12.2.4三角形全等的判定(HL)

B
AC=BC DC=EC
∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL） ∴ DA=EB （全等三角形对应边相等）
第18页，共26页。
练习1：如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC， CE=BF.求证AE=DF.
C
D
∵ＣＥ=ＢF ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。
FE
A
B
课本14页练习2题
第19页，共26页。
射线C´N于点A´;
⑷ 连接A´B´.
现象：两个直角三角形能重合。
说明：
第13页，共26页。
M BB´´
∟
∟
A
C N AA´ ´
C´´
三角形全等判定定理5
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(简写为“斜边、直角边”或“HL”。)
A
A´
∟ ∟
B
C
B´
C´
几何语言： ∵在RRt△t ABC和RtR△tA´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´
第1页，共26页。
旧知回顾
我们学过的判定三角形全等的方法：
SSS ASA
SAS AAS
第2页，共26页。
A
三边对应相等的两个三角
B
C 形全等。(简写成
D
“边边边”或“SSS”）
E
F
第3页，共26页。
两边和它们夹角对应
相等的两个三角形全
等。(简写成
B
“边角边”或“SAS”）
E
第4页，共26页。
A C
A
D
B
CE
F
第12页，共26页。
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一 个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC， A´B´= AB。
按照下面的步骤画一画
⑴ 作∠MC´N=90°;
B
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC;
⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交
∴ Rt△ABC≌ RRt△t A´B´C´（HL）
第14页，共26页。
通过刚才的探索，发现工作人员的
做法
是完全正确的。
第15页，共26页。
（课本）例：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：BC=AD.
D
证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角。
在Rt△ABC和Rt△BAD中， A
B
F
A
E
G
C
D
第24页，共26页。
变式训练2
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 想想：BD平分EF吗?
B
E
C
A
FG
D
第25页，共26页。
1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角
形的判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判 定方法----“HL”
2.两个直角三角形中，由于有直角相等的隐含条件，
所以只须找两个条件即可（两个条件中至少有一个条 件是一对对应边相等）
第26页，共26页。
练习1 如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。
又∵ＣＥ=ＢF
C
∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。
在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中
D FE
ＣＥ＝ＢＦ ＡＢ＝ＤＣ
A
B
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌ＲＲｔｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）
②若测得AB=DF，∠C=∠E， 则利用 A AS可判定全等； ③若测得AC=DE，∠C=∠E， 则利用 A AS 可判定全等； ④若测得AC=DE，∠A=∠D， 则利用 A AS 可判定全等；
⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，
则利用 S AS 可判定全等；
第10页，共26页。
情境问题2:
我们把直角△ABC记作 Rt△ABC。
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直 角三角形是否适用？
第7页，共26页。
A
A′
口答：
B
C
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直
角三角形全等吗？为什么？
答：全等，根据AAS
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等， 这两个直角三角形全等吗？为什么？
实际问题 数学问题
D
CD 与CE 相等吗？
①ＡＣ＝ＢＣ
A
E
②ＣＤ＝ＣＥ
C
求证：ＤＡ＝ＥＢ。
B
14页练习1题 课本
第17页，共26页。
证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A和∠B都是直角。
D
又∵C是AB的中点，
∴AC=BC
A
∵C到D、E的速度、时间相同，
E
∴DC=EC
C
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
AB=BA AC=BD
∴Rt△ABC≌ Rt △BAD
（HL）
∴BC=AD （全等三角形对应边相等）
第16页，共26页。
C B
练习2：如图，C是路段AB的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走， 并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、 E与路段AB的距离相等吗？为什么？
答：全等，根据ASA
第8页，共26页。
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美 观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住
无法测量。
你能帮工作人员想个办法吗？
A
D
B
CE
F
第9页，共26页。
情境问题1: ∠B=∠F=Rt ∠
A
D
B
CE
F
①若测得AB=DF，∠A=∠D， 则利用 A SA可判定全等；∴ＡＥ＝ＤＦ第2Fra bibliotek页，共26页。
判断两个直角三角形全等的方法有： (1)： SSS；
(2)： SAS ； (3)： ASA； (4)： AAS； (5)： HL；
第21页，共26页。
已知∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？
写出这些条件，并写出判定全等的理由。
A
D
B
CE
F
工作人员只带了一条尺，能完成这项 任务吗？
第11页，共26页。
情境问题2:
工作人员是这样做的，他分别测量了没有被遮
住的直对角于边两和个斜直边角，三发角现形它，们对若应满相足等一，条于是
他就直肯角定边“和两一个条直角斜三边角对形应是相全等等时的，”。这你两相
信他个的直结角论三吗角？形全等吗？
D F
两角和它们的夹边对
应相等的两个三角形
全等。(简写成
B
“角边角”或“ASA”）
E
第5页，共26页。
A C
D F
两个角和其中一个角的对
边对应相等的两个三角
形全等。（简写成
B
“角角边”或“AAS”）
E
第6页，共26页。
A C
D F
思考：
B
A
C
如图，△ABC中，∠C =90°，
直角边是___B_C_、___A_C_，斜边是____A__B。
（1） （2） （3）
（4）
AD=BC
（
BD=AC
（
∠ DAB= ∠ CBA （
∠ DBA= ∠ CAB （
HL）
HL ）
AAS）
A）AS
D
C
A
B
第22页，共26页。
巩固练习
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
第23页，共26页。
变式训练1
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BD平分EF