6.2.4组合数课件(人教版)

因此， + − = − = − =
+
7. 计算： −

+
解：由题意可得
又
≥ −
+ ≥
解得


≤≤


∈ +
,得n=10
− ∈
+ ∈ +
(3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
解：(1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以
抽法种数为
100 99 98
3
C100
3 21
161700.
1
(2) 从2件次品中抽出1件的抽法有C2 种，从98件合格品中抽出2件的抽
2
法有C 98
种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
解：（1）从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法：
红球3个，红球2个和白球1个，
当取红球3个时，取法有1种；
当取红球2个和白球1个时，取法有 = 种；
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.
10.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加
比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
解：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有 = 种选法.
抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产
品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
3
100
C
98 97 96
C 161700
9604.
3 21
3
98
课堂练习
2
1. 计算：(1) C6 ；
(2) C97 ；
(3) C73 C62 ；
(4) 3C83 2C52 .
或 C63 C43 20 4 16.
随堂检测
1. 若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同
分法的种数是（ C ）
A．64
B．46
C．15
D．360
2. 从10名学生中挑选出3名学生参加数学比赛，不同的选法有（ C ）
A． 种
B．3！

C． 种
C 21C982 2
98 97
9506.
2
（3）解1(直接法)：
从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品
和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少
有1件是次品的抽法种数为
2
1
C21C98
C22C98
9506 98 9604.
解2(间接法)：
（2）队长中至少有1人参加；
解：从10人中任选5人有 种选法，其中不选队长的方法有 种，
所以“至少有1名队长”的选法有 − = 种.
（3）既要有队长，又要有女运动员
解：当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法；
当不选女队长时，必选男队长，共有 种选法，其中不含女运动员的




−
+

+ = + = + =
×
+

=
课堂练习
8. 要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同
的选法？
（1）甲当选且乙不当选；
解：甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有 =70种选法.
6 5
解：(1) C
15 ；
21
9 8
7
2
(2) C9 C9
36 ；
21
7 6 5 6 5
3
2
(3) C7 C6

35 15 20 ；
3 21 21
6 5 4
3
2
3
2
2
3
或 C 7 C 6 (C 6 C 6 ) C 6 C 6
组合数的性质：
m
n m
性质1 Cn Cn .
m
m
m 1
性质2 Cn1 Cn Cn .
证明：Cnm Cnm 1

n!
n!

m !( n m )! ( m 1)!( n m 1)!
( n m 1) n ! m n !
m !( n m 1)!
规定 Cn0 1.
2. 组合数的性质：
m
n m
性质1 Cn Cn .
m
m
m 1
性质2 Cn1 Cn Cn .
“ THANKS
人教A版202X必修第三册
第6章计数原理
6.2.4 组合数
学习目标
1.能利用计数原理推导组合数公式.
2.能解决有限制条件的组合问题.
3.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提
升逻辑推理及数学运算素养.
情境引入：
某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2
号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组
（2）至多有3名男生当选
解：至多有3男当选时，应分三类：
第一类：3男2女，有 种选法；
第二类：2男3女，有 种选法；
第三类：1男4女，有 种选法；
由分类加法计数原理，共有 + + = 种选法.
拓展提高
9. 一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
D．以上均不对
3. 若 = −
，则 n= （D ）

A．4
B．6
C．7
D．8
4. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、
猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有
选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ C ）
A．242种
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少
于6分的取法有多少种？
解：（2）使总分不少于 分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个，
第一种，红球2个和白球2个，取法有 = 种;
第二种，红球3个和白球1个，取法有 = 种;
根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18+4=22种.
0
(3) C1010 10

1
；
(4)
C
10 1 .
10
A10
思考 此关系是否具有一般性
？
C m C n m .
n
n
n!
( n m )![n (n m )]!
n!

Cnm .
( n m )! m !
Cnn m
m
n m
性质1 Cn Cn .
mmm 1Fra bibliotek性质2 Cn1 Cn Cn .
B．220种
C．200种
D．110种
5. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女
医生都有，则不同的组队方案共有（ D ）
A．140种
B．420种
C．80种D．70种
6. 计算： + −



解：由组合数性质2可知， + =
2
？ ，Cnm ______
4 ，C103 _______
3 ，C43 ______
？ .
思考：C3 ____
3个不同元素a, b, c中取出2个共有ab, ac, bc 3个不同的组合，即C32 3.
3个不同元素a, b, c中取出2个元素的排列数为 A32 3 2 6.
A43
∴C 3 .
A C A ，
A3
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
3
4
3
4
3
3
3
4
m
A
由此可得Cnm nm .
Am
m
A
n(n 1)(n 2) (n m 1)
m
n
组合数公式：Cn m
.
Am
m!
这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式.
去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号
较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取
方法有多少种？
问题
上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何
用组合数解决此问题？
提示
由于 5 号和 14 号一组，所以其他两个人只能是 1 到 4 号或 15 到 20 号中的两个，
组合
排列
ab
ab ba
ac
ac ca
bc
bc cb
2
A
2
2 2
∴C32 32 .
由此可得 A3 C3 A2 ，
A2
从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素
组合
排列
abc
abc acb bac bca cab cba
由此可得
abd
abd adb bad bda dab dba
acd
acd adc cad cda dac dca
4个不同元素a, b, c, d中取出3个共有abc, abd, acd, bcd 4个不同的组合，即C43 4.
4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的排列数为 A43 4 3 2 24.
下面我们就来探究 C32与A32 , C43与A43的关系.
从3个不同元素a, b, c中取出2个元素
20 ；
3 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
2. 求证：C nm
m 1 m 1
C n1 .
n1
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
选法有 种，所以不选女队长时的选法共有( − )种，
所以既要有队长又要有女运动员的选法共有 + − = 种.
课堂小结：
m
A
n(n 1)(n 2) (n m 1)
m
n
1. 组合数公式： Cn m
.
Am
m!
n！

.
m !( n m )!
(2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?
(3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?
6 5 4
20；
解：(1) C
3 21
3
6
(2) C 21C42 2
4 3
12；
2
(3) C21C42 C22C41 12 4 16.
3
10
10 9 8 7 6 5 4
7
(2) C10
120 ；
7 6 5 4 3 21
10!
10 9 8 7!
或C

120 ；
7! 3!
7! 3!
7
10
10 9 8
或C C
120 ；
3 21
7
10
3
10
10
A
C
m
n
取出元素
数
元素总数
组合的第一个字
母
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
(2) m≤n .
2
例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为C3 .
从4个不同元素中任取3个元素的组合数为C43 .
探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排
m
列数 Anm 来求组合数C n 呢?
( n 1) n !
( n 1)!
Cnm1 .


m !( n m 1)!
m !( n m 1)!
例7 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件.
(1) 有多少种不同的抽法?
(2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
证明：
C n1



n1
n 1 ( m 1)!( n m )!
n 1 ( m 1) m !( n m )!

n!
Cnm .
m !( n m )!
3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成
绩，现要从中选3门考试成绩.
(1) 共有多少种不同的选法?
故共有 C24＋C26＝21(种)方法．
类比排列数，我们引进组合数概念：
组合数：
m
符号C n 中的C是英文combination
(组合)的第一个字母. 组合数还可以
n
用符号 m 表示.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做
m
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C n 表示.
n!
∵A
，所以上面的公式还可以写成
( n m )!
m
n
Cnm
n！
.
m !( n m )!
另外，我们规定 Cn0 1.
3
例6 计算：(1) C10 ；
(2) C107 ；
10
；
(3) C10
(4) C100 .
10 9 8
120 ；
解：(1) C
3 21
C107 C103