3.6 位似 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册

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例4 如图3.6-7， 已知四边形ABCD，将四边形ABCD以点 A为位似中心放大，使放大后的图形与原图形是位似 图形，且放大后的图形与原图形对应线段的比为 2∶1.
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解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位 似图形的步骤作图(画法不唯一).
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解：当原图与新图形 在点 A 同侧时，如图 3.6-8，四边形 AB1C1D1 就是所求作的图形；当原图形与新图形在点 A 异 侧时，如图 3.6-9，四边形AB1C1D1就是所求作的图形 .
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解题秘方：先根据位似中心及位似比作图，再利 用位似变换时对应点的坐标变化规律 求对应点的坐标.
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(1)画出以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大为 原来的2 倍(即新图与原图的位似比为2∶1)的位似图形 △OB′C′； 解：如图3.6-10，延长BO到点B′， 使OB′＝2OB. 延长CO到点C′， 使OC′＝2OC，连接B′C′，则 △OB′C′就是要画的图形.
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知识点 4 平面直角坐标系中的位似
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1. 位似变换时对应点的坐标变化规律： 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对 应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0). 注意：这里的位似比指的是新图形与原图形的对应边的比.
∵ AB∶ DE ＝ 1∶ 2，∴S △ ABC=(1 ) 2= 1. S △ DEF 2 4
∵△ ABC 的面积为 4，∴△ DEF 的面积为 16. 答案：D
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3-1. [ 中考·重庆 ] 如图，△ ABC与△ DEF 位似，点 O 为位似中心，相似比为 2 ∶ 3．若△ ABC的周长 为 4，则△ DEF的周长是( B ) A． 4 B． 6 C． 9 D． 16
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③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前 后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数；
④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换 前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比 的绝对值都等于变换后的图形与变换前的图形的位似比.
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特别提醒
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1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，使位似图
形与原图形的位似比为k，那么当位似图形与原图形在
原点的同侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上
的点的坐标为(kx，ky)； 当位似图形与原图形在原点的
两侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的
坐标为(－kx，－ky).
2. 当k>1时， 图形扩大为原来的k倍；当0<k<1时，图形缩
等于位似比.
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(3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对 应线段之比相等.
(4)两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等 于位似比，面积比等于位似比的平方.
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特别解读：(1)我们利用位似图形的性质，可以作出 已知图形的位似图形，把一个图形放大或缩小，同时 也可以利用位似图形的性质确定位似中心，求位似比 及图形的周长与面积等. (2)利用位似图形的性质求两个位似图形的位似比，
先要确定位似的顺序，再确定位似比.
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示例图
如图3.6-3 ，△ABC与△DEF位似.
OODA＝OOBE＝OOCF＝k； 直线AD，BE，CF交于一点O； AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF； 相等 △ABC∽△DEF， 位似比为k.
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例2 [母题 教材 P100 习题 T1]找出如图3.6-4 所示的位似 图形的位似中心.
小为原来的k.
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例5 [母题 教材 P99 例]如图3.6-10，已知O是坐标原点， B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1). (1)画出以点O为位似中心，在y轴的左侧 将△OBC放大为原来的2 倍(即新图与 原图的位似比为2∶1)的位似图形△OB′C′； (2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，试写出点M 的对应点M′的坐标.
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1-1.视力表用来测试一个人的视力，如图是视 力表的一部分，图中的类似“E”的图形均 是相似图形，下面不是位似图形的是 (B ) A. ①和④ B. ②和③ C. ①和② D. ②和④
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知识点 2 位似图形的性质
位似图形具有的性质： (1)位似图形每组对应顶点的连线必过位似中心. (2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比
个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部或 边上或某一个顶点处. 常见位似图形的构成 如图3.6-1 所示.
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例1 判断如图3.6-2 所示的各图中的两个图形是否是位似 图形，如果是，请指出其位似中心.
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解题秘方：紧扣“位似图形的定义”进行判断. 解：(1)是位似图形，位似中心为点A； (2)不是位似图形； (3)是位似图形，位似中心为点O.
3.6 位似
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知识点 1 位似图形的定义
1. 定义：一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个 点P对应于另一个图形G′上的点P′，且满足：(1)直线PP′
经过点O；(2)OOPP′＝|k|，其中k是非零常数，当k>0 时，点 P′在射线OP上，当k<0时，点P′在射线OP的反向延长线 上. 那么称图形G与图形G′是位似图形. 这个点O 叫作位似 中心，常数k叫作位似比.
解题秘方：紧扣“位似图形每组对应顶点的连线 必过位似中心”进行查找.
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解：如图3.6-5，点P1，P2，P3即为所求的位似中心.
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2-1. [ 模拟·东营 ] 如图，在平面直角 坐标系中，△ ABC 与△ ODE 是 位似图形，其中点 A(2，1)，则 位似中心的坐标是 _(4_，___2_) ．
归纳总结
位似Hale Waihona Puke 定义 性质位似图形
画法 坐标规律
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知识点 3 位似图形的画法
画位似图形的步骤： (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图
形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点处)； (2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长； (3)根据位似比，确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.
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例3 [ 期中·重庆沙坪坝区] 如图 3.6-6，△ ABC 与△ DEF 是位似图形，点 O 为位似中心，已知 AB∶ DE ＝ 1∶ 2，△ ABC 的面积为 4，则△ DEF 的面积为
()
A． 6
B． 8
C． 12
D． 16
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解题秘方：紧扣位似图形位似比的性质进行计算 . 解：∵△ ABC 与△ DEF 是位似图形， ∴△ ABC ∽△ DEF.
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2. 位似与相似的关系：(1)相似仅要求两个图形形状完全 相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线所 在直线相交于一点；(2)如果两个图形是位似图形，那 么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一 定是位似图形，因此，位似是相似的特殊情况.
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特别提醒 ◆两个位似图形的位似中心一般只有一个. ◆位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两
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注意：画位似图形时，要弄清位似比，即分清是已知 图形与新图形的位似比，还是新图形与已知图 形的位似比.
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特别提醒 1. 位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求. 2. 以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形
往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧 各有一个符合要求的图形.
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4-1.如图，在 8× 8 的网 格 中，每 个 小 正 方形 的 顶 点叫 做 格点，△ OAB 的顶 点都在格点上，请在网格中画出△ OAB 的一个位似图形，使两个图形以 O 为位 似中心，且所画图形与△ OAB 的位似比 为2∶ 1．
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解：如图，分别延长AO，BO到A′，B′， 使OA′∶OA＝OB′∶OB＝2∶1， 则△OA′B′即为所求．
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2. 位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别： (1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形 式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三 种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换.
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(2)在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转 或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律： ①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离； ②在轴对称变换中，以x轴为对称轴，则对应点的横坐 标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则纵 坐标相等，横坐标互为相反数；
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(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； 解：点B′，C′的坐标分别为(－6，2)，(－4，－2).
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，试写出点M的 对应点M′的坐标. 点M(x，y)的对应点M′的坐标为(－2x，－2y).
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5-1. [ 中考·营口 ] 如图，在边长为 1 的小 正方形组成的网格中，建立平面直角 坐标系，△ ABC 的三个顶点均在格 点(网格线的交点)上，以原点 O 为位 似中心 ，画△A1B1C1，使它与△ ABC 的相似比为2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是_(4_，__2_)_或__(_－__4_，__－__2).