概率论与数理统计浙大四版 第二章3讲
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解 X 的分布密度函数为
f(x) 13, 2 x5, 0, 其他.
设 A 表示“ X 的观测值大于 3”,
即 A={ X >3 }.
由 P (A 于 ) P { X 3 }
51 dx
2,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
32.
P{Y2}23322132333231320
解： F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
解： 对x < -1，F(x) = 0
求 F(x).
对 1x1,
F(x)10d t x21t2dt
1
x
1x21ar
cxsi1n 2
对 x>1， F (x) = 1
即
0,
x1
F(x) x
1x21arcsx in1 2,
1, x 1
(2) 求X的概率密度.
解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
(2)
f(x)= dF ( x ) dx
2x,
0,
0 x 1 其它
注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在
F(x) 没意义的点处，任意规定 F(x)的值.
由此得， 1) 对连续型 r.v X,有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d x P (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差；
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽 车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来 一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率.
这是一个拓扑学问题 。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证 明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩 尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是 写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿请教。 哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行 论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题 也没有能够解决。
由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.
f (x)
o
x
下面给出几个常用连续型r.v的例子.
（1）若 r.vX的概率密度为： f (x)
f(x)b1a, axb
0, 其它 a b
则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：
2. 指数分布
定义 设连续型随机变 X的 量概率密度为
f
(x)
1ex θ
θ,
x 0,
0,
x 0.
其中θ0为常数 ,则称X 服从参数为 的指数
分布.
分布函数
F(x)1θ1exθ,x0,
0,
x0.
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
例1 设 随机变量 X 具有概率密度
kx ,
f
(x)
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数 ;
(3) 求 P {1 X 7 }. 2
解 (1)由f(x)dx1,
定义：若对于随机变量X的分布函数F(x),存 在非负实函数f(x),使得对任意的实数x,都有
x
F(x) f(t)dt
则称X为连续型随机变量，f(x)称为随机变 量X的概率密度函数（Probability Density Function）。
2. 概率密度函数的性质
பைடு நூலகம்
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P { x X x x } f(x ) x
它表示随机变量 X 取值于(x,xx]的 概率近似等于 f(x)x.
PXGfxdx
G
例2 某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
解： 设 A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
例 2（续）
150
x
(2
x)dx,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
0,
x 0,
x2
,
0 x 3,
即
F(
x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)P{1X72}F(72)F(1)
41 48
.
3、连续型 r.v的分布函数 若 X 是连续型r.v， X ～～ f (x) , 则
X ～ U(a, b)
它的实际背景是： r.v X 取值在区间 (a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间 内的概率与这个小区间的长度成正比. 则 X 具有(a,b)上的均匀分布.
分布函数
0,
x a,
F(x)
F(x) bxaa, a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao b
x
均匀分布常见于下列情形：
f
150
x dx
100
100 x2
dx
1 3
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重 Bernoulli试验．
设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元
件数，则Y~B(5,1/3).
故所求概率为
P{Y2}C52
12
3
23 3
80 243
四色猜想
四色猜想是世界近代三大数学难题之一(另外 两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。
得3kd x x4 (2x )d x 1 , 解之得 k1.
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
由 F(x)x f(x)dx得
0, x 0,
xx dx,
0 x 3,
F(x)
0 3
6 xdx
例6 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. 解 X 的分布函数为
F(x)1e2100x,0 x0,
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里 (Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色 工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅 地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的 国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即 “将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记， 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”
1
e 2 0.60.7
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
至此，我们已初步介绍了两类重要的随
机变量: 离散型r.v和连续型r.v
对它们分别用概率函数和密度函数描述.
P(x)
f (x)
o
x
o
x
下节课我们学习最重要的连续型随机变量： 正态分布.
作业
已知随机变量 X 的概率密度为 f (x) Ae x , x .
f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
需要指出的是:
连续型r.v取任一指定值的概率为0.
即： P(Xa)0, a为任一指定值
这是因为
P (X a ) liP m ( a X a x ) x 0 ax lim f(x)dx x0 a 0
所求概率为：
P { 1 0 X 1 } 5 P { 2 5 X 3 }0
151dx 301dx1 1030 2530 3
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
例5 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.
(1) 求系数 A; (2) 求 X 的分布函数 F (x);
由上述可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的 意义；我们所关心的是它在某一区间上取值 的问题．
若 已 知 连 续 X的 型 密 随 度 机 fx 函 ， 变 数
则X在 任 意 区G（间G可 以 是 开 区 ,也间可 以 是 闭 区 间 ， 或 半 开间 半； 闭可 区以 是 有 限 区 也 可 以 是 无 穷 区取 间值 ）的 上概 率 为 ，
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
3. 对 f(x)的进一步理解:
若x是 f(x)的连续点，则： xx
limP(xXxx)lim x
f(t)dt
x 0
x
x0
x
=f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,xx]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
第四节
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
1. 连续型r.v及其密度函数的定义
1
x
0tdt 1 (2t)dt
1
x0
0x1 1x2
x2
即
0,
x0
F(x)
x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x 1 1 x2
2
1,
x2
对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导 也可求出 f (x)，请看下例.
例3 设r.vX的分布函数为
0, x 0
(1) 求X取值在区间
F(x) x2, 0 x 1 (0.3,0.7)的概率；
0,
x0.
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(100) 0
1
e 2 0.60.7
(2 )P {X 20X 0 100 }00 P{X20,0X010}00 P{X10}00 P{X 200}0 P{X 100}0
1P{X200}0 1P{X100}0
1 F(2000) 1 F(1000)
1,
1x1 x1
大家一起来作下面的练习.
x, 0x1
设
X~ f(x)2x, 1x2
0, 其它
求 F(x).
x
F(x) f(t)dt
由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时
注意分段求.
x, 0x1 X~ f(x)2x, 1x2
0, 其它
x
F(x) f(t)dt
F(x) =
0
x
0 tdt
x
F(x) = P(Xx) = f (t)dt
即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分.
由上式可得，在 f (x)的连续点，
dF(x) f(x) dx
下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数.
例2 设r.v X 的密度函数为 f (x)
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
求 F(x).
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.
20 27
.
区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计 算机模拟中起着重要的作用.
实用中，用计算机程序可以在短时间 内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机 数. 它是由一种迭代过程产生的.
严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随 机数并非完全随机，但很接近随机，故常 称为伪随机数.
如取n足够大，独立产生n个U(0,1) 随机数，则从用这 n 个数字画出的频率 直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的 均匀分布U(0,1).
f(x) 13, 2 x5, 0, 其他.
设 A 表示“ X 的观测值大于 3”,
即 A={ X >3 }.
由 P (A 于 ) P { X 3 }
51 dx
2,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
32.
P{Y2}23322132333231320
解： F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
解： 对x < -1，F(x) = 0
求 F(x).
对 1x1,
F(x)10d t x21t2dt
1
x
1x21ar
cxsi1n 2
对 x>1， F (x) = 1
即
0,
x1
F(x) x
1x21arcsx in1 2,
1, x 1
(2) 求X的概率密度.
解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
(2)
f(x)= dF ( x ) dx
2x,
0,
0 x 1 其它
注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在
F(x) 没意义的点处，任意规定 F(x)的值.
由此得， 1) 对连续型 r.v X,有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d x P (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差；
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽 车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来 一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率.
这是一个拓扑学问题 。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证 明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩 尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是 写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿请教。 哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行 论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题 也没有能够解决。
由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.
f (x)
o
x
下面给出几个常用连续型r.v的例子.
（1）若 r.vX的概率密度为： f (x)
f(x)b1a, axb
0, 其它 a b
则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：
2. 指数分布
定义 设连续型随机变 X的 量概率密度为
f
(x)
1ex θ
θ,
x 0,
0,
x 0.
其中θ0为常数 ,则称X 服从参数为 的指数
分布.
分布函数
F(x)1θ1exθ,x0,
0,
x0.
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
例1 设 随机变量 X 具有概率密度
kx ,
f
(x)
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数 ;
(3) 求 P {1 X 7 }. 2
解 (1)由f(x)dx1,
定义：若对于随机变量X的分布函数F(x),存 在非负实函数f(x),使得对任意的实数x,都有
x
F(x) f(t)dt
则称X为连续型随机变量，f(x)称为随机变 量X的概率密度函数（Probability Density Function）。
2. 概率密度函数的性质
பைடு நூலகம்
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P { x X x x } f(x ) x
它表示随机变量 X 取值于(x,xx]的 概率近似等于 f(x)x.
PXGfxdx
G
例2 某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
解： 设 A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
例 2（续）
150
x
(2
x)dx,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
0,
x 0,
x2
,
0 x 3,
即
F(
x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)P{1X72}F(72)F(1)
41 48
.
3、连续型 r.v的分布函数 若 X 是连续型r.v， X ～～ f (x) , 则
X ～ U(a, b)
它的实际背景是： r.v X 取值在区间 (a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间 内的概率与这个小区间的长度成正比. 则 X 具有(a,b)上的均匀分布.
分布函数
0,
x a,
F(x)
F(x) bxaa, a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao b
x
均匀分布常见于下列情形：
f
150
x dx
100
100 x2
dx
1 3
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重 Bernoulli试验．
设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元
件数，则Y~B(5,1/3).
故所求概率为
P{Y2}C52
12
3
23 3
80 243
四色猜想
四色猜想是世界近代三大数学难题之一(另外 两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。
得3kd x x4 (2x )d x 1 , 解之得 k1.
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
由 F(x)x f(x)dx得
0, x 0,
xx dx,
0 x 3,
F(x)
0 3
6 xdx
例6 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. 解 X 的分布函数为
F(x)1e2100x,0 x0,
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里 (Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色 工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅 地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的 国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即 “将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记， 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”
1
e 2 0.60.7
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
至此，我们已初步介绍了两类重要的随
机变量: 离散型r.v和连续型r.v
对它们分别用概率函数和密度函数描述.
P(x)
f (x)
o
x
o
x
下节课我们学习最重要的连续型随机变量： 正态分布.
作业
已知随机变量 X 的概率密度为 f (x) Ae x , x .
f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
需要指出的是:
连续型r.v取任一指定值的概率为0.
即： P(Xa)0, a为任一指定值
这是因为
P (X a ) liP m ( a X a x ) x 0 ax lim f(x)dx x0 a 0
所求概率为：
P { 1 0 X 1 } 5 P { 2 5 X 3 }0
151dx 301dx1 1030 2530 3
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
例5 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.
(1) 求系数 A; (2) 求 X 的分布函数 F (x);
由上述可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的 意义；我们所关心的是它在某一区间上取值 的问题．
若 已 知 连 续 X的 型 密 随 度 机 fx 函 ， 变 数
则X在 任 意 区G（间G可 以 是 开 区 ,也间可 以 是 闭 区 间 ， 或 半 开间 半； 闭可 区以 是 有 限 区 也 可 以 是 无 穷 区取 间值 ）的 上概 率 为 ，
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
3. 对 f(x)的进一步理解:
若x是 f(x)的连续点，则： xx
limP(xXxx)lim x
f(t)dt
x 0
x
x0
x
=f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,xx]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
第四节
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
1. 连续型r.v及其密度函数的定义
1
x
0tdt 1 (2t)dt
1
x0
0x1 1x2
x2
即
0,
x0
F(x)
x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x 1 1 x2
2
1,
x2
对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导 也可求出 f (x)，请看下例.
例3 设r.vX的分布函数为
0, x 0
(1) 求X取值在区间
F(x) x2, 0 x 1 (0.3,0.7)的概率；
0,
x0.
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(100) 0
1
e 2 0.60.7
(2 )P {X 20X 0 100 }00 P{X20,0X010}00 P{X10}00 P{X 200}0 P{X 100}0
1P{X200}0 1P{X100}0
1 F(2000) 1 F(1000)
1,
1x1 x1
大家一起来作下面的练习.
x, 0x1
设
X~ f(x)2x, 1x2
0, 其它
求 F(x).
x
F(x) f(t)dt
由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时
注意分段求.
x, 0x1 X~ f(x)2x, 1x2
0, 其它
x
F(x) f(t)dt
F(x) =
0
x
0 tdt
x
F(x) = P(Xx) = f (t)dt
即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分.
由上式可得，在 f (x)的连续点，
dF(x) f(x) dx
下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数.
例2 设r.v X 的密度函数为 f (x)
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
求 F(x).
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.
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区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计 算机模拟中起着重要的作用.
实用中，用计算机程序可以在短时间 内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机 数. 它是由一种迭代过程产生的.
严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随 机数并非完全随机，但很接近随机，故常 称为伪随机数.
如取n足够大，独立产生n个U(0,1) 随机数，则从用这 n 个数字画出的频率 直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的 均匀分布U(0,1).