湖北省武汉市高三数学2月调研测试试题 理(含解析)新人

湖北省武汉市2014届高三数学2月调研测试试题 理（含解析）新人
教A 版
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．
已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2，6 B ．2，7 C ．3，6 D ．3，7
由茎叶图知乙组数据的中位数为10y +，所以7y =，故选D. 考点： 1、茎叶图；2、平均数、中位数概念.
3.已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( ) A ．5 B ．6
C．7 D．8
6.若(9x－1
3x
)n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )
A．252 B．－252 C．84 D．－84
7.设a，b∈R，则“a1－b2＋b1－a2＝1”是“a2＋b2＝1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且
EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为( )
A ．1116
B ．34
C ．1316
D ．78 【答案】D 【解析】
所以当()1,2x ∈时，()0m x '<恒成立，所以，函数()m x 在区间[]1,2上为减函数，而
()10,m =
所以()0m x <在区间[]1,2上恒成立，即有()()g x h x <，
综上 ，当()1,2x ∈时()()()f x g x h x << ，所以123S S S << ，故选 A 。

考点：1、定积分；2、导数的应用.
10.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为( )
A ．3＋1
B ．23＋2
C ．3－1
D ．23－2
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在
答题卡对应题号
．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．
12.曲线y ＝sin x
x
在点M (π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部
与边界）．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为 ．
13.如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，
记第n 个图形包含的小正方形个数为f (n )，则 （Ⅰ）f (5)＝ ；
（Ⅱ）f (n )＝ ．
14.已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2
x ＋m 在区间[0，π
2]上的最大值为3，则
（Ⅰ）m ＝ ；
（Ⅱ）对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为 ．
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ⌒＝AC ⌒，DE 交
AB 于点F ．若AB ＝4，BP ＝3，则PF ＝ ．
【答案】215
【解析】 试题分析：
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2
cos θ－sin θ)－a ＝0与曲线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝sin θ＋cos θ，
y ＝1＋sin2θ．（θ为参数）有两个不同的交点，则实
数a 的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ． （Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ； （Ⅱ）求
a cos C －c cos A
b
的取值范围．
18.（本小题满分12分）
已知数列{a n}满足a1＞0，a n＋1＝2－|a n|，n∈N*．
（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；
（Ⅱ）是否存在a1，使数列{a n}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段BC1上确定一点D，使得AD⊥A1B，并求BD
BC1
的值．
此时
BD BC 1＝λ＝9
25
．…………………………………………………………………12分 考点：1、直线与平面所成角的概念；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式的应用. 20.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1
2，各局比赛的结果相互独立，第1局甲
当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．
21.（本小题满分13分）
如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以
HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→
CF ，其中0
＜λ＜1．
（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 2
2
＋y 2
＝1上；
（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、
OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若
不存在，请说明理由．
22.（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数f (x )＝e
x －1－tx ，∃x 0∈R ，使f (x 0)≤0，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）证明：b －a b ＜ln b a ＜b －a a
，其中0＜a ＜b ； （Ⅲ）设[x ]表示不超过x 的最大整数，证明：[ln(1＋n )]≤[1＋12＋ (1)
]≤1＋[ln n ]（n ∈N *
）．
当k 分别取1,2,3,,n L 时有：21314111ln ,ln ,ln ,,ln 112233n n n +<<<<L。