2019届高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题含解析20190426224

问题12 三角形中的不等问题
一、考情分析
根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问. 二、经验分享
(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为π这一限制条件．
(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.
(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围． 三、知识拓展
(1)若△ABC 是锐角三角形,则
,
、
(2)若△ABC 中,若A 是锐角,则2
2
2
a b c +>；若A 是钝角,则2
2
2
a b c +<
(3) △ABC 中,若π3
A =
,则, ,
=.
(4)若,,a b c 成等差数列,则π3
B ≤. 四、题型分析
(一) 角或角的三角函数的范围或最值 【例1】【湖北省2019届高三1月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若
，
则的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A ＝3tan B ，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．
【解析】∵a cos B ﹣b cos A
，∴由正弦定理化简得：sin A cos B ﹣sin B cos A
sin C
sin （A +B ）
sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，
∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；
∴则222．
∴可得的最小值为．故选D．
【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.
【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首
先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BE CF
表示为关于t的函数,再根据方法⑤解答的.
【小试牛刀】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟】的内角所对的边分别为，已知
，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，因为，所以
，由余弦定理，得，即.
(三) 周长的范围或最值
【例3】【2018届江西省K12联盟高三教育质量检测】在锐角ABC ∆中, 2c =,.
（1）若ABC ∆求a 、b ； （2）求ABC ∆的周长的取值范围.
【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可； （2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．
（2）由正弦定理得,
,记ABC ∆周长为l ,则
,
又23
A B π
+=
,
,
ABC ∆为锐角三角形,
.
【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.
【小试牛刀】C ∆AB 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,且．
（1）求角A ；
（2）若2a =,求C ∆AB 的周长的最大值． 【答案】（1）60A =︒；（2）6．
(四) 面积的范围与最值
【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,OP ＝,点M 在线段PQ 上．
(1)若OM =
求PM 的长；
(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值． 【分析】第(1)题利用余弦定理求MP 的长,难度不大；第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.
【解析】(1)在OMP ∆中,
,OM =
OP =
由余弦定理得, ,
得, 解得1MP =或3MP =．
由3
1
cos =
A ,不妨设外接圆的半径R ＝3．则OA ＝O
B ＝O
C ＝3．
∵cos ∠COD ＝
1
3
OD OC =,∴OD ＝1,DC ＝＝2．
∴B (−2C (2,0),O (0,1),A (m ,n )． 则△ABC 外接圆的方程为：x 2
＋(y －1)2
＝9．(*) ∵
,
∴(－m ,1－n )＝x (−2−m ,−n )＋y (2−m ,−n ),
∴’
∵1x y +≠时,否则CO xCB =,由图可知是不可能的.
∴可化为
,代入(*)可得,
化为18(x ＋y )＝9＋32xy ,
【答案】D
【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题. 【小试牛刀】【山东省日照2019届高三上学期第二次检测】已知M 是△ABC 内的一点，且=4
，
∠BAC=30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则的最小值是（ ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9 【答案】D 【解析】因为=4
，∠BAC=30°，所以。

所以。

因为△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，所以
，所以。

所以。

当且仅当 即时，上式取“=”号。

所以， 时，取最小值9.故选D 。

7．【2018届四川省绵阳市高三二诊】在ABC ∆中, ,,a b c 分别为
所对的边,若函数
有极值点,则
的最小值是（ ）
A. 0
B. 【答案】D
【解析】,∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2
-ac ）,
又∵函数
有极值点,∴x 2+2bx+（a 2+c 2
-ac ）=0有两个不同的根,∴△=
（2b ）2
-4（a 2
+c 2
-ac ）＞0,即ac ＞a 2
+c 2
-b 2
,即ac ＞2accosB ；即cosB ＜
12,故∠B 的范围是（π3
π
，），所以
23
B π
-
5,33ππ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
,当时的最小值是-1,故选D
8．【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测】在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且
,若ABC 的面积为S =,则ab 的最小值为（ ）
A. 28
B. 36
C. 48
D. 56 【答案】C
9．【2018四川省成都市高三上学期12月月考】锐角．．ABC ∆中,内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,
且满足
,若a =
则22b c +的取值范围是（ ）
A. (]5,6
B. ()3,5
C. (]3,6
D. []
5,6 【答案】A
【解析】
,由正弦定理可得,
,化为
,由余弦定理可得,
为锐角,可得3
A π
=
,
3,a =∴
由正弦定理可得,可得
, ,
可得, ,可得,故选A.
10.【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】在锐角ABC ∆中,若2A B =,则a
b
的范围是（a ,b 分别为角A ,B 的对边长）（ ）
A ．
B ．2) C.(0,2) D ．2) 【答案】A
11.【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考试】如图所示,在平面四边形ABCD 中, 1AB =,
2BC =,为ACD ∆正三角形,则BCD ∆面积的最大值为__________．
1
【解析】在△ABC 中,设∠ACB =α,∠ACB =β,由余弦定理得：
AC 2=12+22−2×1×2cos α=5−4cos α,∵△ACD 为正三角形,∴CD 2
=5−4cos α,
由正弦定理得：
1AC
sin βsin α
=,∴AC ⋅sin β=sin α,∴CD ⋅sin β=sin α, ∵(CD ⋅cos β)2
=CD 2
(1−sin 2
β)=CD 2
−sin 2
α=5−4cos α−sin 2
α=(2−cos α)2
∵β<∠BAC ,∴β为锐角,CD ⋅cos β=2−cos α,
∴
,
当56
π
α=
时,.
17．【2019年上海市普陀区高考数学一模】在中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且．
求的值；
设，求的取值范围．
18．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】在中，内角，，所对的边分别为，，，且
.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，
∵，∴，
∵∴，∵∴.
（Ⅱ）的面积，
由及余弦定理得，
又，故，当且仅当时，等号成立.
∴面积的最大值为.
19．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断】△ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，己知
＝b（c－a sinC）。

（1)求角A的大小；
(2）设b=c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值．
（2）在△BCN中，由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NB NC cos N，∵BN=4，CN=2，
∴ BC2=16+4-16cos N =20-16cos N．
由（1）和b=c，得△ABC是等腰直角三角形，于是AB=AC=BC，
∴ 四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△BCN=
= =
==．∴ 当N=时，S取最大值，
即四边形ABCD的面积的最大值是．。