2020年高考数学一轮复习教案：第2章 第4节 二次函数与幂函数(含解析)

第四节 二次函数与幂函数
[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1
2，y ＝1
x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质
函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)
y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)
图象
定义域 R
值域
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a
单调性
在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－b 2a ，＋∞上减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数
对称性
函数的图象关于直线x ＝－b
2a 对称
2．幂函数
(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质
y ＝x
y ＝x 2
y ＝x 3
y ＝x 1
2
y ＝x －
1
图象
定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增
(－∞，0)减， (0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
公共点 (1,1)
[常用结论]
1．与二次函数有关的恒成立问题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则
(1)f (x )＞0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0；
(2)f (x )＜0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0
Δ＜0
；
(3)f (x )＞0(a ＜0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＞0
f (n )＞0；
(4)f (x )＜0(a ＞0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧
f (m )＜0
f (n )＜0.
2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图象特征
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至
于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数． ( )
(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b
2
4a .( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )
A.3 B ．±3 C ．±9
D ．9
D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝1
2. 所以f (x )＝x 1
2＝x ， 故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]
3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－120，0 C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，1－20a ＜0，
得a ＞1
20.]
4．(教材改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
D[由图象知②③的指数大于零且b＞c，①的指数小于零，因此b＞c＞a，故选D.]
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0，所以a＝4.]
幂函数的图象与性质
1．幂函数y＝f(x)的图象过点(8,22)，则幂函数y＝f(x)的图象是()
A B C D
C[令f(x)＝xα，由f(8)＝22得8α＝22，
即23α＝2
3
2，解得α＝1
2
，所以f(x)＝x
1
2，故选C.]
2．若a＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
3，b＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
5
2
3，c＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
1
3，则a，b，c的大小关系是() A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
D[a＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
3＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
4
1
3，b＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
5
2
3＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
25
1
3，c＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
1
3，由1
25
＜1
4
＜1
2
得b＜a＜c，故
选D.]
3．(2019·兰州模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，22，则k ＋α等于
( )
A.12 B ．1 C.32
D ．2
C [由幂函数的定义知k ＝1. 又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝22，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12α
＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]
4．若(a ＋1) 12＜(3－2a )1
2，则实数a 的取值范围是________．
⎣⎢⎡
⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 1
2的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，
解得－1≤a ＜2
3.]
求二次函数的解析式
的最大值是8，则f (x )＝________.
(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.
(1)－4x 2＋4x ＋7 (2)x 2＋2x [(1)法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b ＋c ＝－1，
a －
b ＋
c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.
法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，
∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.
∴m ＝1
2.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋8.
∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，
解得a ＝－4，
∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋8＝－4x 2＋4x ＋7.
(2)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ， 由4a ×0－4a 2
4a ＝－1，
得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .]
[规律方法] 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )
的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.
(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
(1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4
[(1)由题意知⎩⎨⎧
a －
b ＋1＝0，
－b
2a ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2.
从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.
(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称，所以－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2a b ，即b ＝－2
或a ＝0，
当a ＝0时，则f (x )＝bx 2，值域为(－∞，0]或[0，＋∞), 不满足已知值域(－∞，4]，∴a ＝0舍去，
所以f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， 所以2a 2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.]
二次函数的图象与性质
►考法1二次函数的图象
【例2】已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()
D[A项，因为a＜0，－b
2a
＜0，
所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．
B项，因为a＜0，－b
2a
＞0，所以b＞0.
又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．
C项，因为a＞0，－b
2a
＜0，所以b＞0.
又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．
D项，因为a＞0，－b
2a
＞0，所以b<0.
又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]
►考法2二次函数的单调性
【例3】函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
[－3,0][当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞]上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a 2a
，
由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＜0，3－a
2a ≤－1，
解得－3≤a ＜0.
综上，a 的取值范围为[－3,0]．]
[拓展探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？
[解] 因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＜0，a －3
－2a
＝－1，解得a ＝－3.
►考法3 二次函数的最值
【例4】 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.
(2)当a ＞0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1
a . ①当0＜1
a ≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0,1]内，
所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1a ，1上单调递增．
所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2
a ＝－1a .
②当1
a ＞1，即0＜a ＜1时，
f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]的右侧， 所以f (x )在[0,1]上单调递减．
所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.
(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1
a ＜0，在y 轴的左侧，
所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.
综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧
a －2，a ＜1，
－1
a ，a ≥1.
[拓展探究] 若将本例中的函数改为f (x )＝x 2－2ax ，其他不变，应如何求解？ [解] 因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a ＜0时，f (x )在[0,1]上是增函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝0.
②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2. ③当a ＞1时，f (x )在[0,1]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a .
综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，a ＜0，－a 2
，0≤a ≤1，
1－2a ，a ＞1.
对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.
(1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()
A B C D
(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
(1)C(2)A[(1)若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b
2a
＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝2
k
，当k＞0时，要使函数y＝kx2
－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2
k≤1，解得k≥2.
当k＜0时，2
k
＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．]
(3)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
[解]因为函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
所以对称轴为直线x＝1，
因为x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，
所以应进行讨论，当－2＜a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝a 2－2a ；当a ＞1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－1.
综上，当－2＜a ≤1时，f (x )min ＝a 2－2a ，
当a ＞1时，f (x )min ＝－1.
与二次函数有关的恒成立问题
►考法1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围
【例5】 (2019·张掖模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________________．
(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，
当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a <2，－2<a <2，
∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．]
►考法2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])求参数的范围
【例6】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，
所以g (x )ma x ＝g (3)⇒7m －6<0，
所以m <67，所以0<m <67；
当m ＝0时，－6<0恒成立；
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
所以g (x )ma x ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.
综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <67. 法二：因为x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1
. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．
所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <67. ►考法3 形如f (x )≥0(参数k ∈[a ，b ])求x 的范围
【例7】 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．
(－∞，1)∪(3，＋∞) [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．
只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，
解得x ＜1或x ＞3，所以x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．]
[规律方法] 形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路
(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解.
(2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.③分离参数，变为a ≥g (x )或a ≤g (x )恒成立问题，然后再求g (x )的最值.
(3)已知参数k ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
(1)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范
围是________．
(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．
(1)(－∞，－5] (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，12 [(1)设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )＜0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ≤－5，m ≤－4
⇒m ≤－5. (2)2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立．
当x ＝0时，－3＜0，成立；
当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.
综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.]
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝24
3，b＝3
2
3，c＝25
1
3，则()
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
A[利用幂函数的性质比较大小．a＝24
3＝4
4
3，b＝3
4
3，c＝25
1
3＝5
4
3.
∵y＝x 1
3在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.]
2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
(－∞，8][当x<1时，x－1<0，e x－1<e0＝1≤2，
∴当x<1时满足f(x)≤2.
当x≥1时，x 1
2≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.
综上可知x∈(－∞，8]．]。