西安市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(有答案解析)

一、选择题
1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（ ）
A ．xy 的最大值为3+
B ．xy 的最大值为6
C ．2x y +的最小值为3+
D ．2x y +的最小值为7
2．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、
2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙一样
D ．无法确定
3．设1a b +=，0b >，则22
44||ab b a a b
++的最小值为（ ）
A ．
14
B ．
34
C ．
54
D ．
74
4．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．9
D ．16
5．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,4
B ．[)0,4
C ．(]
[),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞
6．已知1x >，0y >，且12
11x y
+=-，则2x y +的最小值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．7+7．若不等式()()2
||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
8．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，
（3）22
52(2)a b a b ++≥-，（4）
2b a
a b
+>.其中恒成立的个数是 A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．已知a ＜b ＜0，c ＞d ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．ac ＞bd
B ．a +d ＞b +c
C ．
a d ＜
b c
D ．a 2＜b 2
10．若两个正实数,x y 满足11
2x y
+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()4,1- C ．()
()
,12,-∞-+∞
D ．()
(),14,-∞-+∞
11．若关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，则关于x 的不等式
2
2028
x px q
x x ++>--的解集是（ ） A ．()2,3 B ．()
(),24,-∞-+∞
C ．()
()2,23,4-
D ．()()(),22,34,-∞-+∞
12．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．4ab
a b a b
+<
+ B ．2ab
ab a b
<
+ C ．22222a b ab +< D ．2222a b a b +<+
二、填空题
13．已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b c
b c c a a b
+++++的最小值是_________. 14．已知0a b >>，则41
a a
b a b
+++-的最小值为__________． 15．若x y a x y +
≤+对任意0,0x y >>恒成立，则a 的最小值是_______．
16．已知实数0a >，0b >，2是2a 与2b 的等比中项，则13
a b
+的最小值是______. 17．已知0a >，0b >，若不等式212m a b a b
+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 18．若ad bc ≠，则(
)()22
2
2a b c
d ++__________()2
ac bd +.（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其
一填入）
19．函数()243
6
x x f x x ++=-的值域为__________．
20．如图：已知树顶A 离地面
212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面3
2
米的C 处看此树，则该人离此树_________米时，看A 、B 的视角最大．
三、解答题
21．已知a 、b 都是正实数，且.b
b a a
=- （1）求证:a >1；
（2）求b 的最小值.
22．设0,0,0a b c >>>，证明： （1）114a b a b
+≥+； （2）
111111222a b c a b b c a c
++≥+++++.
23．（1）已知01x <<，求函数()(33)f x x x =-的最大值： （2）已知关于x 的不等式2
1
0ax bx a +-
<的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
，求a ，b 的值.
24．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；
（2）若[]
3,1x ∈-，若()2
5f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
25．已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅱ）证明：a b c b c a a b c a b c >．
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知射线OP ：4y x =（0x ≥），过点()3,2M 的直线l 与x 轴正半轴、射线OP 分别相交于A ，B 两点，设AM MB λ=（0λ>）. （1）当λ为何值时，OAB 的面积取得最小值？并求出此时直线l 的方程； （2）当λ为何值时，MA MB ⋅取得最小值？并求出MA MB ⋅的最小值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为1
1
x y x +=
-，
代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】
0,0x y >>
，x y +≥
1xy ∴-≥
2
10-≥，
10x y xy +=->
1>
1t =>，即2210t t --≥
，解得：1t ≥
或1t ≤
1≥
，(
2
13xy ≥=+，所以xy
的最小值是
3+AB 不正确；
1
0,0,1011
x x y x y xy y x x +>>+=-⇒=>⇒>- ()1122
2222121111
x x x y x x x x x x +-++=+
=+=-+++--- ()
2213371x x =-+
+≥=-，当()2211x x -=-时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件.
2．B
解析：B 【分析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为
1212
22
p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为
12
y y
p p +， 平均价格为12121
2
22p p y
y
y p p p p =
++
.
因为()()()()2
2
1212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，121212
22p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B. 【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
3．B
解析：B 【分析】
利用1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠； 对a 进行分类讨论，分为10a >>和0a >，进行讨论，
然后，求解即可得到22
44||ab b a a b
++的最小值
【详解】
1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠；
当10a >>，22224414||444ab b a ab b a b a a b ab a b ++++==++15
44
≥+=；当且仅
当
4b a
a b =，又1b a =-，解得1a =-或13a =，又由10a >>，得13
a =时，此时，23
b =，2244||ab b a a b ++的最小值54；
当0a >，
22224413
4||4444
ab b a ab b a b a a b ab a b ++++⎛⎫⎛⎫==-+-+-≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a
a b -
=-时，解得1a =-或13
a =，又由0a >，得1a =-，此时，2
b =，2244||ab b a a b ++的最小值3
4；
综上，2244||ab b a a b ++的最小值34
；
故选：B 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于利用1a b +=，0b >，10b a =->，可得1a >且0a ≠，对
a 进行分类讨论，难点在于利用基本不等式进行求最值，本题属于中档题
4．C
解析：C 【分析】
由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411
a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】
由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以
()141414(1)511111111
a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-
59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54
,33
b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.
5．B
解析：B 【分析】
讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式2
10ax ax -+>恒成立，
当0a =时，10>恒成立，满足题意
当0a ≠时，即函数()2
1f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可，
所以0
0a >⎧⎨∆<⎩
，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，
所以实数a 的取值范围是[0,4).
故选：B 【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)211x y x y ⎛⎫
-+++ ⎪-⎝⎭
的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】
1x >，10x ->，又0y >，且
12
11x y
+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++
[]12(1)211x y x y ⎛⎫
=-+++ ⎪-⎝⎭
22(1)
61y x x y
-=+
+- 262
x +-10=， 当且仅当
22(1)
1y x x y
-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.
7．D
解析：D 【分析】
可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】
当220x x -≥时，即[]02x ,∈
时，||0x a b --≤恒成立，
所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立
所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，
综上，2a b += 故选：D 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题
8．A
解析：A 【解析】
分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：
(1) 2
2
a 32
b ab +-=2
2322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()
()()2
22a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；
(3)()2
2
522a b a b ++--()()2
2
=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b a
a
b +
,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.
点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
9．C
解析：C 【分析】
取特殊值判断ABD ，根据不等式的性质判断C. 【详解】
对A 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，41ac bd -=<=-，则A 错误； 对B 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，1a d b c +=+=-，则B 错误； 对C 项，
0c d >>，11d c ∴
>，又0a b <<，0a b ∴->->，则11a b d c
-⋅>-⋅，即a d ＜b
c
，则C 正确； 对D 项，当2,1a b =-=-时，2241a b =>=，则D 错误； 故选：C 【点睛】
本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题.
10．C
解析：C 【解析】
正实数x ,y 满足11
2x y
+=，
则()111
112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++=
⎪⎝⎭
， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2
x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11．D
解析：D 【分析】
根据关于x 的不等式2
0x px q ++<的解集为{|23}x x <<，利用韦达定理得到
5,6p q =-=，则不等式22028x px q x x ++>--转化为 2256
028
x x x x -+>--，再利用穿根法求解.
【详解】
因为关于x 的不等式2
0x px q ++<的解集为{|23}x x <<， 所以由韦达定理得：5,6p q =-=，
所以22028x px q x x ++>--，即为2256028
x x x x -+>--，
即为()()()()
23042x x x x -->-+，即为()()()()23420x x x x ---+>
用穿根法得不等式的解集为：()()(),22,34,-∞-+∞，
故选：D 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()2
2224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A
2211ab
a b a b
>
=
++，所以排除选项B ；接着根据基本
>
=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得
到选项D 正确. 【详解】
解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，
所以()2
2224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；
对于选项B 2211ab
a b a b
>
=
++，故选项B 错误；
对于选项C
>
=C 错误；
对于选项D ：()2
2222222a b a ab b a b +>++=+
， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】
本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.
二、填空题
13．【分析】先由题意令得到代入所求式子化简整理根据基本不等式即可求出结果【详解】因为abc 为正实数不妨令则所以当且仅当即即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三 解析：
4748
【分析】
先由题意，令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得到111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪
⎪
=-
+⎨⎪
⎪
=+-⎪⎩
，代入所求式子，化简整理，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】
因为a 、b 、c 为正实数，不妨令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧
=-++⎪⎪
⎪
=-
+⎨⎪
⎪
=+-⎪⎩
， 所以111131393
93
862164216438432x y z x y z x y z
a b c b c c a a b x y z
-++-++-++=+++++ 1339338621642164
y z x z x y x x y y z z =-+++-+++-
6139488262164y x z x y z x y x z z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
++++++ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
61474848
≥-
+=，
当且仅当823629164y x x y z x x z
y z z y ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
，即::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立. 故答案为：
4748
. 【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14．【分析】由可知利用基本不等式即可求最值【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（
解析：【分析】
由0a b >>可知0a b +>，0a b ->，
414122a b a b a a b a b a b a b
+-+
+=++++-+-，利用基本不等式即可求最值. 【详解】 因为0a b >>，所以0a b +>，0a b ->，
414122a b a b a a b a b a b a b
+-++=++++-+-
2≥==
当且仅当a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
即a =
b =
故答案为：【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．【分析】不等式变形为然后利用基本不等式求得的最大值可得的最小值
【详解】原不等式可化为因为所以即时等号成立又所以时等号成立所以的最大值是即的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要
【分析】
不等式变形为a ≥
的最大值，可得a 的最小值．
【详解】
原不等式可化为a ≥，
因为222m n mn +≥，所以222222()2()m n m mn n m n +≥++=+，即
m n +≤，m n =时等号成立．
又0,0x y >>≤=x y =时等号成立．
a ≥a
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
16．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公
解析：4+【分析】
2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简
13133()()4b a a b a b a b a b
+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，实数0a >，0b >2a 与2b 的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，
所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+=
当且仅当
3b a a b =时，即a b ==
所以13a b
+的最小值是4+.
故答案为：4+
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
17．9【分析】将题目所给不等式分离常数利用基本不等式求得的最大值【详解】由得恒成立而故所以的最大值为【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略考查利用基本不等式求最值考查化归与转化的数学思想方法属于 解析：9.
【分析】
将题目所给不等式分离常数m ，利用基本不等式求得m 的最大值.
【详解】 由212m a b a b +≥+得()212m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，而
()212225a b a b a b b a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9.
【点睛】
本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
18．＞【分析】作差分析差的正负即可求解【详解】因为又所以所以故答案为：>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小考查了运算能力属于中档题
解析：＞
【分析】
作差，分析差的正负即可求解.
因为
()()()22222a b c d ac bd ++-+
()()
2222222222222a c a d b c b d a c b d acbd +=+++-+ 22222b c a d abcd =+-
20(bc ad )=-≥，
又ad bc ≠
所以2()0bc ad ->
所以()()
22222()a b c d ac bd ++>+， 故答案为：>
【点睛】
本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档题.
19．【分析】设将关于的函数利用基本不等式即可求出值域【详解】设当时当且仅当时等号成立；同理当时当且仅当时等号成立；所以函数的值域为故答案为:【点睛】本题考查函数的值域注意基本不等式的应用属于基础题
解析：()
,161667,⎡-∞-++∞⎣ 【分析】
设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域.
【详解】 设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t
++-==+==++，
当0t >时，()16g t ≥，
当且仅当6t x ==时等号成立；
同理当0t <时，()16g t ≤-，
当且仅当6t x =-=-时等号成立；
所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣.
故答案为: ()
,161667,⎡-∞-++∞⎣. 【点睛】
本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题. 20．6【分析】过点作设根据已知中树顶距地面米树上另一点距地面米人眼离地面米我们易求出即的表达式进而根据基本不等式求出的范围及取最大值时的值进而得到答案【详解】如图过点作则设由图可知：当且仅当时等号成立即 解析：6
过点C 作CD AB ⊥，设CD x =，根据已知中树顶A 距地面21
2米，树上另一点B 距地面112米，人眼C 离地面32
米．我们易求出tan ACB ∠，即tan()ACD BCD ∠-∠的表达式，进而根据基本不等式，求出tan ACB ∠的范围及tan ACB ∠取最大值时x 的值，进而得到答案．
【详解】 如图， 过点C 作CD AB ⊥，则213922AD =
-=，113422
BD =-=， 设CD x =，由图可知：94tan tan 555tan tan()9436
1tan ?tan 2612
1?ACD BCD x x ACB ACD BCD ACD BCD x x x x
-∠-∠∠=∠-∠====+∠∠⨯++，
当且仅当6x =时，等号成立．
即6x =时，tan ACB ∠有最大值，此时ACB ∠最大.
故答案为： 6
【点睛】 本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无26．无。