四川省射洪县高一数学3月月考

数学试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，另附答题卡和答题卷，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将答题卡和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷 选择题（满分50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把正确选项涂在机读卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的） 1．若sin 0,tan 0,αα<>则α是( )
.A 第一象限角 .B 第二象限角 .C 第三象限角 .D 第四象限角
2．化简AB BC CA ++=（ ）
.A AC
.B BA
.C CA
.D 0
3．sin 210︒
=( )
1.2A -
1
.2
B .
C D
4．若sin36°cosα－sin54°cos84°＝1
2，则α值可能为( )
.96A ︒
.6B ︒
.54C ︒
.84D ︒
5．已知3sin()5
πα+=
且α
是第三象限的角，则cos(2)πα-的值是( ) 4.5A - 4.5B 4.5C ± 3.5
D
6．在ABC ∆2sin b A =，则B 为 （ ）
.A 3
π .B 6
π .C 6
π或
56
π .D 3
π或23π
7．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．若3,4,60,a b C ︒
==∠= 则
c 的值等于 ( )
.A 5 .B 13 .C .D
8．函数2
()2sin cos f x x x x =-的图象为C ：
①图象C 关于直线1112x π
=
对称； ②函数()f x 在区间5(,)1212
ππ
-内是增函数；
③由2sin2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度可以得到图象C ； 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） .A 0
.B 1
.C 2
.D 3
9．若3cos()(,2),4
2
π
π
ααπ-
=
∈则cos α的值为（ ）
4.5A .B -4
.5
C -
D 10．关于x 的方程2
2
cos cos cos
02
C
x x A B --=有一个根为1,则此三角形为( ) .A 等腰三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 钝角三角形
第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上） 11．已知1tan ,4α=
则
sin 2cos sin cos αα
αα
+-的值为________． 12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 若222
,b c a bc +=+且4,AC AB ⋅=则
ABC ∆的面积等于________．
13．若,4
3x π
π
-
≤≤
则函数cos()cos()44
y x x ππ
=+-的值域为________． 14．一船以每小时15km 的速度向东航行．船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60,︒
行驶
4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15,︒这时船与灯塔的距离为 km ．
15．某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减； ②点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图像的一个对称中心；
③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；
④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立． 其中正确的结论是 .
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题满分12分）
已知α为第三象限角且3sin ,5
α=- （1）求cos ,tan ;αα （2）求sin()tan(7)2
π
απα-+-的值。

已知||4,||5,||21.a b a b ==+=求
（1）;a b ⋅
（2）(2)(3).a b a b -⋅+.
18．（本小题满分12分）
已知角α为锐角.
（1）若3sin 5α=，求sin()4
π
α-的值； （2）若5sin()13αβ+=，5sin()13αβ-=-，其中[0,]2
π
β∈，求sin β的值.
19．（本小题满分12分）
已知：()cos cos()3
f x x x π
=-+
.
（1）求函数()f x 在R 上的最大值和最小值；
（2）在三角形ABC 中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边，且()1f A =，三角形ABC 的
面积为4b =，求边a 的值.
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且3sin 5sin cos 0.b C c B A -=
（1）求sin ;A （2）若2
tan(),11
A B -=-求tan .C
21．（本小题满分14分）
如图，已知ABC ∆是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB AC 上的点，线段MN 经过ABC ∆的中心G ，设2(
).3
3
MGA π
παα∠=≤≤
（1）试将,AGM AGN ∆∆的面积（分别记为1S 与2S ）表示为α的函数; （2）求2212
11S S y =＋的最大值与最小值.
四川省射洪中学校高一下期第一次月考
数学试题答案
一、选择题
CDABA,DCCDA 二、填空题
11、3- 12、、11,42
⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
14、 15、④
解：()2cos f x x x =⋅为奇函数，则函数()f x 在 [],0π-，[]0,π上单调性相同，所以①错；
(0)0,()2f f ππ==-，所以②错； (0)0,(2)4f f ππ==，所以③错； ()2cos 2cos 2f x x x x x x =⋅=⋅≤，令2M =，所以④对． 选④
三、解答题 16、解：
B
C
（1）4
sin 3
cos ,tan ;5
cos 4
αααα==-=
= （2）431
sin()tan(7)cos tan .25420
παπααα-+-=--=-=
17、解： （1）将||21a b +=
两边平方得：22||||221a b a b ++⋅=
而||4,||5,a b ==10;a b ∴⋅=-
（2）22
(2)(3)2||3||593.a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=-
18、解: （1）
α为锐角且3sin 5α=，4
,5
cos α∴=
又sin()cos )4
210
π
ααα-
=
-=- （2）由5sin()13αβ+=
，5
sin()13
αβ-=-展开相加得： 2sin cos 0,(0,),[0,],cos 0,sin 1.22
ππ
αβαβββ=∈∈∴=∴=
19、解：
（1）()cos cos()sin()36
f x x x x π
π
=-+
=+
∴当2,2
x k k Z π
π=+∈时，min ()1,f x =- ∴当2,2
x k k Z π
π=-
∈时，max ()1;f x =
（2）
sin(01,,6
3A A π
π
+
=∴=
又1
sin 6,2
S bc A c ∆==∴=
2222cos 28,a b c bc A a =+-=∴=
20、解： (1)由正弦定理得b sin C ＝c sin B .
又因为3b sin C －5c sin B cos A ＝0，所以b sin C (3－5cos A )＝0. 因为b sin C ≠0，所以3－5cos A ＝0，即cos A ＝3
5.
又因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2
A ＝45.
(2)由(1)知cos A ＝35，sin A ＝4
5
，
所以tan A ＝sin A cos A ＝43.因为tan(A －B )＝－2
11
，
所以tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan(A －B )
1＋tan A ·tan (A －B )＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2111＋43×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－211＝2.
所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B
1－tan A tan B ＝－43＋21－4
3×2＝2.
21、解：
（1） 因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以 AG
＝
2323⨯＝，∠MAG ＝6
π， 由正弦定理
GM GA
sin
sin 6
6
π
π
πα＝
（－－）
得GM 6sin 6
π
α＝
（＋）
则S 1＝
12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6απα（＋）同理可求得S 2＝sin 12sin 6
απα（－）
（2） y ＝
2212
11y y ＋＝22
2144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕 ＝72（3＋cot 2
α）因为23
3π
πα≤≤
，所以当α＝3
π
或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240 当α＝2
π
时，y 取得最小值y min ＝216。