第十七章积分的应用

17-8 )
利用微元法,取极角为积分变量,变化区间为, ,在任
意子区, +d 上,曲边扇形面积的部分量可用处的极径r
( )为半径,以d为圆心角的扇形来近似代替,即面积的微元
为dA

1 2
r(
)2
d
,
在
,

上积分,
得曲边扇形面积为
A

1 2
r(
)2
代替,那么(2)中的近似形式f (i )xi可表示为f (x)dx,它和(4)中
b
的定积分 f (x)dx被积表达式相同,从而可以把上述四步简化 a
为两步.
y
(1)选取积分变量x a,b,在
y f (x)
a,b上任取一代表性区间x, x dx
如图17 1所示,区间x, x dx上的小
a
ax
h
x
b 图17-12 例6示意图
图17-13 例7示意图
例7 求底圆半径为r,高为h的圆锥体的体积.
解 以圆锥全的轴线为x轴,顶点为原点(见图17 13).过点O及点
P(h, r)的直线方程为
y

r h
x
此圆锥体可看作由直线y

r h
x,
x

0,
x

h及x轴所围成的直角
三角形绕x轴旋转围成的.由旋转体体积的计算公式,得所求圆锥
1 2
cos
2

d

1 a2 2

3 2

2sin

1 4
sin
2

0

3 a2
4
故所求的面积A

2 A1

3 2

a2
二、旋转体的体积
求由曲线y f (x)直线x a, x b(a b)及x轴所围成的曲
边梯形绕x轴旋转一周所形成的立体(叫旋转体)的体积(见图
(a2

x2 )dx故所求体积为
V
a

a
b2 a2
(a2
x2 )dx

2 b2
a2
a
(a2 x2 )dx
0

2 b2
a2
a2 x
1 3
a
x3

0

4 ab2
3
特别情况,若a b,例6变成圆绕x轴旋转成为球体,其体积
V 4 a3
3
y
y
b
O
O
r
的近似值dA f (x)dx,然后把它作为被积表达式,从而得到所求
b
量A的积分表达式A f (x)xdx a
这种方法叫做微元法(或叫做元素法),dA f (x)xdx称为所求 量A的微元或元素.
思考题 1.使用定积分微元法要满足哪些条件?
答案
2.请用定积分表示由曲线y= 1 , y x, x 2所围图形的面积S. x 答案
b
b
V y2dx f 2 (x)dx
a
a
(5-7)
同理可以得到:由由线x ( y),直线y c, y d (c d )与y
轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周所形成的旋转体(见图17-11)
的体积为
d
d
V x2dy 2 ( y)dy
c
c
(17-8)
y
度可以用曲线在点M x, f (x)处的
y f (x)
切线上相应的小直线MT的长度近 似代替,如图5-14所示,由于切上
N
M
y T
Q
小直线段MT (dx)2 (dy)2 1 ( y ')2 dx于是可取弧长微元为
dy
O a x x dx b
x
图17-14 微元法求弧长
dl 1 ( y ')2 dx
(3)求和
曲边梯形面积A的近似值为A

n
Ai

n

f
(i )xi
i1
i1
(4)取极限 = max{x1,x2, ,xn},于是
n
b
A

lim
0 i1
f
(i )xi

f (x)dx
a
在上述四步中, 若从任意分割后的若干子区间上任取一个
代表来讨论,这个代表区间可记为x, x dx,而点i可以用x来
3.应用微元法解决实际问题,最重要的一步是什么?
答案
课堂练习题
1.求由曲线y = ln x, y轴和直线 y = ln a,y = ln b b > a > 0
所围图形的面积.
答案
2.曲线r = 2a cos所围图形面积S为多少?
答案
第二节 定积分在几何中的应用
一、平面图形的面积 1. 在直角坐标系下的计算
解
如图17

5所示,
取x为积分变量.解方程组

y y
x2 2x
得交点为(0,0)与(1,1),故积分
y
区间为0,1,其面积微元为dA
( x x2 )dx.(等式右端为什么不
y2 x
能表示为(x2 - x )dx ?)因而所求
y x2
图形面积为
A
1
(
0
x

x2 )dx
显然在极轴以上部分的变化区间为0, ,面积微元为
dA 1 r2 ( )d 1 (1 cos )2 d
因此
2
2
A1
1a2 (1 cos )2 d 1 a2
02
2

(1 cos )2 d
0
1 a2 2
0

3 2

2 cos

17 10)
y
取横坐标x为积分变量, 在区间
y f (x)
a,b上任取一子区间x, x dx在
其上的小旋转体可近似看成底半
a O
径为y,高为dx的小圆柱体,即体积
x x dx
b x
微元
dV y2dx f 2 (x) dx
图17 10 绕x轴求体积
则旋转体体积
b
元dA g2 ( y) g1( y),面积A g2 ( y) g1( y) c
例1 求抛物线y 4 x2与x轴所围成的平面图形面积.
解 如图17 4所示,取积分变量为x,为了确定平面图形所在范围,
先求抛物线y

4

x2与x轴的交点.为此解方程组

y

4
第十七章 积分的应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
定积分的微元法 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用 定积分在经济问题中的简单应用 常微分方程简介
本章用定积分方法分析和解决一些实际问题.通过一些 实际例子，不仅可以掌握某些量的计算公式，而且更重要 的是学会运用微分元法将一个未知量表达成定积分的分析 方法.

2 3
3
x2

1 3
x3
1
0

1 3
O
x
图17-5 例2示意图
例3 求由抛物线y2 2x与直线y x 4所围成的平面图形的面积.
解
如图17

6所示,
取y为积分变量比较简便.解方程组
x

1 2
y2
得交点(2, 2)与(8, 4),所以积
x 4 y
分区间为2, 4.其面积元素为
d
x (x)
c
O
x
图17 11 绕y轴求体积
例6
求椭圆 x2 a2

y2 b2
1绕x轴旋转所得旋转体的体积.
解 该旋转体可以看作由曲线y b a2 x2 绕x轴旋转而成(见
a
图 17-12 )
取积分变量为x,积分区间为a, a,体积微元为dV y2dx


b2 a2
)

给出时,则曲边梯形的面积为A y(t)x '(t)dt
式中, y(t) 0;与分别为曲边左,右端所对应的参数值.
2.在极坐标系下的面积计算
设曲线的方程由极坐标给出:r r( ), , 求曲线
r r( ),半直线 , 所围成的曲边扇形的面积(见图
体的体积
V
h

0

r h
2
x

dx

r2
h2

x3 3
h
0

1 计算曲线y f (x)上相应于x从a到b的一段弧的长度.
设函数y f (x)在a,b上具有一阶连续导数,选取x a,b
为积分变量,任取一子区间 x, x dx,相应的小弧段MN的长

x2
y 0
交点为(2, 0)与(2, 0), 可知积分
区间为-2,2,其面积微元为dA
y 4 y 4 x2
(4 x2 )dx故所求图形面积为
A
2
(4 x2 )dx 2
2 (4 x2 )dx 32
2
0
3
2 O
2
x
图17-4 例1示意图
例2 计算由两条抛物线y x2与y2 x所围成的平面图形的面积.
dA
曲边梯形的面积A可近似以数f (x)为
高, dx为底的小矩形面积f (x)dx,即 A f (x)dx
O a x x dx b x 图17 1 微元法图形
b
(2)将上式右端在区间a,b上积分,得A f (x)dx一般地, a
若所求量A与x变化区间 a, b 有关.且关于区间 a, b 具有可加性, 在a,b上的任意一个小区间x, x dx上找出所求量的一微小量
dA

( y

4)

y2 2

dy,故所求图
形面积为
A
4 ( y 2

4)

y2 2

dy
y2 2x
(8, 4)
y x4
O (2, 2)

1 2
y2

4y

1 6
4
y
3

2
18
图17-6 例3示意图
y
例4 求摆线
x

y

(微小的切线段长度替代与之相应的微小弧线段的长度.)
所以,所求弧长为 b l 1 ( y ')2 dx a
如果曲线是由参数方程
x

y
(t)
,
(t)
(

t


)表示,则弧长微元为
dl (dx)2 (dy)2 '(t)dt2 '(t)dt2 '(t)2 '(t)2 dt
(1)根据第一节的分析可知,由曲线y f (x) 0, x a, x b, (a b)及x轴所围成的图形(见图17 1),其面积微元dA f (x)dx
b
面积A f (x)dx a (2)由上,下两条曲线y f1(x), y f2 (x), f2 (x) f1(x) 及x a, x b, (a b)所围成的图形(见图17-2), 其面积微 b 元dA f2 (x) f1(x), 面面积A f2 (x) f1(x)dx a
0
0

2
a2 (1 cos t)2 dt x a2
0
2 0
1

2
cos
t

1

cos 2
2t

dt

a2

3 2
t
2sin t

sin 2t 2 4 0
3 a2
一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程
x

y

x(t) ,
y(t)
(

t


y y f2(x)
y d x g1( y) y dy x g2 ( y)
a
x
x dx b x
dA y
O
y f1(x)
c
O
x
17-2 微元法求面积
17-3 微元法求面积
(3)由左右两条曲线x g1( y), x g2 ( y),g2 ( y) g1( y)
及y cy d,(c d )所围成的的图形(见图17 3),其面积微
a(t sin t) a(1 cos t)
,
(0

t

2
)
的第一拱与x轴所围成的图形
面积(见图17-7)
解 以x为积分变量,当t 0时, x 0;
当t 2时,x 2.一进应用积分
的换元法得所求面积
O
2 a x
图17-7 例4示意图
2 a
2
A ydx a(1 cost)d a(t sin t)
(1)分割 将a,b任意分成n个子区间xi1, xi ,(i 1, 2, , n),相
应地将曲边梯形分成n个小曲边梯形;
(2)近似 在每一个子区间 xi1, xi 上任取一点i ,以f (i )和xi
为边长的小矩形的面积近似替代相应的小曲边梯形的面积Ai ,
即Ai f (i )xi
d
r r( )
a(1 cos )
d

O
x
图17-8 微元法求曲边扇形面积

O
2a
x
图17-9 例5、例10示意图
例5 计算心形线=a(1 cos ),(a 0)所围成的图形面积.
解 如图17 9所示,由于图形对称于极轴,只要算出极轴以上部分 图形的面积Ai ,再乘以2即得所求的面积A.
第一节 定积分的微元法
在第四章中，利用定积分表示曲边梯形的面积、变速 直线运动的路程这些量时，均采用了分割、近似、求和、 取极限四个步骤，建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面 积为例子，简单回顾一下求解过程.
设函数y f (x)在区间a,b上连续,且f (x) 0,求以曲线
y f (x)为曲边,以a,b为底的曲边梯形的面积A.