方程为22
2141
x y a a +=-，
随着a 的增大该椭圆的形状( ) A ．越接近于圆 B ．越扁
C ．先接近于圆后越扁
D ．先越扁后接近于圆
8．（3分）已知以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．32
B ．26
C ．27
D ．42
9．（3分）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是( )
A ．(6π，)3
π
B ．(6π，]2
π
C ．(3π，]2
π
D ．(
3
π
，2)3π
10．（3分）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左
右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为△12PF F 的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为( )
A ．13
B ．
12
C ．
32
D ．
63
二、填空题
11．（3分）双曲线22
143
x y -=的实轴长为 ，渐近线方程是 ．
12．（3分）已知点(,)P x y 在椭圆22
143
x y +=上运动，则2x y +的最大值是 ；点P 到直
线:2100l x y --=的最小距离是 ．
13．（3分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
14．（3分）已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2PA =，1AC BC ==，则三棱锥P ABC -外接球的体积为 ．
15．（3分）若F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 左支上一点，(0,4)A ，则
APF ∆的周长的最小值为 ．
16．（3分）若椭圆22
221x y a b
+=的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆224x y +=的切线，切点分别
为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ． 三、解答题
17．如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，AD 是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BDC ∠=︒．
（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
（2）设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与DB 的夹角的余弦值． 18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为22，且过点(2,1)．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为60︒的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PD =，60DAB ∠=︒． （1）证明：AD PB ⊥；
（2）若6PB =，2AB PA ==，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值．
20．已知焦点在x 轴上椭圆的长轴的端点分别为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为右焦点，且1AF BF ⋅=-，离心率2
e =
． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰好为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省杭州外国语学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）椭圆223412x y +=的焦点坐标为( )
A ．(1,0)±
B ．(0,1)±
C ．(0)
D ．(0,
【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解焦点坐标即可．
【解答】解：椭圆2
2
3412x y +=的标准方程为：22143
x y +=，
所以2a =，b =1c =， 所以椭圆的焦点坐标(1,0)±． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2．（3分）在空间直角坐标系中，已知(1M -，0，2)，(3N ，2，4)-，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是( ) A ．(1，1，1)-
B ．(1-，1，1)-
C ．(1，1-，1)-
D ．(1，1，1)
【分析】求出MN 的中点Q ，由此能求出Q 关于平面xOy 的对称点坐标． 【解答】解：(1M -，0，2)，(3N ，2，4)-， MN ∴的中点(1Q ，1，1)-，
Q ∴关于平面xOy 的对称点坐标是(1，1，1)．
故选：D ．
【点评】本题考查平面的对称点的坐标的求法，考查中点坐标公式、对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（3分）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的余弦值为( )
A ．
1
2
B C D 【分析】画出直观图，作出二面角的平面角，然后求解三角形推出结果即可． 【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，BD 交点为O ，连接1A O ， 几何体是正方体，BD AC ∴⊥，1BD AA ⊥，BD ∴⊥平面1AOA ，可知1BD AO ⊥， 1AOA ∴∠是二面角的平面角，
设正方体的棱长为2，则2AO =，1246AO =+=， 二面角1A BD A --的余弦值为：23
3
6=． 故选：B ．
【点评】本题考查二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 4．（3分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该柱体的体积（单位：3)cm 是( )
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即()()11
4632632722
ABCDE S =
+⨯++⨯=五边形， 高为6，则该柱体的体积是276162V =⨯=． 故选：B ．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．（3分）方程||||2x y +=所表示的曲线大致形状为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】判断曲线在第一象限的形状，即可得到正确的选项． 【解答】解：当0x >，0y >时，方程||||2x y +化为2x y ，
即22(2)(2)y x x =-=-，它是2x y =的图象向右平移2个单位得到，第一象限的部分， 图象为选项D 在第一选项的部分． 故选：D ．
【点评】本题考查曲线与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
6．（3分）已知曲线22:1C mx ny +=．则下列命题不正确的是( ) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B ．若0m n =>，则C
C ．若0mn <，则C
是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线
【分析】通过m ，n 的取值，判断二次曲线表示的方程判断选项的正误即可．
【解答】解：曲线22:1C mx ny +=．0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上，A 正确； 若0m n =>，则C
B 不正确；
若0mn <，则C
是双曲线，其渐近线方程为y =，C 正确； 若0m =，0n >，则C 是21ny =，是两条直线，所以D 正确； 故选：B ．
【点评】本题考查曲线与方程的应用，考查计算能力．
7．（3分）已知焦点在x 轴上的椭圆方程为22
2141
x y a a +=-，
随着a 的增大该椭圆的形状( ) A ．越接近于圆 B ．越扁
C ．先接近于圆后越扁
D ．先越扁后接近于圆
【分析】首先根据椭圆成立的条件求出a 的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的短轴的变化规律，最后确定结果．
【解答】解：椭圆方程22
2141
x y a a +=-为焦点在x 轴上的椭圆方程，
所以：22401041a a a a >⎧⎪
->⎨⎪>-⎩
解得：12a <<由于a
在不断的增大，所以对函数21(12y a a =-<<为单调递增函数． 即短轴中的2
b
在不断增大．即离心率e =不断减小．
所以椭圆的形状越来越接近于圆．
故选：A ．
【点评】本题考查的知识要点：椭圆成立的条件，椭圆中a 、b 、c 的关系及函数的性质的应用．属于基础题型．
8．（3分）已知以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．32
B ．26
C ．27
D ．42
【分析】由题设条件可以求出椭圆的方程是222214
x y a a +=-．
再把椭圆和直线联立方程组，由要根的判别式△0=能够求出a 的值，从而能够求出椭圆的长轴长．
【解答】解：设椭圆长轴长为2a （且2)a >，则椭圆方程为22
2214
x y a a +=-．
由，22
2214340x y a a x y ⎧+
=⎪-⎨⎪++=⎩
得22222(412)83(4)(16)(4)0a y a y a a -+-+--=．
直线与椭圆只有一个交点，∴△0=，即22222192(4)16(3)(16)(4)0a a a a ---⨯-⨯-=． 解得0a =（舍去），2a =（舍去），7a =．∴长轴长227a =． 故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的基本知识及其应用，解题时要注意2a >这个前提条件，不要产生增根．
9．（3分）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是( )
A ．(6π，)3
π
B ．(6π，]2
π
C ．(3π，]2
π
D ．(
3
π
，2)3π
【分析】可设菱形的边长为1，从而由条件可得到3
BE CF ==
，1BD =，根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义可得到11
(),(2)22BE BA BD CF BD BC =+=-，然
后进行向量数量积的运算可求出BE CF ，从而可得到
11
cos ,82cos ,34
BA BC BE CF -<><>=
，而由
1
cos ,12
BA BC -<<><可得
11
cos ,22
BE CF -<<><，
从而可以得到向量
,BE CF 夹角的范围，进而便可得出异面直线BE 与CF 所成角的取值范围．
【解答】解：可设菱形的边长为1，则BE CF ==1BD =； 线段AD ，BD 的中点分别为E ，F ；
∴1()2BE BA BD =+，11
()(2)22
CF CB CD BD BC =+=-；
∴211111
()(2)44242
BE CF BA BD BD BC BA BD BA BC BD BD BC =+-=-+-
111111
cos ,cos ,824482BA BC BA BC =-<>+-=-<>； ∴11
cos ,82cos ,3||||
4
BA BC BE CF BE CF BE CF -<>
<>=
=； 由图看出1
cos ,12BA BC -<<><；
∴11cos ,22BE CF -<<><；
∴
2,3
3
BE CF π
π
<<><
； 即异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,]32ππ
．
故选：C ．
【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，清楚向量夹角的范围，以及异面直线所成角的范围．
10．（3分）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左
右顶点重合的任意一点，
I ，G 分别为△12PF F 的内心和重心，当IG x
⊥轴时，椭圆的离心率为( )
A ．1
3
B ．
12
C D 【分析】如图所示，设0(P x ，0)y ，不妨设00y >．利用三角形重心性质可得0(
3x G ，0)3
y
，
根据IG x ⊥轴，可得0
3
I x x =
．设三角形内切圆的半径为r ．由三角形内切圆的性质可得：011
(22)222r a c c y +=．可得0I cy r y a c ==+．设1PF ，2PF 分别与内切圆相切于点D ，E ．可得1
(22)2PD PE a c a c ==-=-．在Rt PDI ∆中，由勾股定理可得：222PD ID PI +=．化简整
理即可得出．
【解答】解：如图所示，设0(P x ，0)y ，不妨设00y >．
1(,0)F c -，2(,0)F c ．
则0(
3x G ，0)3
y
，IG x ⊥轴，0
3
I x x ∴=
． 设三角形内切圆的半径为r ．
由三角形内切圆的性质可得：011
(22)222r a c c y +=．
解得0cy r a c =
+，0I cy
y a c
∴=+． 设1PF ，2PF 分别与内切圆相切于点D ，E ．
则1
(22)2
PD PE a c a c ==-=-．
在Rt PDI ∆中，由勾股定理可得：222PD ID PI +=．
222200000()(
)()()3cy x cy
a c x y a c a c
∴-+=-+-++， 化为：22
2219()4
x y b a c +=-．
与椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>比较可得：229
()4a a c =-，
3
()2
a a c ∴=-，可得13c a =．
1
3
e ∴=
． 故选：A ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
11．（3分）双曲线22
143
x y -=的实轴长为 4 ，渐近线方程是 ．
【分析】利用双曲线方程求解实轴长以及渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线22
143
x y -=，可得2a =
，b =，
双曲线的实轴长为：24a =；
渐近线方程是：y =． 故答案为：4
；y =． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（3分）已知点(,)P x y 在椭圆22
143
x y +=上运动，则2x y +的最大值是 4 ；点P 到直
线:2100l x y --=的最小距离是 ．
【分析】利用三角换元设出点P 的坐标，然后利用三角函数的性质以及辅助角公式即可求解．
【解答】解：因为点P 在椭圆上，则可设点P
的坐标为(2cos )θθ，[0θ∈，2)π，
所以22cos 4sin()6x y π
θθθ+=+=+，
当6
2
π
π
θ+
=
即3
π
θ=
时，(2)4max x y +=，
点P 到直线2100x y --=
的距离为：|4cos()10|
d π
θ+-=
当cos()13πθ+=
时，min d =
=
， 故答案为：4
． 【点评】本题考查了椭圆中的最值问题，涉及到三角换元以及辅助角公式的应用，属于基础题．
13．（3分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 26 个面，其棱长为 ．
【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有81+，个面，下层也有81+个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的2
cos 452
︒=倍．
【解答】解：该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x ，则22122
x x x ++=，解得21x =-． 故答案为：26，21-．
【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题．
14．（3分）已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2PA =，1AC BC ==，则三棱锥P ABC -外接球的体积为
6π ．
【分析】取PB 的中点O ，推导出O 为外接球的球心，从而得到外接球半径6
R =由此能求出结果．
【解答】解：取PB 的中点O ，
PA ⊥平面ABC ，
PA AB ∴⊥，PA BC ⊥，
又BC AC ⊥，PC
A C A =，BC ∴⊥平面PAC ，
BC PC ∴⊥，12OA PB ∴=
，1
2
OC PB =，
OA OB OC OP ∴===， O ∴为外接球的球心，
又2PA =，1AC BC ==， 2AB ∴=，6PB =，
∴外接球半径62
R =
， ∴33644
()6332
V R πππ==⨯=球．
故答案为：6π．
【点评】本题考查三棱锥外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15．（3分）若F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 左支上一点，(0,4)A ，则
APF ∆的周长的最小值为 12 ．
【分析】设双曲线的左焦点为F '，求出双曲线的a ，b ，c ，运用双曲线的定义可得||||||||2PA PF PA PF '+=++，考虑P 在左支上运动到与A ，F '共线时，取得最小值，即
可得到所求值．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F '，
由双曲线2
2
:18
y C x -=，
可得1a =，22b =3c =，即有(3,0)F ，(3,0)F '-，||||5AF AF '==， APF ∆周长为||||||||||5PA PF AF PA PF ++=++，
由双曲线的定义可得||||22PF PF a '-==，即有||||||||2PA PF PA PF '+=++， 当P 在左支上运动到A ，P ，F '共线时，||||PA PF '+取得最小值||5AF '=， 则有APF ∆周长的最小值为55212++=． 故答案为：12．
【点评】本题考查三角形的周长的最小值，注意运用双曲线的定义和三点共线时取得最小值，
考查运算能力，属于中档题．
16．（3分）若椭圆22
221x y a b
+=的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆224x y +=的切线，切点分别
为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 22
12016
x y += ．
【分析】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB 的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB 的方程，求出参数c ，b ；利用椭圆中三参数的关系求出a ，求出椭圆方程．
【解答】解：设切点坐标为(,)m n 则
112n n
m m -=--即2220m n n m +--=
224m n += 240m n ∴+-=
即AB 的直线方程为240x y +-= 线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 240c ∴-=；40b -=
解得2c =，4b = 所以22220a b c =+=
故椭圆方程为22
12016x y +=
故答案为：22
12016
x y +=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：222a b c =+，考查计算能力． 三、解答题
17．如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，AD 是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BDC ∠=︒．
（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
（2）设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与DB 的夹角的余弦值．
【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；
（2）方法一、建立空间直角坐标系，运用向量法求得异面直线所成角； 方法二、过E 点作//EM BD ，交DC 于M ，运用解直角三角形可得所求值．
【解答】解：（1）证明：折起前AD 是BC 边上的高，因为当ABD ∆折起后，AD DC ⊥，
AD DB ⊥，又DB D C D =，
所以AD ⊥平面BDC ， 因为AD ⊂平面ADB ， 所以平面ADB ⊥平面BDC ．
（2）解1：由90BDC ∠=︒及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直， 不妨设||1DB =，以D 为坐标原点，
分别以DB 、DC 、DA 所在直线x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 易得(0D ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，3，0)，
(0,0,3)A ，13(,,0)22E ，13
(,,3)22AE =-，(1,0,0)DB =，
所以AE 与DB 夹角的余弦值为1222cos ,22
||||
2214AE DB
AE DB AE DB 〈〉=
=
=⨯
． （2）解2：过E 点作//EM BD ，交DC 于M ，1
2
EM =，22212AM AD DM =+=，
而BD ADC ⊥，即EM ⊥平面ADC ，
所以EM AM ⊥，异面直线AE 与DB 的夹角为AEM ∠，
则1
22
2cos 2222
2
EM AEM AE ∠===
．
【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，以及空间异面直线所成角的求法，考
查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
(2,1)．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为60︒的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积． 【分析】（1）根据离心率可得a ，c 的关系，再代入已知点求出a ，b 的关系，然后根据a ，b ，c 的恒等式即可求解；
（2）由题意可求出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出A ，B 两点的横坐标之间的距离，进而可以求解． 【解答】解：（1
）由题222c e a c a =
=⇒=，2222b a c c ∴=-=， 把点(2,1)代入椭圆22
22:12x y C c c +=，得23c =，
故椭圆C 的方程为：22
163
x y +=；
（2
）过右焦点2F
，斜率k
3y =-，
联立22
163
3x y y ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，化简得27120x -+=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
则1212127x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，所以12||x x -=
故1213|3|||22AOB S x x ∆=⨯-⨯-==．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到面积问题，属于中档题．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PD =，60DAB ∠=︒． （1）证明：AD PB ⊥；
（2
）若PB =，2AB PA ==，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值．
【分析】（1）取AD 中点O ，连结PO ，BO ，BD ，推导出PO AD ⊥，PO AD ⊥，从而AD ⊥平面PBO ，由此能证明AD PB ⊥．
（2）推导出PO BO ⊥，BO AD ⊥，PO AD ⊥，以O 为原点，OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取AD 中点O ，连结PO ，BO ，BD ， 底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，
ABD ∴∆是等边三角形，PO AD ∴⊥，
PA PD =，PAD ∴∆是等腰三角形，
PO AD ∴⊥，
PO BO O =，AD ∴⊥平面PBO ，
PB ⊂平面PBO ，AD PB ∴⊥．
（2）解：
2AB PA ==，
∴由（1）知PAB ∆，ABD ∆中边长为2的正三角形，则3PO =3BO = 6PB =
222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥，
又由（1）知，BO AD ⊥，PO AD ⊥，
∴以O 为原点，OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则(1D -，0，0)，(0P ，03)，(2C -30)，(0B 30)，
(0,3,3)PB =-，(1DP =，03)，(1CD =，3-0)，
设(n x =，y ，)z 是平面PCD ，
∴30
30
n DP x z n CD x y ⎧⋅==⎪⎨
⋅==⎪⎩，取1y =，得(3,1,1)n =-， 设直线PB 与平面PDC 所成角为θ，
则||2310
sin 5||||65
PB n PB n θ⋅=
==⋅⋅，
∴直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为
10
5
．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．已知焦点在x 轴上椭圆的长轴的端点分别为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为右焦点，且1AF BF ⋅=-，离心率2e =
． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰好为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用1AF BF ⋅=-，离心率2
e =，可求几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆与点P ，Q 两点，且F 恰好为PQM ∆的垂心，设直线l 为y x m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理，及0MP FQ ⋅=，即可求得直线l 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，则(,0)A a -，(,0)B a ，(,0)F c
1AF BF ⋅=-
(c a ∴+，0)(c a ⋅-，0)1=- 221c a ∴-=-
离心率2
e =
，∴2c a =22a ∴=，21c = 2221b a c ∴=-=
∴椭圆的标准方程为2
212
x y +=；
（Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆与点P ，Q 两点，且F 恰好为PQM ∆的垂， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，因为(0,1)M ，(1.0)F ，所以1PQ k =． 于是设直线l 为y x m =+，由22
12
y x m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得2234220x mx m ++-= 1243m
x x ∴+=-，212223
m x x -=
0MP FQ ⋅=
1221(1)(1)0x x y y ∴-+-=
212122()(1)00x x x x m m m ∴++-+-==
222242(1)0033m m
m m m -∴⨯--+-==
4
3
m ∴=-或1m =（舍去）
故直线l 的方程为43
y x =-
． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。