2022-2023高一上期末复习重难点对数(解析版)

2022-2023高一上期末复习重难点对数
一、单选题
1．已知lg 2a =，lg3b =，则36log 5=（ ）
A ．
221a b a +- B ．12a
a b -+ C ．22a a b -+ D ．122a a b -+ 【答案】D
【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案． 【解析】因为lg 2a =，lg3b =，所以()36lg 51lg 21log 5lg 362lg 2lg 322a
a b
--===++． 故选：D.
2．已知2log 3a =，3log 4b =，2c =，则（ ） A ．a >b >c B ．c >b >a
C ．a >c >b
D ．b >a >c
【答案】C
【分析】a 与c 先通过3
2
进行比较，能得到a c >，接着发现2ab c =，所以c b >，即可得到结果
【解析】因为2223
log 3log 9log 822
a ==>=>，所以a c >，
又23lg 3log 3log 4lg 2ab =⋅=
⋅22lg 2
2lg 3
c ==，所以c b >，所以a c b >>， 故选：C.
3．已知53a =，32b =，则5（） A ．1 B ．2
C ．5
D ．4
【答案】A
【分析】先求得,a b ，然后结合对数运算求得正确答案. 【解析】∵53a =，32b =，∴5log 3a =，3log 2b =， 5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2
log 10log 3log 10log 2log 51log 3
-⨯
=-==． 故选：A
4．345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，则x =（ ） A ．64 B ．125 C ．256 D ．625
【答案】D
【分析】根据对数的运算及性质化简求解即可.
【解析】()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，45log (log )1x ∴=，5log 4x ∴=，45625x ∴==
故选：D
5．中国的5G 技术处于领先地位，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
．它表
示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内
部的高斯噪声功率N 的大小，其中S
N
叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S
N
从1000提升到4000，则C 大约增加了（ ）(lg 20.301)≈
A ．10%
B ．20%
C ．30%
D ．50% 【答案】B
【分析】根据题中的香农公式分别计算
S
N
等于1000和4000时对应的C ，进而比较可得出结果. 【解析】信噪比提升到4000时对应的C 值记为C '，根据题意， 1000S N =时，222log 1log 10013log 10S C W W W N ⎛
⎫=+=≈ ⎪⎝⎭
4000S N =时，()222log 1log 400123log 10S C W W W N ⎛
⎫=+=≈+ ⎪⎝'⎭
()22·23log 10 1.23?log 10W C C W '+∴=≈
C ∴大约增加了20%，选项B 正确.
故选：B.
6．已知正实数,,a b c 满足1235a b c
==≠，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．a c b >> 【答案】B
【分析】根据条件结合作商比较法可得2ln 33ln 2b a =，2ln 5
5ln 2
c a =从而可得答案.
【解析】由ln 2ln 323a b =，可得2ln 3ln 9
13ln 2ln8
b a ==>，所以b a > 由ln 2ln 525a
c =，可得()2ln 5ln 25
0,15ln 2ln 32c a ==∈，所以c a <所以b a c >> 故选：B
7．如果方程2(lg )(lg 7lg 5)lg lg 7lg 50x x +++⋅=的两根为α、β，则αβ⋅的值是（ ）
A ．135
B ．lg35
C ．lg 7lg 5⋅
D ．35
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系和对数的运算性质直接求得.
【解析】由题意知，lg α、lg β是一元二次方程2(lg 7lg 5)lg 7lg 50x x +++⋅=的两根， 依据根与系数的关系得lg lg (lg 7lg5)αβ+=-+，1lg()lg(75)αβ-⋅=⨯，∴135
αβ⋅=. 故选：A.
8．已知2，3，则42（）
A ．
3
1mn mn ++ B ．
3
21m n m n ++++
C ．31mn mn m +++
D ．31mn mn m +-+
【答案】C 【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.
【解析】由换底公式得：223log 7log 3log 7mn =⋅=，71
log 2mn
=
4242424278log 5678log log log ⨯=+=，其中4277771111711log 421log 61log 2log 311log mn
mn m mn n
=====
+++++++，
424222233383242log log log log lo 67g 1mn m ====+++，故42313log 5611
mn m mn m mn mn m mn +=++=+++++ 故选：C
二、多选题
9．下列运算错误的是（ ）
A ．5
115
2log 10log 0.252+= B ．42598
log 27log 8log 59
⋅⋅=
C ．lg 2lg5010+=
D ．(2
2(23)
5
log (23)log 24
+-=-
【答案】ABC
【分析】根据对数的运算性质逐项运算检验，即可判断各选项是否运算错误． 【解析】解：
对于A ， 22
11115
5
5
5
2log 10log 0.25log (100.25)log 52+=⨯==-，所以选项A 错误；
对于B ，334259222
lg 3lg 2lg 5339
log 27log 8log 5lg 2lg 5lg 32228
⨯⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯，所以选项B 错误； 对于C ，lg 2lg50lg1002+==，所以选项C 错误；
对于D ，2
22(23)15log (23)(log 2)1()24
+--=--=-，所以选项D 正确．
故选：ABC ．
，则下列等式中不正确的是（ A ．lg()lg lg ab a b =+ B ．lg lg lg a a b b ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．2
1lg lg 2a a b b ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()1lg()log 10ab ab =
【答案】AB
【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．
【解析】对于A ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确； 对于B ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；
对于C ，00a
ab b
>⇒>，按照对数的运算法则，该等式正确；
对于D ，由换底公式得，()()()1
lg()log 1log 0log 10ab ab ab ab ab ==，该等式正确．
故选AB ．
【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用． 11．若1a >，1b >，且lg lg lg a b a b +=+，则（ ）
A ．()()1lg 1g 0l a b -+-=
B ．11lg 0a b ⎛⎫
⎪⎝⎭+= C ．()()1lg 1g 1l a b -+-= D ．11lg 1a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
【答案】AB
【分析】根据对数运算求得正确答案. 【解析】依题意1,1a b >>，
由()()lg lg lg lg a b a b ab +=+=，得a b ab +=，所以()()()1111a b ab a b --=-++=，且11
1a b ab a b
+=+=， 即()()()()lg 1lg 1lg 11lg10a b a b -+-=-⎦
=⎡⎤⎣-=，11lg 0a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
+=． 故选：AB
A ．若0a >，且1a ≠，则0x ∀>，0y >，()log log log a a a x y x y +=+
B ．若0a >，且1a ≠，则0x ∃>，0y >，()log log log a a a x y xy ⋅=
C ．0a ∀>，0b >，()ln ln ln ab a b =+
D ．1a ∀>，0b >，log a b a b = 【答案】BCD
【分析】根据对数的运算法则即可判断.
【解析】解：对于选项AC ，由对数的运算性质知0x ∀>，0y >有()log log log a a a xy x y =+，而
()log log log a a a x y x y +≠+，选项A 错误，C 正确；
对于选项B ，当1x y ==时，()log log log a a a x y xy ⋅=成立，选项B 正确； 对于选项D ，由对数的概念可知选项D 正确． 故选:BCD ．
13．任何一个正整数x 都可以表示成()10110,n
x a a n =⨯≤<∈N ，此时lg lg x n a =+．则下列结论正确的是
（ ） 真数N
2
3
4
5
6
7
8
lg N （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
A ．x 是1n +位数
B ．x 是n 位数
B ．
C ．1003是47位数
D ．155是11位数
【答案】AD
【分析】结合已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解析】()10110,n
x a a n =⨯≤<∈N ，所以x 是1n +位数，故A 正确，B 不正确；
设1003x =，则lg 100lg347.7x =≈，所以0.7471010x =⨯，所以1003是48位数，故C 不正确； 对于D ，若155x =，则lg 15lg510.485x =≈，则0.485101010x =⨯，故155是11位数，故D 正确． 故选：AD
14．已知x >0，y >0，z >0，若357-1<log log log 0x y z ==<，则（ ） A ．z <y <x B ．x <z <y
C ．3x <5y <7z
D ．5y <3x <7z
【答案】AC
【分析】设357log log log x y z t ===，则3,5,7t t t x y z ===，再利用t y x =在()0,∞+上的单调性比较；由11133,55,77t t t x y z +++===，利用1t y x +=在()0,∞+上的单调性比较.
【解析】设357log log log x y z t ===，
所以3,5,7t t t x y z ===，因为357-1<log log log 0x y z ==<， 所以10t -<<，所以t y x =在()0,∞+上是减函数，所以 z <y <x ，
而11133,55,77t t t x y z +++===，1t y x +=在()0,∞+上是增函数，所以3x <5y <7z 故选：AC
【点睛】本题主要考查对数转化为指数，幂函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、填空题
15．计算：41
log 24481lg 30lg 3++-=______． 【答案】6
【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【解析】原式()
144
30
23lg
23163
=++=++=． 故答案为：6． 16．)
2
1ln1
3
log 4
812
lg
21
23100
-
⎛⎫-++= ⎪⎝⎭
________．
【答案】33529
44
--
【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值 【解析】原式(
)
2
22232
3
333
log 22
2
323
22
3135292
lg102122123234444
23
-⨯--
---
⎛⎫
=-++
-=-
-+=--⨯=-- ⎪⎝⎭
=a 【答案】100
【分析】由题意可得lg 2lg lg 4a =，再根据对数的运算性质即可得出答案. 【解析】解：因为正数a 满足lg24a =，
所以lg 2lg lg 4a =，即lg 2lg 2lg 2a ⨯=，所以lg 2a =，解得210100a ==. 故答案为：100.
18．化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________ 【答案】2
【分析】结合log log m n
a a n
b b m =
、换底公式化简计算即可 【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343
log 3log 2232
=⨯=.
故答案为：2.
23
a
=84=【答案】
9
25
##0.36
【分析】由指数与对数的运算性质求解 【解析】因为2
3
a
=，所以2log 3a =，又8log 5b =，所以21
log 53
b =，
所以233log 5a b -=，232log 35
94225
a b -==
， 故答案为：
925
20．已知3a b =，log a b a
=，则3a b +=_________． 【答案】63
【分析】根据对数性质判断0,0a b >>，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案. 【解析】由题意可知0,0a b >>， 由3a b =，log a b b a =可得3
log 3,3a b a b a a
==∴=，则33,3a a a =∴=，则33b =， 故363a b +=, 故答案为: 63
四、解答题 21．计算：
(1)7lg142lg lg 7lg183
-+-；(2)()2
lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；
(3)()()223666661log 2log 33log 2log 18log 23⎛⎫
++⨯ ⎪⎝⎭
．
【答案】(1)0
(2)3 (3)1
【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可； （2）提公因式，逐步化简即可求解； （3）逐步将原式化成只含6log 2和6log 3形式. （1）
方法一：（直接运算）原式2
2
7147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫
=-+-==⎫
⎪⎝⎭
= ⎪⎝⎭⨯． 方法二：（拆项后运算）原式()()()2
lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯
lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．
（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2
=⨯++++
()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=．
（3）
原式()()3
22
6666
318log 2log 33log 2log 2
=++⨯()()22
36666log 2log 33log 2log 9=++⨯
()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()62
6log 2log 31=+=． 22．(1)()()2
2
93777log 49log 7log 3log 3log 3+-
-；(2)2log 314331log lg 25lg 2log 9log 82e 2
-++-⨯++
【答案】(1)2；(2)4.
【分析】(1)将()2
37log 7log 3+展开再根据对数的运算求解； (2)根据对数的运算求解即可.
【解析】解:(1)原式()()()2
2
2
3373777log 7log 7log 32log 7log 3log 3log 3
=++⨯-
- ()()22
33log 72log 72=+-=．
(2)原式22
21221
log 32
223
3312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯+
+323314log 3lg5lg 2log 33log 222=++-⨯++ ()4lg 52324114=+⨯-+=+-=．
(1)ln 2ln 3ln 36
+；(2)22lg 2lg 52lg 2lg5++；(3)23log 9log 4⋅；
(4)414log 28log 56+；(5)154311lg log 9log 125log 10032+--；(6)38
1log 10032+ 2ln 3ln9e +(8)235111log log log 2589
⋅⋅． 【答案】(1)1
2 (2)1
(3)4 (4)12
-
(5)92
-
(6)1-
(7)ln3e (8)12-
【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可. (1)
解：
ln 2ln 3ln 61
ln 362ln 62
+==； (2)
解：()2
22lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg51++=+=； (3)
解：()2323log 9log 42log 32log 24⋅=⋅=； (4)
解：2141444
224
111log 28log 56log 28log 56log log 2log 2222
-+=-===-=-； (5)
解：154311lg log 9log 125log 10032+--22
2351523
1lg10log log 5log 23---⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭
52232=---+92=-； (6) 解：381log lg 10032
+32532log 2lg10-=+52
133=-+=-；
(7)
解：()
2
22ln 3ln 9e ln 32ln 3+11ln 31ln 3ln 3e +=+=+=+=；
(8)
解：2
35111
log log log 2589
⋅⋅232235log 5log 2log 3---=⋅⋅23512log 5log 2log 312=-⋅⋅=-. 24．（1）已知3，把2写成含a 的代数式； （2）已知lg 2a =，把2log 25写成含a 的代数式.
【答案】（1）15a
+
；（2）22a
a -. 【分析】（1）根据同底数对数的加法运算、幂的对数运算性质及换底公式即可得解；
（2）根据同底数对数的减法运算、幂的对数运算性质及换底公式即可得解.
【解析】（1）因为3log 2a =，所以2log 96=()55
222311
log 23=log 2+log 3=5+
=5+.log 2a
⨯ （2）因为lg 2a =，所以2log 25=100
lg
lg 25lg100lg 4224===.lg 2lg 2lg 2a a
--
25．化简：()24822log 3log 9log 27log 3log 8n n
n +++⋅⋅⋅+⋅.
【答案】23log 3
【分析】利用对数的运算法则计算得到答案.
【解析】因为22log 3log 3n n
=，故原式2221log 3log 83log 3n n
=⋅⋅=.
26．设0a >，1a ≠，0M >，0N >，n R ∈，证明：log log log a a a M N N
=-，log log n a a M n M =. 【答案】见解析
【分析】结合指数的运算性质m
m n n a a a
-=和()m n mn a a =，同时取对数即可证得.
【解析】设,n
m
M a N a == ，因为m
m n n a a a
-=，所以m n M a N -=, 由对数的定义得到log ,log ,log a a a
M
M m N n m n N ===-，所以log log log a a a M M N N
=-； 因为()m n mn a a =，所以log ()m n a a mn =，即log log n
a a M n M =
()()()()log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=⋅．
【答案】证明见解析
【分析】根据对数运算法则和换底公式证明． 【解析】证明：由勾股定理，得222+=a b c ．
()()()()()()()()()()()
22log log log 11
log log log log log log log log a a a c b c b a a a a a a c b c b c b a a c b c b c b c b c b c b +--++-+=+==+-+⋅-+⋅-
()()
()()2
log 2log log log log a c b c b a a a a a c b c b +-==⋅+⋅-． 所以原等式成立．
28．设实数a ，b ，c 为正数，且满足222+=a b c ，4og )(l 11a +=，8log ()3
a b c +-=，求实数a ，b ，c 的值．
【答案】6,8,10a b c ===
【分析】利用对数式指数式互化及条件即求. 【解析】由4og )(l 11b c a ++=得14b c
a
++=，即3b c a +=， 由82
log ()3
a b c +-=
得2384a b c +-==，又222+=a b c ， ∴6,8,10a b c ===.
1000，10000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…我们再来看物理学中的一个例子.声强是表示声波强度的物理量，可用公式21
2
I vA ρω=
表示，其中v 表示声速，ω和A 分别是声波的频率和振幅，ρ是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引
入了声强级的概念，规定声强级0
lg I L I =.通常规定202
010/m I w -=（相当于频率为1000Hz 时能够引起听觉
的最弱的声强），这时计算出来的L 就是声强Ⅰ的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由于贝尔这
个单位太大，通常采用贝尔的1
10作单位，这就是分贝（dB ）：010lg ()I L dB I =.当被测量的声强I 为声强0
I 的100倍时，声强级L 为多少分贝？ 【答案】20
【分析】由对数的运算求解即可.
【解析】当被测量的声强I 为声强0I 的100倍时，0
100I
I = 0
10lg
10lg10020()I
L dB I ∴=⨯=⨯= ∴当被测量的声强I 为声强0I 的100倍时，声强级L 为20分贝
30．已知()()()212313515235log log log log log log log log log 0x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，试比较x ，y ，z 的大小．
【答案】y x z >>．
【分析】对于形如()log log 0a b f x =⎡⎤⎣⎦的方程，由外向内逐层求解，即逐步脱去对数符号，从而建立关于x 的方程，求出x 的值，即可得到1
22x =、1
33y =、1
55z =，再根据幂函数的性质判断可得；
【解析】解：由()212
2log log log 0x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
得()122log log 1x =，21
log 2x =
，即122x =；理133y =，155z =． ∵1
2
1
366339y ===，3
1
1662228x ===，∴y x >．又5
1
1
101022232x ===，121
510105525z ===， ∴>x z ，∴y x z >>．
．已知222求（1）2x y +的最小值；（2）
4911
x y
x y +--的最小值； （3）正数z 满足11
1x y z +=+，求z 的取值范围. 【答案】（1）322+；（2）25；（3）41,3⎛⎤
⎥⎝⎦
.
【分析】（１）利用对数的运算得到x y xy +=，0x >，0y >，所以11
1x y
+=，然后利用“乘1法”，使用基
本不等式求最值； （2）将
4911
x y
x y +--通分合并，并利用x y xy +=化简为94x y +，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值； （3）根据x y xy +=，利用基本不等式的变形不等式2
(
)2
x y xy +，求得4x y +，进而求得z 的取值范围. 【解析】解：（1）因为2222log ()log log log x y x y xy +=+=，
所以x y xy +=，0x >，0y >，所以111x y +=，所以1122(2)()3322y x
x y x y x y x y +=++=+++，
当且仅当
2y x x y =且11
1x y +=，即12x =+，212
y =+时取等号， 此时2x y +取得最小值322+；
（2）494
9
4
9
4913
491313111111()1x
y
y x x y x y x y xy x y +-+=+++=++=+-------++，
11494994(94)()1313225y x y x
x y x y x y x y x y
=+=++=+++⋅=，
当且仅当
49y x x y =且111x y +=，即5
3x =，52
y =时取等号，此时4911x y x y +--的最小值25； （3）因为2
(
)2
x y x y xy ++=，当且仅当2x y ==时取等号，解得4x y +，所以
11(0,]13x y ∈+-， 因为正数z 满足11
1x y z +=+，所以1411,13z x y ⎛⎤
=+∈ ⎥+-⎝⎦
， 故z 的取值范围41,3⎛⎤
⎥⎝⎦
.
32．已知a ，a （且1a ≠）． (1)求2m n a +的值；
(2)若3log 21m n +=+，解关于x 的不等式：2(1)60tx at x a -++-<（其中t R ∈）． 【答案】(1)12
(2)当0t <时，不等式的解集为1,(3,)t ⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭；当0=t 时，不等式的解集为()3,+∞；当103t <<时，不等
式的解集为13,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；当13t =时，不等式的解集为∅；当13t >时，不等式的解集为1,3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭；
【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；
（2）利用对数的运算可得3a =，再分类讨论0t <，0=t ，103t <<，13
t =和13t >，解不等式即可得解. (1)
由log 3a m =，log 2a n =，得3m a =，2n a =2223212m n m n a a a +∴=⋅=⨯=
(2)
3log 21m n +=+，33log 3log 2log 6log 21log 6a a a ∴+==+=，3a ∴=
不等式22(1)60(31)30tx at x a tx t x -++-<⇒-++<
（1）当0=t 时，不等式为：30x -+<，解得3x >，不等式的解集为()3,+∞；
（2）当0t ≠时，方程2(31)30tx t x -++=的两个根为13x =和21x t
= ①当0t <时，13t <，二次函数开口向下，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭； ②当103t <<时，13t >，二次函数开口向上，不等式的解集为13,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ③当13t =时，二次函数开口向上，不等式的解集为∅；④当13t >时，13t
<二次函数开口向上，不等式的解集为1,3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 综上可知，当0t <时，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭；当0=t 时，不等式的解集为()3,+∞； 当103t <<时，不等式的解集为13,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；当13t =时，不等式的解集为∅；当13t >时，不等式的解集为1,3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (1)证明：log 1log log a a ab x b x =+．(2)已知333pa qb rc ==，且1111a b c
++=． 求证：()1
111
222333
3pa qb rc p q r ++=++． 【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.
（2）令333pa qb rc k ===，结合指数运算，通过证明等式左边=右边=13k 来证得等式成立.
（1）左边1
log log log log 1log 1log log log a x x a a ab x x x a ab ab b x a
ab
=====+=右边 （2）令333pa qb rc k ===，则2k pa a =，2k qb b =，2k rc c =，
所以()11322
23k k k pa qb rc a b c ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭1133111k k a b c ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1111
11113
3333333333111k k k p q r k k a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以()12223pa qb rc ++=111
333p q r ++．。