教学设计4：章末复习与测试

章末复习与测试
知识梳理 一、网络构建
二、要点归纳 1.四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.直线与直线的位置关系
⎩⎨
⎧
共面直线⎩⎪⎨
⎪⎧
平行
相交异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
3.判定线线平行的方法
(1)利用定义：证明线线共面且无公共点.
(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理： a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b . (4)利用面面平行的性质定理： α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . (5)利用线面垂直的性质定理： a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 4.判定线面平行的方法
(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点，往往借助反证法. (2)利用直线和平面平行的判定定理：
a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(3)利用面面平行的性质的推广：
α∥β，a⊂β⇒a∥α.
5.判定面面平行的方法
(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.
(2)利用面面平行的判定定理：
a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，
即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
(4)平行于同一个平面的两个平面平行，
即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
6.证明直线与平面垂直的方法
(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面.
符号表示：∀a⊂α，l⊥a⇔l⊥α.(其中“∀”表示“任意的”)
(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
符号表示：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝P⇒l⊥α.
(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.
(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.
符号表示：α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l⇒m⊥β.
7.证明平面与平面垂直的方法
(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.
符号表示：α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB＝90°⇒α⊥β.
(2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直.
符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.
8.空间中的三类角
(1)异面直线所成的角，范围：0°<α≤90°.
(2)直线与平面所成的角，范围：0°≤θ≤90°.
(3)二面角，范围：0°≤θ≤180°.
教学案例
题型一 空间中的平行关系
例1 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝2MA .在线段PB 上是否存在一点F ，使平面AFC ∥平面PMD ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.
解 当点F 是PB 的中点时，平面AFC ∥平面PMD ，证明如下：如图连接BD 与AC 交于点O ，连接FO ，则PF ＝12
PB .
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点，∴OF ∥PD . 又OF ⊄平面PMD ，PD ⊂平面PMD ， ∴OF ∥平面PMD .又MA ∥PB 且MA ＝1
2PB ，
∴PF ∥MA 且PF ＝MA ， ∴四边形AFPM 是平行四边形，
∴AF ∥PM .又AF ⊄平面PMD ，PM ⊂平面PMD ， ∴AF ∥平面PMD .
又AF ∩OF ＝F ，AF ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ， ∴平面AFC ∥平面PMD .
反思感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
①利用线面平行的判定定理.
②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面. (2)判断面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理.
②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ). ③利用线面垂直的性质(l ⊥α，l ⊥β⇒α∥β).
跟踪训练1如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，G是AE，DF的交点，H，R分别是BE，AD的中点，求证：平面GHR∥平面CDE.
证明∵G是AE，DF的交点，四边形ADEF是正方形，
∴G是AE，DF的中点.
又H是BE的中点，∴GH∥AB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∴GH∥CD.
又CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
又R为AD的中点，∴GR∥ED.
又GR⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，
∴GR∥平面CDE.
∵GH∩GR＝G，且GH⊂平面GHR，GR⊂平面GHR，
∴平面GHR∥平面CDE.
题型二空间中的垂直关系
例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊂平面P AD，P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
所以BE∥平面P AD.
(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面P AD，
所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
反思感悟(1)判定线面垂直的方法
①线面垂直定义(一般不易验证任意性).
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α).
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).
(2)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.
②面面垂直的判定定理.
跟踪训练2如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
证明(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝22，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE ∩BC ＝B ， 所以AC ⊥平面BCE .
(2)因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以AF ⊥AD .
又∠DAB ＝90°，所以AB ⊥AD .
又AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，AF ∩AB ＝A ， 所以AD ⊥平面ABEF .
又AE ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥AE . 题型三 空间角的求法
例3 如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：
(1)AO 与A ′C ′所成角的大小；
(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小. 解 (1)∵A ′C ′∥AC ，
∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′， ∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B ， AB ，BO ⊂平面ABO ， ∴OC ⊥平面ABO .
又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝2
2
，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，
∴∠OAC ＝30°.
即AO 与A ′C ′所成角为30°.
(2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .
∵平面BC ′⊥平面ABCD ，平面BC ′∩平面ABCD ＝BC ，OE ⊂平面BC ′， ∴OE ⊥平面ABCD ，
∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角. 在Rt △OAE 中，OE ＝1
2，AE ＝
12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，
∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝5
5
.
即AO 与平面ABCD 所成角的正切值为5
5. (3)由(1)可知OC ⊥平面AOB . 又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .
即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°.
反思感悟 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法.
跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且CD ＝2AB .
(1)若AB ＝AD ，直线PB 与CD 所成的角为45°，求二面角P －CD －B 的大小；
(2)若E 为线段PC 上一点，试确定点E 的位置，使得平面EBD ⊥平面ABCD ，并说明理由. 解 (1)∵AB ⊥AD ，CD ∥AB ，∴CD ⊥AD ， 又P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又P A ∩AD ＝A ，P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∴∠PDA 是二面角P －CD －B 的平面角． 又直线PB 与CD 所成的角为45°， ∴∠PBA ＝45°，P A ＝AB .
∴在Rt △P AD 中，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°， 即二面角P －CD －B 的大小为45°.
(2)当点E 在线段PC 上，且满足PE ∶EC ＝1∶2时，
平面EBD ⊥平面ABCD .理由如下： 连接AC 交BD 于点O ，连接EO .
由△AOB ∽△COD ，且CD ＝2AB ，得CO ＝2AO ， ∴PE ∶EC ＝AO ∶CO ＝1∶2，∴P A ∥EO . ∵P A ⊥底面ABCD ，∴EO ⊥底面ABCD . 又EO ⊂平面EBD ， ∴平面EBD ⊥平面ABCD . 达标检测
1.在空间中，下列命题正确的是( )
A.若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则l ∥α
B.若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β
C.若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l ⊥α
D.若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β 【答案】D
【解析】对于A ，若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则l 可能在平面α内，故错； 对于B ，若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β可能相交，故错； 对于C ，若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l 与α可能斜交，故错；
对于D ，若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则平面α经过平面β的垂线，则α⊥β，故正确.故选D.
2.在正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2 【答案】B
【解析】取CD 的中点P ，连接AP ，BP ，
可证得CD ⊥平面P AB ，从而可得CD ⊥AB . 取AC 的中点M ，连接ME ，MF ， 则ME ∥CD ，ME ＝1
2CD ，
MF ∥AB ，MF ＝1
2
AB ，
∴∠MEF 即为异面直线EF 与CD 所成的角(或其补角).
在△MEF 中，∠EMF ＝π
2，ME ＝MF .
∴∠MEF ＝π
4
.
∴异面直线EF 与CD 所成的角为π
4
.
3.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：
①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1；④直线B 1D 1与BC 所成的角为45°.其中正确结论的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1 【答案】A
【解析】在①中，由正方体的性质得，BD ∥B 1D 1， BD ⊄平面CB 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1， ∴BD ∥平面CB 1D 1，故①正确；
在②中，由正方体的性质得AC ⊥BD ，CC 1⊥BD ， 又AC ∩CC 1＝C ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1，∴AC 1⊥BD ，故②正确； 在③中，由正方体的性质得BD ∥B 1D 1， 由②知，AC 1⊥BD ，∴AC 1⊥B 1D 1， 同理可证AC 1⊥CB 1，
故AC 1垂直平面CB 1D 1内的两条相交直线， ∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故③正确；
在④中，异面直线B 1D 1与BC 所成的角就是直线BC 与BD 所成的角， 故∠CBD 为异面直线B 1D 1与BC 所成的角， 在等腰直角△BCD 中，∠CBD ＝45°，
故直线B 1D 1与BC 所成的角为45°，故④正确． 故选A.
4.空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，且AB ＝AD ，则AC 与平面BCD 所成的角是________. 【答案】45°
【解析】如图所示，取BD 的中点O ，连接AO ，CO .
因为AB ＝AD ，所以AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD .
因此，∠ACO 即为AC 与平面BCD 所成的角. 由于∠BAD ＝90°＝∠BCD ，所以AO ＝OC ＝1
2BD ，
又AO ⊥OC ，所以∠ACO ＝45°.
5.如图，在棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.
求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .
证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥P A .
又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .
(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A
＝3，EF ＝1
2
BC ＝4.
又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .
因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .
又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .。