2024-2025学年江西省南昌市十中高三上学期第一次月考数学试题及答案

南昌十中2024- 2025学年上学期第一次月考
高三数学试题
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.
1. 已知集合
4,1P x y y x ⎧⎫
==∈⎨⎬
+⎩⎭N ， {}14Q x x =-≤≤，则P Q = （ ）A. {}
1,2,4 B. {}
0,1,3 C. {}
03
x x ≤≤ D. {}
14
x x -≤≤2. 若复数z 满足(1i)i z a +=-(其中i 是虚数单位，R a ∈)，则“||1z =”是“1a =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 若向量()()1,2,1,2a b m =-=+
，且
()
a b a +⊥ ，则m =（ ）A. −8 B. 8 C. −2 D. 2
4. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为
34，在实验操作中结果为优秀的概率为2
3
，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）A.
7
12
B.
12
C.
512
D.
13
5. 函数()y f x =的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A. 112y f x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
B. 112y f x ⎛⎫=--
⎪⎝
⎭
C. ()42y f x =-
D. ()
42y f x =--6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250e
t
Q Q -=⋅，其中0Q
是臭氧的初始
量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式0.00250e t
Q Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量
还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为（ln 20.693≈）（ ）A. 584年
B. 574年
C. 564年
D. 554年
7. 已知数列{a n }满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列{a n }的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A. 5151
2- B. 5050
2 C. 101
2- D. 5151
28. 已知函数()2
2e 1x
f x =-+，若不等式()12ln 2f ax f x ⎛
⎫+≥ ⎪⎝
⎭对()0,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取
值范围是（ ）A. (
2
0,e ⎤⎦ B. (
2
,e ⎤-∞⎦
C. 20,e
⎛
⎤ ⎥
⎝
⎦
D. 2,e ⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
二、多选题：
9. 已知变量x ，y 之间的线性回归方程为 0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系
B. 4
m =C. 可以预测，当11x =时，y 约为2.6
D. 由表格数据知，该回归直线必过点()
9,410. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面
积为，则ABC V 的周长可能为（ ）
A. 8
B. 5+
C. 9
D. 5+
11. 在圆锥PO 中，PO 为高，AB ，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点
M 运动时，则（ ）
A. 三棱锥M PAO -的外接球体积为定值
B. 直线CH 与直线PA 不可能垂直
C. 直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60o
D. 2
AH HO +<三、填空题：
12. 已知随机变量(
)2
~2,3
N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．
13. 圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．
14. 对于任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，函数()g x 满足
()()()g x y g x g y +=.若()21f =-，()38g =，则()()2024g f =______.
四、解答题：
15. 在ABC V 中，角A ，B ，C a ，b ，c .已知sin cos 0b A a B -=.（1）求角B 的大小；
（2
）若c =，求tan A 的值.
16. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率
（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品概率.17.
如图，在四棱锥
P ABCD -中，1
2
2,P AD D PC CB BA AD CB ====
=∥，90CPD ABC ∠∠==︒，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD
中点．
的
（1）求证：PD ⊥平面PCA ；
（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC
，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值．
18. 已知点P 为圆 ():2²²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段PA 垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .（1）求曲线H 的方程;
（2）若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.(i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；
(ii)
.19. 给出以下三个材料：
①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''.类似的，函数
()f x 的二阶导数的导数叫做函数()f x 的三阶导数，记作()f x '''，函数()f x 的三阶导数的导数叫做函
数()f x 的四阶导数……，一般地，函数()f x 的1n -阶导数的导数叫做函数()f x 的n 阶导数，记作
()
()()'
1
n n f
x f x -⎡⎤=⎣⎦，4n ≥；
②若*N n ∈，定义!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ；
③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(,)a b 上具有任意阶的导数，那么对于任意(),x a b ∈有
()()()()()
()()
()2
0000000()1!
2!
!
n n
f x f x f x
g x f x x x x x x x n =+
-+
-++
-+''' ，我们将()g x 称为函
数()f x 在点0x x =处的泰勒展开式.
例如1()e x
f x =在点0x =处的泰勒展开式为2111
()12!
n g x x x x n =+++++ 根据以上三段材料，完成下面题目：
的的的
（1）求出()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式()g x ；
（2）用()cos f x x =在点0x =处泰勒展开式前三项计算cos 0.3的值，精确到小数点后4位；
（3）现已知sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，试求21
1
n n ∞
=∑的值.的
南昌十中2024- 2025学年上学期第一次月考
高三数学试题
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.
1. 已知集合
4,1P x y y x ⎧⎫
==∈⎨⎬
+⎩⎭N ， {}14Q x x =-≤≤，则P Q = （ ）A. {}1,2,4 B. {}
0,1,3 C. {}
03
x x ≤≤ D. {}
14
x x -≤≤【答案】B 【解析】
【分析】根据集合P ，知11x +=或2或4，从而得{}0,1,3P =，再结合集合的交集运算性质运算即可.【详解】由4,1P x y y x ⎧
⎫
==
∈⎨⎬+⎩
⎭
N ，得11x +=或2或4，故{}0,1,3P =.因为{}
14Q x x =-≤≤，所以P Q = {}0,1,3.故选：B.
2. 若复数z 满足(1i)i z a +=-(其中i 是虚数单位，R a ∈)，则“||1z =”是“1a =”的（ ）A 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】由复数的运算结合模长公式求出a ，再由充分必要条件定义判断.【详解】由(1i)i z a +=-得，i (i)(1i)11
i,||11i (1i)(1i)22
a a a a z z ----+=
==-=++-2
2
11122a a -+⎛⎫⎛⎫
∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得1a =或1a =-.
故“||1z =”是“1a =”的必要不充分条件.故选：B
3. 若向量()()1,2,1,2a b m =-=+
，且()
a b a +⊥ ，则m =（ ）
A. −8
B. 8
C. −2
D. 2
【答案】B
.
【解析】
【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.
【详解】由题意得(),4a b m +=
.
因为()a b a +⊥ ，所以()
80a b a m +⋅=-+=
，即8m =.
故选：B.
4. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为
34，在实验操作中结果为优秀的概率为2
3
，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）A.
7
12
B.
12
C.
512
D.
13
【答案】C 【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.
【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12315
434312
⨯+⨯=．
故选：C .
5. 函数()y f x =的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A. 112y f x ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
B. 112y f x ⎛⎫=-- ⎪
⎝⎭
C. ()42y f x =-
D. ()
42y f x =--【答案】A 【解析】
【分析】根据给定的函数图象，由(1)0f =推理排除CD ；由①中函数当1x >时，()0f x >分析判断得解.【详解】由图①知，(1)0f =，且当1x >时，()0f x >，由②知，图象过点(0,0)，且当0x <时，
0y >，
对于C ，当0x =时，(4)0y f =>，C 不可能；对于D ，当0x =时，(4)0y f =-<，D 不可能；
对于A ，当0x =时，(1)0y f ==，而当0x <时，1112x ->，则1
(1)02f x ->，A 可能；对于B ，当0x =时，(1)0y f =-=，而当0x <时，1112x ->，则1
(1)02
f x --<，B 不可能.
故选：A
6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250e
t
Q Q -=⋅，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式0.00250e t
Q Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量
还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为（ln 20.693≈）（ ）A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可．【详解】由题意知，0
0.0025001
e 4
t Q Q Q -=⋅=，则0
0.00251e
4
t -=
，解得()01
400ln 4002ln 25544t =-=--≈年.
故选：D ．
7. 已知数列{a n }满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列{a n }的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A. 51512- B. 5050
2 C. 101
2- D. 5151
2【答案】A 【解析】
【分析】依题意，先令1m =，可得1
1n n
a a a +=，再令1m n ==，结合54T T <，可得12a =-，进而判断出数列{a n }是以首项为12a =-，公比为2q =-等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值.【详解】因为对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，
的
所以令1m =，有11n n a a a +=⋅，则有1
1n n
a a a +=，令1m n ==，有2
2111a a a a ==⋅，又因为24a =，所以12a =±，
因为()()()6
3
51234512212222114T a a a a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，
()()424123412212214T a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，且54T T <，
所以6
3
4
2
1144a a ⋅<⋅，即1214
a <，所以12a =-，
则11
2n n
a a a +==-，所以数列{a n }是以首项为12a =-，公比为2q =-的等比数列，所以()(
)()2
100101123100
1011231011111
1
T a a a a a a q a q
a q a
q +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅()
()
()1100100
101
51512
222+⨯=-⨯-=-，
故选：A.
8. 已知函数()2
2e 1x
f x =-+，若不等式()12ln 2f ax f x ⎛
⎫+≥ ⎪⎝
⎭对()0,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取
值范围是（ ）A. (
2
0,e ⎤⎦ B. (
2
,e ⎤-∞⎦
C. 20,e
⎛
⎤ ⎥
⎝
⎦
D. 2,e ⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】
【分析】根据函数的性质()()2f x f x =--，原不等式可转化为()()2ln f ax f x ≥，利用函数单调性去掉“f ”，分离参数求最值即可.
【详解】因为()()e 22e e 2222241111e e
x
x x x x
f x f x -+-=-+-=--=++++.则()()2f x f x =--．
所以()()()22ln 2ln f ax f x f x ≥--=，易知()2
2e 1
x f x =-
+在R 上单调递增，所以有2ln ax x ≥，对()0,x ∀∈+∞恒成立，即ln 2a x
x
≥，设()ln x
h x x
=， 则()2
1ln x
h x x
-'=
，则当()0,e x ∈时，()'0h x >，()h x 单调递增，当()e,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减，则()()1
h x h e e
≤=，
所以有2e a ≥，即2,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
．故选：D
二、多选题：
9. 已知变量x ，y 之间的线性回归方程为 0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系
B. 4
m =C. 可以预测，当11x =时，y 约为2.6 D. 由表格数据知，该回归直线必过点()
9,4【答案】ACD 【解析】
【分析】根据回归直线斜率知A 正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得m ，可知B 错误，D 正确；将11x =代入回归直线知C 正确.
【详解】对于A ，由 0.710.3y x =-+，得0.7b
=- ，故,x y 呈负相关关系，故A 正确；对于B ，68101294x +++=
=，63211
44
m m y ++++==，
11
0.7910.34
m +∴
=-⨯+，解得5m =，故B 错误；对于C ，当11x =时，0.71110.3 2.6y =-⨯+=，故C 正确；
对于D ，由5m =得4y =，回归直线必过点()x y ，即必过点()9,4，故D 正确.故选：ACD
10. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面
积为，则ABC V 的周长可能为（ ）A. 8
B. 5+
C. 9
D. 5+【答案】AB 【解析】
【分析】由正弦定理得5b c +=
，由三角形面积公式得sin A =，进而得出1cos 3A =±，再根据余弦
定理求得3a =
，即可求解．
【详解】由正弦定理得5ab ac a +=，得5b c +=，则16bc b c =++=，
由1sin 2ABC S bc A =
=
，得sin A =
，所以1cos 3A ==±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2
2
()22cos 9a b c bc bc A =+--=或17，所以3a =
，
所以ABC V 的周长为8
或5+故选：AB ．
11. 在圆锥PO 中，PO 为高，AB
，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点
M 运动时，则（ ）
A. 三棱锥M PAO -的外接球体积为定值
B. 直线CH 与直线PA 不可能垂直
.
C. 直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60o D 2
AH HO +<【答案】AD 【解析】
【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证
明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，
对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM ⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），
所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM ⊂平面POM ，
所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，
所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为r =1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =
，AO =，
所以
PO AO =
==，
所以POA 为等腰直角三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误；因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，
又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM ⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OM
x =，则PM =
OH PM OM PO ⋅=⋅，
.
所以OH =
所以sin OH OAH OA ∠=
=，令60OAH ∠=
=
，解得x =，
即OM =OM OA <矛盾，C 错误；
对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OH AH ⊥
，又OH =
，OA =
所以AH ==，
所以
AH HO +=
=
，0x <
由基本不等式可得2
222x +<
x +<，所以2AH HO +<，D 正确. 故选：AD
【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其
外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.
三、填空题：
12. 已知随机变量(
)2
~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．
【答案】2【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求解.
【详解】由题意得，32122a a -++
=⨯，解得2a =．
故答案为：2
13. 圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】4
5
##0.8【解析】
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.
【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()10F ,，故
12
p
=即2p =，由()2
221254x y y x
⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4
:13
AF y x =±
-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为445
5
d =
=
，故答案为：
45
14. 对于任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，函数()g x 满足
()()()g x y g x g y +=.若()21f -，()38g =，则()()2024g f =______.
【答案】2【解析】
【分析】利用赋值法先判定()f x 的周期性，化()()()()
20240g f g f =，再利用赋值法计算即可.【详解】令0y =，得()()()220f x f f x =，则()01f =或()0f x =（与()21f =-矛盾舍去）.令1x y ==，得()()()2
20210f f f +==⎡⎤⎣⎦，则()10f =，
则()()110f x f x ++-=，则()()4f x f x +=，则()()202401f f ==.
又因为()()()g x y g x g y +=，所以()()()()3
32118g g g g ⎡⎤===⎣⎦，则()12g =，从而()()
()202412g f g ==.故答案为：2
【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定()f x 的周期性，再利用赋
值法计算函数值即可.
四、解答题：
15. 在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos 0b A a B -=.（1）求角B 的大小；
（2）若c =，求tan A 的值.【答案】（1）π
4
B = （2）
13
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，再根据三角函数公式，即可求解；
（2）方法一：首先根据正弦定理将边化为角，再根据（1）的结果，转化为关于角A 的三角函数关系式，
即可求解；方法二：将边的关系代入余弦定理，得到b =，再代入余弦定理求cos A ，即可求解.
【小问1详解】
由sin cos 0b A a B -=及正弦定理得，sin sin sin cos 0B A A B -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，则sin cos 0B B -=，即tan 1B =.因为B ∈(0,π)，所以π
4
B =.【小问2详解】
方法一：由c =和正弦定理，得sin C A =，即3πsin 4A A ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
.
A A A
+=A A =，则得1tan 3A =.
方法二：根据余弦定理得22222222cos 85b a c ac B a a a =+-=+-=，则b =.
222
cos 02b c a A bc +-===>，则角A 是锐角，故sin A ==，则sin 1
tan cos 3
A A A =
=.16. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，
有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率
（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.【答案】（1）
9
10
（2）
7073
【解析】
【分析】（1）先由互斥事件和的概率与条件概率计算()P B ，再由条件概率计算()
P A B 即可；（2）根据条件概率公式求解即可.【小问1详解】
设事件A 表示“零件是次品”，B 表示“自动检测判断零件为次品”，事件12,A A 分别表示零件是一等品、二等品，
则()()()()()()()
2211
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.10.90.20.050.700.1=⨯+⨯+⨯=，
则()
()()
0.10.90.1P AB P A B P B ⨯=
=
所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为9
10
.【小问2详解】
设事件C 表示“零件需要进行人工抽检”，D 表示“人工抽检的零件为一等品”
()0.70.20.150.73P C =+⨯=，()0.7P CD =，
所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为()
()()
0.770
0.7373
P CD P D C P C =
=
=.17. 如图，在四棱锥
P ABCD -中，1
2
2,P AD D PC CB BA AD CB ====
=∥，90CPD ABC ∠∠==︒，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD 中点．
（1）求证：PD ⊥平面PCA ；
（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC ，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2【解析】
【分析】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直；
（2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可.【小问1详解】
由题意：2,90,BC AB ABC AC ==∠=︒∴=
=，同理CD =，
又2224,,AD CD AC AD CD AC =∴+=∴⊥．而CD ==
，即PC PD
⊥又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD AC =⊂平面ABCD ，
AC ∴⊥平面,PCD PD ⊂平面,PCD PD AC ∴⊥，又PC PD ⊥，且PC ⊂面,PCA AC ⊂面
,,PCA PC AC C PD =∴⊥ 平面PCA ．
【小问2详解】
以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()(
)()0,0,0,,,C A D P
，()(
,,CD CP PA ∴===
，
设(01)PQ PA λλ=<<
，有
)))
11CQ CP PA λλλ=+=
-- ，
取面PCD 的一个法向量()0,1,0m =
，
则
1cos ,2
CQ m λ=
=
=
，
故CQ = ．
令(),,n x y z = 是平面CDQ 的一个法向量，则0
n CD n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即00x z ⎧==令1y =，有()0,1,2n =-
，则cos ,n m n m n m ⋅==
，故平面PCD 与平面
CDQ 18. 已知点P 为圆 ():2²²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .（1）求曲线H 的方程;
（2）若过点M 的直线l 与曲线H S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.(i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；
(ii)求 21OS OT
+的取值范围.【答案】（1）2
2
13
y x -=
（2
）( i )证明见解析，( ii) )
+∞【解析】
【分析】(1) 由双曲线的定义进行求解；
(2) ( i ) 设001122(,),(,),(,)M
x y S x y T x y ，求出0
3ST x k y =，由直线l 与曲线H 方程进行求解；（ii
）由1222
0034443OS OT x x x y ⋅===⨯
=-，则212
4
OS OS OT OS +=+利用基本不等式求解．
【小问1详解】
M 为PA 的垂直平分线上一点, 则MP MA = ，则24
MA MC MP MC AC -=-=<=∴点M 的轨迹为以,A C 为焦点的双曲线, 且22,2a c ==，
故点M 的轨迹方程为2
2
: 1.
3
y H x -=【小问2详解】
( i ) 设001122(,),(,),(,)M
x y S x y T x y
，双曲线的渐近线方程为：y =，如图所示：
则11y =
①，22y =②，
①+
②得，)1212y y x x +=- ， ①-
②得，)1212y y x x -=+ ，
=，得
()121212
123x x y y x x y y -+=+-由题可知MS MT =，则1201202,2x x x y y y +=+=，得
()1200123x x y x y y -=-，即00
3ST x k y =，
∴直线ST 的方程为()0
000
3x y y x x y -=
-，即22000033x x y y x y -=-，又∵点M 在曲线H 上，则22
0033x y =- ，得0033x x y y
-=，
将方程联立2
20
013
33
y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，得()2222
00003630y x x x x y -+--=，得2
2
003630x x x x -+-=，
由()()()
2
2
00Δ64330x x =-⨯-⨯-=，可知方程有且仅有一个解，
得直线l 与曲线H 有且仅有一个交点. （ii ）由（i
）联立0033
y x x y y ⎧=⎪
⎨
-=⎪⎩
，可得1x =
，同理可得，2x =
，则
1222
00
3
4443OS OT x x x y ⋅===⨯
=-，
故
2124OS OS OT OS +=+≥当且仅当2
4
OS OS =
，即OS =. 故21OS OT
+
的取值范围为)+∞．【点睛】关键点点睛：第二问中的第2小问中，先要计算4OS OT ⋅=，再由基本不等式求解范围．19. 给出以下三个材料：
①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '的导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''.类似的，函数
()f x 的二阶导数的导数叫做函数()f x 的三阶导数，记作()f x '''，函数()f x 的三阶导数的导数叫做函
数()f x 的四阶导数……，一般地，函数()f x 的1n -阶导数的导数叫做函数()f x 的n 阶导数，记作
()()()'
1
n n f x f x -⎡⎤=⎣⎦，4n ≥；
②若*N n ∈，定义!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ；
③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(,)a b 上具有任意阶的导数，那么对于任意(),x a b ∈有
()()()()()()()()2
0000000()1!
2!
!
n n
f x f x f x
g x f x x x x x x x n =+
-+
-++
-+''' ，我们将()g x 称为函
数()f x 在点0x x =处的泰勒展开式.
例如1()e x f x =在点0x =处的泰勒展开式为2111()12!
n g x x x x n =++
+++ 根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式()g x ；（2）用()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式前三项计算cos 0.3的值，精确到小数点后4位；
（3）现已知sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，试求211n n
∞=∑值.【答案】（1）2462(1)cos 162!4!(2)!!n n
n x x x x x -=-+-+++
（2）0.9553
（3）2
π6
【解析】
【分析】（1）利用n 阶泰勒展开式的定义，可求()g x ，
（2）由（1）可求cos 0.3；
（3）由（1）可得3521
(1)sin 511!3!(2)!!n n x x x x n x ---=-+-+-++ ，进
而可
得
24sin 15!3!x x x x =-++++ ，结合已知可得结论.
【小问1详解】
()cos f x x =，()sin f x x '=-，()''cos f x x =-，L ，
所以(0)cos01f ==，(0)sin 00f '=-=，()''cos 01f x =-=-，L ，由()()()220
1
(1)cos 10001!2!!n n
x x x x n --=+-+-++-+ 所以2462(
1)cos 162!4!(2)!!n n
n x x x x x -=-+-+++
【小问2详解】
由（1）可得246224
0.30.30.3(1)0.30.30.3c !
12!o (s 0.316!4!2)4!2!n n n -⨯=-+-+++≈-+ 10.0450.00033750.9553
=-+=的
【小问3详解】因为sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2222222111π4ππx x x n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
①，对2462(1)cos 162!4!(2)!
!n n
n x x x x x -=-+-+++ ，两边求导可得：3521
(1)sin 511!3!(2)!!
n n x x x x n x ---=-+-+-++ ，所以35121
(1)sin 5!1!3!(21)!
n n x x x x x n ---=-++-++ ，所以24122
sin (1)15!3!(21)!
n n n x x x x x ----=-++++ ②，比较①②中2x 的系数，可得：
22222)11111(3!π1231n
-=-++++ ，所以2222221111π361112n n
n ∞==++++=∑ .【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确n 阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用n 阶泰勒展开式表示sin x x .。