河北省五个一名校联盟高三教学质量监测(二)数学(文)试

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）
文科数学
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
命题人： 刘敏 审核人：马焕新、冯伟冀
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2
{|670}N x x x =+-≥，则
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知是虚数单位，和都是实数，且，则
A ．
B ．
C ．
D ． 3．设是定义在R 上的周期为的函数，当x ∈[－2，1)时，242,20,(),0 1.
x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则＝
A ．
B ．
C ．
D ．
4．设123log 2,ln 2,5
a b c -===则 A ． B ． C ． D ．
5．下列结论错误的是
A ．命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题
B ．命题；命01,:2<++∈∃x x R x q ，则为真
C ．“若，则”的逆命题为真命题
D ．若为假命题，则p 、q 均为假命题
6．若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该
题的最终得分，当时，等于
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列函数最小正周期为且图象关于直线对称的函数是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．等差数列的前项和为，且，，则过点和 ()的直线的一个方向向
量是
A ．
B ．
C ．
D ．
10．设满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0.0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则的最
小值为
A ．
B ．
C ．
D ．4
11．在中，若，求周长的取值范围
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为
A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13．已知，且，则 ________．
14．若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 ．
15．多面体的三视图如图所示，则该
多面体体积为 （单位） ．
16．已知，，，动点满足且，则点到点
的距离大于的概率为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，
证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2
)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n n
n b b b T S b +⋅⋅⋅++==求 18．（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱⊥底面, ,分别为上的动点，
且
,(01)DE AF DP AC
λλ==<<． （Ⅰ）若，求证：∥
（Ⅱ）求三棱锥体积
最大值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线，直线与抛物线交于两点．
（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数2()()x f x ax e a R =-∈
（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．
请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．
作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲 已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩
（为参数）． （Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知，对，
14|21||1|x x a b
+≥--+恒成立，求的取值范围．
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）
文科数学
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
命题人： 刘敏 审核人：马焕新、冯伟记
第I 卷（选择题，共60分）
一、1-5 BDDCC 6-10 BCBAD 11-12 AC
二、13． 14． 15． 16．
三、17．解：（Ⅰ）)(2
)1(*N n a a S n n n ∈+= ①
)2(2
)1(111≥+=---n a a S n n n ② ①-②得：2
1212----+=n n n n n a a a a a 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a 数列的各项均为正数，
时，数列是首项为公差为的等差数列 6分
（Ⅱ）由第一问得 222112(1)1
n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭ 1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ 12分
18．(1) 158162163168168170171179182
10a x +++++++++= ……………2分
………………4分
解得=179 所以污损处是9.………………6分
(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分
而事件A 含有4个基本事件，………………10分
∴P(A)＝410＝25
………………12分 19．
B
(1)分别取和中点、，连接、、，则, ,所以,四边形为平行四边形．,又∥．…………4分
(2)在平面内作,
因为侧棱⊥底面,
所以平面⊥底面,且平面底面,
所以,所以．…………7分
（或平面中，所以）
因为,所以． ,1(1)2
DFC ADC S S λλ-=-=,…………10分 2
11==(01)326
E DFC V λλλλλ---<<…………12分
的最大值为 20．解：（Ⅰ）联立2124y x b y x
⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消并化简整理得．
依题意应有，解得．
设，则，
设圆心，则应有121200,422
x x y y
x y ++=
==-．
因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，
又||AB
====． 所以 ||28AB r ===，
解得．
所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=
，所以圆心为． 故所求圆的方程为2224()(4)165
x y -+
+=． （Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，
又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，
直线：整理得，点到直线的距离，
所以1||42AOB S AB d ∆==-= 令，， 24()343()
g b b b b b '=+=+， 由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值．
21．解：（Ⅰ）时，2(),()2,x x f x x e f x x e '=-=-易知max ()(ln 2)2ln 220,f x f ''==-<从而为
单调减函数．………………４分
（Ⅱ）有两个极值点，
即有两个实根，所以
，得．
(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，
得．………………6分
又，
所以………………8分
111()20x f x ax e '=-=，得
11
1121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭………………10分 1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭
， 1(1)()(0)12
e f f x f -=<<=-………………12分
另解：由两个实根，，
当时，所以单调递减且，不能满足条件．
当时，所以单调递减且
当时，所以单调递增且，
故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即 即，11
1122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．
有两个实根，不是根，所以由两个实根，，
当时，所以单调递减且，不能满足条件．
当时，所以单调递减且
当时，所以单调递增且，
故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即 即，11
1122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．
22解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆
．………………2分
且,
ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分
．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,
所以与相似,
，…………7分
又, ， AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅
根据割线定理得，……………9分
AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分
23．解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为
……………………………………………2分
又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[
所以曲线的直角坐标方程为…………4分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分 令，得，即点的坐标为(2， 0)．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分
所以1MN MC r +=≤………………………10分
24．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9 ，故+的最小值为9，……5分 因为对a ，b ∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立， 所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x ≤-1时，2-x ≤9， ∴ -7≤x ≤-1，当 -1＜x ＜时，-3x ≤9，
∴ -1＜x ＜，当 x ≥时，x-2≤9， ∴≤x ≤11，∴ -7≤x ≤11 …… 10分。