电力系统潮流计算数学模型

y23
3
y30
Y22

I2 U 2

I20
I21 I22 U 2

y20

y12 y23
（2）自导纳与互导纳—互导纳
节点i施加单位电压Ui，其它节点接地，节点j的注入电流Ii 即：Ui 0，U j （ 0 i j） Ij Yi10 Yi2 0 YjiUi Y1n 0 Y ji Ij /Ui
1、几何认识
y
y f (x)
第k+1步 迭代
下一步 迭代
y(k)
x(k )
o
x x (k 2) (k 1)
x(k)
x
讨论收敛区域和收敛条件。又称切线法。
2、设初始点 xo , f ( xo ) 0
f ( xo x) 0
f ( xo )
df dx
x0
x
1 2
d2 f dx 2
（1）直角坐标下的数学方程

n **
将 Vi ei jfi 和 Yij Gij jBij 代入 Pi jQi Vi Yij Vj
j 1
得到直角坐标下的数学方程

Pis

ei
n
(Gije j Bij f j )
fi
n
(Gij f j Bije j )
直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
该推导本身就是牛顿大习题+数学运算能力
n, m n m 1 1, 2, , m m 1, , n 1 n
PQ
PV
n
n
Pi ei (Gije j Bij f j ) fi (Gij f j Bije j )
j 1
j 1
已知
x1(0) ,
x(0) 2
，与真解的差为
x1(0) , x2(0)
f1 (
x(0) 1

x1(0) ,
x(0) 2

x2(0)
)

0
f2
(
x(0) 2

x2(0)
,
x(0) 2

x2(0)
)

0
3、多维非线性方程组的迭代公式
展开：
f1
(
x(0) 1
,
x(0) 2
)

f1 x1
x1( 0 )

Qis

j 1
n
fi
(Gije j
Bij f j ) ei
j 1
n
(Gij
fj
Bije j )

j 1
j 1
ei2

f
2 i
Vis2
i (PQ PV ) n 1
i PQ
m
i PV
n m 1
方程数： n 1 m n m 1 2(n 1) i

j 1
j 1
Qi Qis Qi Qis fi n (Gije j Bij f j ) ei (Gij f j Bije j ) 0

j 1
Vi2
Vis2
Vi
Vis2
ei2

f
2 i

0

P1

Q1



（2）自导纳与互导纳—自导纳
节点i施加单位电压Ui，其它节点接地，节点i的注入电流Ii 即：Ui 0，U j （ 0 i j）
Ii Yi10 Yi2 0 YiiUi Y1n 0 Yii Ii /Ui
1
y12
2
1
y12
2
y10 y31
y23 y20


Pm
F


Qm

Pm1

Ym
1





Pm1
Vn1
e1

f1





em
X


fm

em1

f
m
1





en1
f n1
e1

f1

x1 x

f ( xo ) 10 20 11
f ( xo )
20
x2

x1
f ( x1 ) 11 1 10.9141414
f ( x1 )
22
x3

x2
f ( x2 ) f ( x2 )
10.9141414 0.8815175 10.954526 2 10.9141414
x2
x0
0
df f ( xo ) dx x0 x 0
x f ( xo ) df
dx x0
x1 xo x
一般迭代公式：
xk1 xk
f ( xk ) df
迭代过程的收敛判据：
dx xk f ( xk )
例题：x2 120 0
xo 10, f ( x) x2 120, f ( x) 2x
PV母线: PL QL PG V已知， QG ？θ？ 具有无功储备的发电厂、具有无功电源的变电所
平衡母线: V已知，θ=0， QG ？ PG ？ 担任调频任务的发电厂
三、牛顿一拉夫逊法的潮流计算
一、牛顿一拉夫逊法的基本原理 1. 几何认识
2. 设初始点 xo , f ( xo ) 0
3. 多维非线性方程组的迭代公式
可以缩写为：
J (k )X (k ) F ( X (k) )
其中 J (k) F
X k
X (k1) X (k ) X (k )
讨论：
① 雅可比矩阵元素 ② 修正方程式，解线性方程组 ③ 如何得到J的元素 ④ 方程和变量的排序 ⑤ 解非线性方程组的一般方法：应用广、重要性。
电力系统潮流计算的计算机算法
高慧敏 专业课程设计
2009. 9.7
一、电力系统潮流概述
定义
根据给定的运行条件求取给定运行条件下的节点 电压和功率分布
意义
电力系统分析计算中最基本的一种：规划、扩建、 运行方式安排
概述
所需知识
(1)根据系统状况得到已知元件：网络、负荷、发电机 (2)电路理论：节点功率方程 (3)非线性方程组的列写和求解
i (PV
PQ )
n
n
Qi fi (Gije j Bij f j ) ei (Gij f j Bije j )
j 1
j 1
i PQ
Vi2 ei2 fi2
i PV
直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
Pi Pis Pi Pis ei n (Gije j Bij f j ) fi n (Gij f j Bije j ) 0
yij — 支路导纳 Yij — 节点导纳矩阵非对角元 Yii — 节点导纳矩阵对角元
Example 1
1
1
2
3
2
1
y12
2
y31
y23
y10
y20
y30
Y22 y20 y21 y23
Y23 y23 Y32
(3)节点导纳矩阵的形成
Step 1：导纳矩阵的阶数=独立节点数 Step 2：非对角元数=节点所连不接地之路数 Step 3：非对角元计算Yij Step 4：对角元计算Yii Step 5：矩阵的上三角或下三角
已知条件
负荷功率 PLd jQLd
发电机功率/电压
历史
手工计算：近似方法 计算机求解：严格方法
二、电力系统潮流计算的数学模型 电路方程
回路电流方程（回路电压为零） 节点电压方程（节点电流为零） 割集电压方程
数学模型 1电压方程
（1）节点电压方程 IB YBUB

f1 x2 k f2 x2 k
fn x2 k
f1 xn
f2 xn


k


x1( k x2( k
) )

k
fn


xn( k
)


xn k
x (k1) i

x (k) i

xi ( k )
(i 1, 2, ,n)

f1 ( x1(k ) , f2 ( x1(k ) ,
x2(k ) , x2(k ) ,


fn ( x1(k )
,
x(k) 2
,
xn( k xn( k
) )
) )




f1 x1

f
2


x1
k k
xn( k
)
)


f
n
x1 k
（2）变量的分类
对每个节点，可能存在六个量：
PL QL 不可控量 PG QG 控制量 U θ 状态变量
定解条件：
已知：PQ节点 Pis、Qis ， PV节点 Pis、Vis ，
平衡节点，VQ ，
求： PQ节点电压V、 ， PV节点 （各节点电压）
（3） 母线的分类
PQ母线： PL QL PG QG已知， V？ θ？ 有功和无功固定的发电厂、无电源变电所
未知量： ei , fi , i (PQ PV ) , 2(n 1)
（2）极坐标下的数学方程

将 Vi Vie ji
和Yij Gij jBij
代入Pi

jQi

Vi
n **
Yij V j
j 1
得极坐标下的数学方程
n
Pi Vi Vj (Gij cos ij Bij sin ij ) i (PQ PV ) j 1
0

f1 x2
0
x2( 0 )

0
f2
(
x(0) 1
,
x(0) 2
)

f2 x1
0
x1(0)

f2 x2
0
x2(0)

0
矩阵形式：
f1

f (0) 1
f (0) 2



x1

f 2 x1
f1
x2 f 2 x2
(0)
x4

x3
f ( x3 ) f ( x3 )
10.954526 0.00163988 2 10.954526
10.954451
f ( x4 ) 0.000003289
3、多维非线性方程组的迭代公式
以两维为例说明多维的基本思想
f1 ( x1 , x2 ) 0 f2 ( x1 , x2 ) 0
I1 I2



Y11 Y21
Y12 Y22

Y1n Y2n

UU12



In

Yn1
Yn2

Ynn

U n

I1 Y11U1 Y12U 2 Y1nU n Ii Yi1U1 Yi2U 2 YiiU i Y1nU n
2 功率方程、变量与节点 （1）功率方程
*
I

S/U ,
I YU
*
I

S
*

YU
U
*
*



S i U i Yij U j Pi jQi
j
方程左边：
Pi PG,i PL,i
Qi QG,i QL,i
Pij ——支路潮流 PG ——发电功率 PL ——负荷功率
n
Qi Vi Vj (Bij cos ij Gij sin ij ) j 1
i PQ
未知量：Vi , i , i PQ
2m
i .i PV , n m 1 2m n m 1 n m 1
方程： n 1 m n m 1
xn ) 0 xn ) 0
fn ( x1 , x2 , xn ) 0
记：
F f1, f2 , , fn T X x1, x2 , , xn T
则方程为： F ( X ) 0
3、多维非线性方程组的迭代公式
将 F ( X ) 0展开，写成矩阵形式，则第k+1次迭代时：
1
y12
2
1
y12
2
y10 y31
y23 y20
y23
3
y30
Y12

I1 U 2

I21 U 2
y21
Y11 Y12 Y1n
Y21
Y22

Y2
n


Yn1
Yn 2

Ynn

Yij yij Y ji
Yii yi0 yij yi0 Yij




em
X


f
m

em1

f
m
1





en1
fX
(
k
1)

X (k)

X (k)
迭代收敛条件：
max(| Fi |)
直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
计算 i j 时雅可比矩阵各元素

x1( 0 x2( 0
) )


0

x(1) 1
x(1) 2



x1( 0 x2( 0
) )



x1( 0 x2( 0
) )

3、多维非线性方程组的迭代公式
基于同样的思想，我们可以得到n维非线性方程—牛顿
拉夫逊迭代公式
f1 ( x1 , x2 , f2 ( x1 , x2 ,