宁县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

宁县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
一、选择题
1． 已知函数f （x ）
=
是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤a ＜0 B ．﹣3≤a ≤﹣2 C ．a ≤﹣2 D ．a ＜0
2． 下列说法正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是特殊到一般的推理 C ．归纳推理是个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤
3． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 4． 定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ） A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6 5． 已知x ，y ∈R
，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面
积为（ ） A ．4
﹣
B ．
4
﹣
C
．
D
．
+
6． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16
B ．﹣16
C ．8
D ．﹣8
7． 下列命题中正确的是（ ）
A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=d
B ．任何复数都不能比较大小 C
．若
=
，则z 1=z 2
D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1
=
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
8．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范
围是（）
A．（0，1） B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）
9．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）
A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x
10．函数f（x）=tan（2x+），则（）
A．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数
B．函数最小正周期为，且在（﹣，）是减函数
C．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数
D．函数最小正周期为，且在（，）是增函数
11．已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（）
A．￢p B．￢p∨q C．p∧q D．p∨q
12100“光盘”行动，得到所示联表：
2.706
3.841 6.635
附：K2=，则下列结论正确的是（）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
二、填空题
13．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，若从点O到点A3的回形线为第1圈（长为7），从点A3到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为．
14．（
﹣
）5
的展开式的常数项为 （用数字作答）．
15．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是 ． 16．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．
17．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．
18．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2
f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，
对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222
b a c
+的最大值为__________． 三、解答题
19．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （）
=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
20．已知复数z=m （m ﹣1）+（m 2+2m ﹣3）i （m ∈R ） （1）若z 是实数，求m 的值； （2）若z 是纯虚数，求m 的值；
（3）若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．
21．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述 发言，设发言的女士人数为X ，求X 的分布列和期望．
参考公式：2
2
()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++
22．已知f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ．
（1）若不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]，求实数a ，b 的值； （2）若b=3，求不等式f （x ）＞0的解集．
23．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，
时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．
24．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．
25．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值．
26．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
宁县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵函数
是R 上的增函数
设g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5（x ≤1），h （x ）=（x ＞1）
由分段函数的性质可知，函数g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h （x ）=在（1，+∞）单调
递增，且g （1）≤h （1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a ≤﹣2
故选B
2． 【答案】C
【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，
故选C ．
【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
3． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为249
2
108180270360180108=⨯=++⨯．
4． 【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f （x ）在x=7时，函数取得最大值f （7）=6， ∵函数f （x ）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D
5． 【答案】 A
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB ，
若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
则（cosθ+sinθ）=﹣1，
令sinα=，则cosθ=，
则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，
即sin（α+θ）=﹣，
∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，
则对应的区域为单位圆的外部，
由，解得，即B（2，2），
A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，
直线y=x的倾斜角为，
则∠AOB=，即扇形的面积为，
则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，
故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．
6．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
7．【答案】C
【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．∵=，则z1=z2，正确；
D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．
8．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，
即方程f（x）=k有两个不同的实根，
故选：A
9．【答案】C
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|==，
∴sin∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案C．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+），它的最小正周期为，
在（，）上，2x+∈（，），函数f（x）=tan（2x+）单调递增，
故选：D．
11．【答案】D
【解析】解：命题p：2≤2是真命题，
方程x2+2x+2=0无实根，
故命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0是假命题，
故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题，
命题p∨q是真命题，
故选：D
12．【答案】C
【解析】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．
则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．
代入K2=，
得k2的观测值k=．
因为2.706＜3.030＜3.841．
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
即在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
故选C．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题．
二、填空题
13．【答案】63．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7
第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23
…
第n圈长为：n+（2n﹣1）+2n+2n+n=8n﹣1
故n=8时，第8圈的长为63，
故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
14．【答案】 ﹣10
【解析】
解：由于（
﹣
）5
展开式的通项公式为T r+1
=
•（﹣1）r
•
，
令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10， 故答案为：﹣10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
15．【答案】
[，1] ．
【解析】解：∵全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，N ⊆M ， ∴2a ﹣1≤1 且4a ≥2，解得 2≥a
≥，故实数a 的取值范围是
[，1]， 故答案为
[，1]．
16．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B 1﹣AA 1D 1
的体积是
=
，
三角形AB 1D 1的面积为
4，设点A 1到平面AB 1D 1的距离等于h
，则
，
则
h=
故点A 1到平面AB 1D 1
的距离为．
故答案为：
．
17．【答案】﹣280 解：∵
（﹣2）7
的展开式的通项为
=．
由
，得r=3．
∴x 2
的系数是．
故答案为：﹣280． 18．
【答案】2
【解析】试题分析：根据题意易得：()'2f x ax b =+，由()()'f x f x ≥得：()2
20ax b a x c b +-+-≥在R
上恒成立，等价于：0{ 0a >≤，可解得：()22444b ac a a c a ≤-=-，则：22
2222241441c b ac a a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
令1,(0)c t t a =->
，24422222t y t t t t
==≤=++++，故22
2
b a
c +
的最大值为2． 考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ
）由
从而C 的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M （2，0）
（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0） N
点的直角坐标为
所以P
点的直角坐标为，则P
点的极坐标为，
所以直线OP
的极坐标方程为
，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
20．【答案】
【解析】解：（1）z 为实数⇔m 2
+2m ﹣3=0，解得：m=﹣3或m=1； （2）z 为纯虚数
⇔
，解得：m=0；
（3）z 所对应的点在第四象限
⇔，解得：﹣3＜m ＜0．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．
X 的分布列为：
X 的数学期望为
()5151519
0123282856568
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (12)
分
22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ， 当不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]时， 方程x 2﹣（a+b ）x+3a=0的两根为1和3， 由根与系数的关系得
，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f （x ）＞0可化为 x 2﹣（a+3）x+3a ＞0， 即（x ﹣a ）（x ﹣3）＞0；
∴当a ＞3时，原不等式的解集为：{x|x ＜3或x ＞a}； 当a ＜3时，原不等式的解集为：{x|x ＜a 或x ＞3}； 当a=3时，原不等式的解集为：{x|x ≠3，x ∈R}．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．
23．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2
）()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，． 【解析】
试题分析：（1
）由于12
2a -==⇒()1
4127222x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为
158⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）由()()27
41442
27lg241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+
<．设()44lg lg 128a g x x a =+，原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩
⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与
不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思想
和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()111284a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵AB 是圆O 的直径， ∴AC ⊥BC ， 又∵DC ⊥平面ABC ∴DC ⊥BC ， 又AC ∩CD=C ， ∴BC ⊥平面ACD ， 又AD ⊂平面ACD ， ∴AD ⊥BC ．
（Ⅱ）解：设CD=a ，以CB ，CA ，CD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则C （0，0，0），B （2，0，0），，D （0，0，a ）．
由（Ⅰ）可得，AC ⊥平面BCD ，
∴平面BCD 的一个法向量是=
，
设=（x ，y ，z ）为平面ABD 的一个法向量，
由条件得，
=
，
=（﹣2，0，a ）．
∴即，
不妨令x=1，则y=，z=，
∴=．
又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，
∴．
∴=cosθ=，
∴==，解得a=2．
∴V ABCDE=V E﹣ADC+V E﹣ABC
=+
=+
=
=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．
【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
25．【答案】
【解析】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，
，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），
把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，
故x M==，y M=kx M+b=，
于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM k=．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
26．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当，即，时，
（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到
函数的递增区间为。