信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

之吉白夕凡创作
（2）
∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =
（7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=
解：各信号波形为
（2）∞<<-∞=-t e t f t
,)(
（3）)()sin()(t t t f επ=
（4）)(sin )(t t f ε=
（5）)(sin )(t r t f =
（7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）
)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε
（11）
)]
7
(
)
(
)[
6
sin(
)
(-
-
=k
k
k
k
fε
ε
π
（12）
)]
(
)
3(
[
2
)
(k
k
k
f k-
-
-
=ε
ε
解：各信号波形为
（1）
)2
(
)1
(
3
)1
(
2
)(-
+
-
-
+
=t
t
t
t
fε
ε
ε
（2）
)2
(
)1
(
2
)(
)(-
+
-
-
=t r
t r
t r
t
f
（5）
)
2(
)
2(
)(t
t
r
t
f-
=ε
（8）
)]
5
(
)
(
[
)
(-
-
=k
k
k
k
fε
ε
（11）
)]
7
(
)
(
)[
6
sin(
)
(-
-
=k
k
k
k
fε
ε
π
（12）
)]
(
)
3(
[
2
)
(k
k
k
f k-
-
-
=ε
ε
1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）
)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解：
1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

（1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5）)21(t f -
（6）)25.0(-t f
（7）dt t df )( （8）dx x f t
⎰∞-)(
解：各信号波形为
（1）)()1(t t f ε-
（2）)1()1(--t t f ε
（5）)21(t f -
（6）)25.0(-t f
（7）
dt
t df)(
（8）
dx
x
f
t
⎰∞-)(
1-7 已知序列
)
(k
f
的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。

（1）
)
(
)2
(k
k
fε
-
（2）
)2
(
)2
(-
-k
k
fε
（3）
)]
4
(
)
(
)[
2
(-
-
-k
k
k
fε
ε
（4）
)2
(-
-k
f
（5）
)1
(
)2
(+
-
+
-k
k
fε
（6）
)3
(
)
(-
-k
f
k
f
解：
1-9 已知信号的波形如图1-11所示，分别画出
)(t
f
和dt
t
df)(
的波形。

解：由图1-11知，
)
3(t
f-
的波形如图1-12(a)所示（
)
3(t
f-波形是由对)
2
3(t
f-
的波形展宽为原来的两倍而
得）。

将
)
3(t
f-
的波形反转而得到
)3
(+
t
f
的波形，如图1-12(b)所示。

再将
)3
(+
t
f
的波形右移3个单位，就
得到了
)(t
f
，如图1-12(c)所示。

dt
t
df)(
的波形如图1-12(d)所示。

1-10 计算下列各题。

（1）
[]
{})(
)
2
sin(
cos
2
2
t
t
t
dt
d
ε
+
（2）
)]
(
[
)
1(t
e
dt
d
t tδ-
-
（5）
dt
t
t
t)2
(
)]
4
sin(
[2+
+
⎰∞∞-δ
π
（8）
dx
x
x
t
)
(')
1(δ
⎰∞--
1-12 如图1-13所示的电路，写出
（1）以
)(t
u
C为响应的微分方程。

（2）以
)(t
i
L为响应的微分方程。

1-20 写出图1-18各系统的微分或差分方程。

1-23 设系统的初始状态为
)0(x，激励为)(⋅f，各系统的全响应)(⋅y与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。

（1）
⎰+=-t t dx x xf x e t y 0)(sin )0()( （2）⎰+=t dx x f x t f t y 0)()0()()( （3）⎰+=t dx x f t x t y 0)(])0(sin[)( （4）
)2()()0()5.0()(-+=k f k f x k y k （5）∑=+=k j j f kx k y 0)()0()(
1-25 设激励为)(⋅f ，下列是各系统的零状态响应)(⋅zs y 。

判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？
（1）dt t df t y zs )()(= （2）)()(t f t y zs = （3）)2cos()()(t t f t y zs π= （4）)()(t f t y zs -= （5）)1()()(-=k f k f k y zs （6）)()2()(k f k k y zs
-= （7）∑==k j zs j f k y 0)
()( （8）)1()(k f k y zs -=
1-28 某一阶LTI 离散系统，其初始状态为)0(x 。

已知当激励为)()(1k k y ε=时，其全响应为
若初始状态不变，当激励为)(k f -时，其全响应为
)(]1)5.0(2[)(2k k y k ε-= 若初始状态为)0(2x ，当激励为)(4k f 时，求其全响应。

第二章
2-1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。

（1）1)0(',1)0(),()(6)('5)(''-===++-y y t f t y t y t y
（4）0)0(',2)0(),()()(''===+-y y t f t y t y
2-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其+0值
)0(+y 和)0('+y 。

（2）)()(,1)0(',1)0(),('')(8)('6)(''t t f y y t f t y t y t y δ====++--
（4）)()(,2)0(',1)0(),(')(5)('4)(''2t e t f y y t f t y t y t y t ε====++-- 解：
2-4 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。

（2）
)()(,2)0(',1)0(),(3)(')(4)('4)(''t e t f y y t f t f t y t y t y t ε---===+=++ 解：
2-8 如图2-4所示的电路，若以)(t i S 为输入，)(t u R 为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。

2-12 如图2-6所示的电路，以电容电压)(t u C 为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。

2-16 各函数波形如图2-8所示，图2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。

（1）)(*)(21t f t f （2）)(*)(31t f t f （3）)(*)(41t f t f
（4）)(*)(*)(221t f t f t f （5）)3()(2[*)(341
--t f t f t f 波形图如图2-9(a)所示。

波形图如图2-9(b)所示。

波形图如图2-9(c)所示。

波形图如图2-9(d)所示。

波形图如图2-9(e)所示。

2-20 已知)()(1t t t f ε=，)2()()(2--=t t t f εε，求)2('*)1(*)()(21--=t t f t f t y δ
2-22 某LTI 系统，其输入
)(t f 与输出)(t y 的关系为dx x f e t y t x t )2()(1)(2-=⎰∞--- 求该系统的冲激响应)(t h 。

2-28 如图2-19所示的系统，试求输入
)()(t t f ε=时，系统的零状态响应。

2-29 如图2-20所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为
求复合系统的冲激响应。

第三章习题
、试求序列的差分、和。

、求下列差分方程所描述的LTI离散系统的零输入相应、零状态响应和全响应。

1）
3）
5）
、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。

2）
5）
、求图所示各系统的单位序列响应。

（a）
（c）
、求图所示系统的单位序列响应。

、各序列的图形如图所示，求下列卷积和。

（1）（2）（3）（4）
、求题图所示各系统的阶跃响应。

、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。

、若LTI离散系统的阶跃响应，求其单位序列响应。

、如图所示系统，试求当激励分别为（1）（2）时的零状态响应。

、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成，已知，，激励，求该系统的零状态响应。

（提示：利用卷积和的结合律和交换律，可以简化运算。

） 、如图所示的复合系统有三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为，，求复合系统的单位序列响应。

第四章习题
4.6 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。

（1）t j e 100 （2）)]3(2cos[-t π
（3）)4sin()2cos(t t + （4）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++
（5）)4sin()2cos(t t ππ+ （6）)5cos()3cos()2cos(t t t π
ππ++ 4.7 用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。

图4-15
4.10 利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。

图4-18 4-11 某1Ω电阻两端的电压)(t u如图4-19所示，
（1）求)(t u的三角形式傅里叶系数。

（2）利用（1）的结果和
1
)
2
1
(=
u
，求下列无穷级数之和
（3）求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。

（4）利用（3）的结果求下列无穷级数之和
图4-19 4.17 根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换
（1）
∞
<
<
-∞
-
-
=t
t
t
t
f,
)2
(
)]
2
(
2
sin[
)(
π
π
（2）
∞
<
<
-∞
+
=t
t
t
f,
2
)(
2
2
α
α
（3）
∞
<
<
-∞
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=t
t
t
t
f,
2
)
2
sin(
)(
2
π
π
4.18 求下列信号的傅里叶变换
（1）)2()(-=-t e t f jt δ （2）)1(')()1(3-=--t e
t f t δ （3）
)9sgn()(2-=t t f （4）)1()(2+=-t e t f t ε （5）)12()(-=t t f ε
4.19 试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。

图4-23
4.20 若已知)(j ])([ωF t f F =，试求下列函数的频谱：
（1）)2(t tf （3）
dt t df t )( （5）)-1(t)-(1t f （8）)2-3(t f e jt （9）t dt t df π1*)(
4.21 求下列函数的傅里叶变换
（1）
⎩⎨⎧><=000,1,)(j ωωωωωF （3）)(3cos 2)(j ωω=F
（5）ω
ωωω1)(2n -20sin 2)(j +=∑=j n e F
4.23 试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）。

（2）利用时域的积分定理。

（3）将)(t f 看作门函数)(2t g 与冲激函数)2(+t δ、)2(-t δ的卷积之和。

图4-25
4.25 试求图4-27示周期信号的频谱函数。

图（b ）中冲激函数的强度均为1。

图4-27
4.27 如图4-29所示信号)(t f 的频谱为)(ωj F ，求下列各值[不必求出)(ωj F ]
（1）0|)()0(==ωωj F F （2）ωωd j F ⎰∞∞
-)( （3）ωωd j F 2)(⎰∞∞-
图4-29
4.28 利用能量等式
计算下列积分的值。

（1）dt t t 2])sin([⎰∞
∞- （2）⎰∞∞-+22)1(x dx
4.29 一周期为T 的周期信号)(t f ，已知其指数形式的傅里叶系数为n F ，求下列周期信号的傅里叶系数
（1）)()(01t t f t f -= （2）)()(2t f t f -=
（3）dt t df t f )
()(3= （4）0),()(4>=a at f t f
4.31 求图4-30示电路中，输出电压电路中，输出电压)(2t u 对输入电流)(t i S 的频率响应)()()(2ωωωj I j U j H S =，为了能无失真
的传输，试确定R 1、R 2的值。

图4-30
4.33 某LTI 系统，其输入为)(t f ，输出为
式中a 为常数，且已知)()(ωj S t s ↔，求该系统的频率响应)(ωj H 。

4.34 某LTI 系统的频率响应ωω
ωj j j H +-=22)(，若系统输入)2cos()(t t f =，求该系统的输出
)(t y 。

4.35 一理想低通滤波器的频率响应
4.36 一个LTI 系统的频率响应 若输入)5cos()3sin()(t t t t f =，求该系统的输出)(t y 。

4.39 如图4-35
的系统，其输出是输入的平方，即)()(2t f t y =（设)(t f 为实函数）。

该系统是线性的吗？ （1）如
t t t f sin )(=，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱图）。

（2）如)2cos(cos 21)1(t t f ++=，求)(t y 的频谱函数（或画出频谱图）。

4.45 如图4-42(a)的系统，带通滤波器的频率响应
如图(b)所示，其相频特性0)(=ωϕ，若输入
求输出信号)(t y 。

图4-42
4.48 有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率s f 。

（1）
)3(t f （2）)(2t f （3）)2(*)(t f t f （4）)()(2t f t f +
4.50 有限频带信号)4cos()2cos(25)(11t f t f t f ππ++=，其中kHz f 11=，求Hz f s 800=的冲激函数序列)(t T δ进行取样（请注意1f f s <）。

（1）画出)(t f 及取样信号)(t f s 在频率区间（-2kHz ，2kHz ）的频谱图。

（2）若将取样信号)(t f s 输入到截止频率Hz f c 500=，幅度为的理想低通滤波器，即其频率响应
画出滤波器的输出信号的频谱，并求出输出信号)(t y 。

图4-47
图4-48
图4-49
4.53 求下列离散周期信号的傅里叶系数。

（2）)4)(30()21()(=≤≤=N k k f k
第五章
5-2 求图5-1所示各信号拉普拉斯变换，并注明收敛域。

5-3 利用经常使用函数（例如)(t ε，)(t e at ε-，)()sin(t t εβ，)()cos(t t εβ等）的象函数及拉普拉斯变换
的性质，求下列函数
)(t
f
的拉普拉斯变换
)
(s
F。

（1）
)2
(
)()2(-
--
-
-t
e
t
e t
tε
ε
（3）
)]
1
(
)(
)[
sin(-
-t
t
tε
ε
π
（5）
)2
4(-
t
δ
（7）
)(
)
4
2
sin(t
tε
π
-
（9）⎰t dx
t
)
sin(π
（11）
)]
(
)
[sin(
2
2
t
t
dt
d
ε
π
（13）
)(
2
2t
e
t tε
-
（15）
)1
(
)3
(-
-
-t
te tε
123
5-4 如已知因果函数
)(t
f
的象函数1
1
)
(
2+
-
=
s
s
s
F
，求下列函数
)(t
y
的象函数
)
(s
Y。

（1）
)
2
(
t
f
e t-
（4）
)1
2(-
t
tf
5-6 求下列象函数
)
(s
F
的原函数的初值
)
0(
+
f
和终值
)
(∞
f。

（1）
2
)1
(
3
2
)
(
+
+
=
s
s
s
F
（2）
)1
(
1
3
)
(
+
+
=
s
s
s
s
F
5-7 求图5-2所示在
=
t
时接入的有始周期信号
)
(t
f
的象函数
)
(s
F。

图5-2
5-8 求下列各象函数
)
(s
F
的拉普拉斯变换
)(t
f。

（1）
)4
)(
2
(
1
+
+s
s
（3）
2
3
5
4
2
2
+
+
+
+
s
s
s
s
（5）
)4
(
4
2
2+
+
s
s
s
（7）
2
)1
(
1
-
s
s
（9）
)5
2
(
5
2+
+
+
s
s
s
s
5-9 求下列象函数
)
(s
F
的拉普拉斯变换
)(t
f
，并粗略画出它们的波形图。

（1）
1
1
+
--
s
e Ts
（3）
3
)3
(2
+
+
-
s
e s
（6）
2
2
2)
1(
π
π
+
--
s
e s
其波形如下图所示：其波形如下图所示：其波形如下图所示：
5-10 下列象函数
)
(s
F
的原函数
)(t
f
是
=
t接入的有始周期信号，求周期T并写出其第一个周期
（
T
t<
<
0）的时间函数表达式)(t
f
o。

（1）
s
e-
+
1
1
（2）
)
1(
1
2s
e
s-
+
5-12 用拉普拉斯变换法解微分方程
)(
3
)(
6
)('
5
)(''t
f
t
y
t
y
t
y=
+
+
的零输入响应和零状态响应。

（1）已知
2
)
0('
,1
)
0(
),
(
)(=
=
=
-
-
y
y
t
t
fε。

（2）已知
1
)
0('
,0
)
0(
),
(
)(=
=
=
-
-
-y
y
t
e
t
f tε。

5-13 描述某系统的输出
)(
1
t
y
和
)(
2
t
y
的联立微分方程为
（1）已知
)(=
t
f
，
1
)
0(
1
=
-
y
，
2
)
0(
2
=
-
y，求零状态响应)(1t
y
zs，
)(
2
t
y
zs。

5-15 描述某LTI系统的微分方程为
)(
4
)('
)(
2
)('
3
)(''t
f
t
f
t
y
t
y
t
y+
=
+
+
求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。

（1）
1
)
0('
,0
)
0(
),
(
)(=
=
=
-
-
y
y
t
t
fε。

（2）
1
)
0('
,1
)
0(
),
(
)
(2=
=
=
-
-
-y
y
t
e
t
f tε。

5-16 描述描述某LTI系统的微分方程为
)(
4
)('
)(
2
)('
3
)(''t
f
t
f
t
y
t
y
t
y+
=
+
+
求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。

（1）
3)0(',1)0(),()(===++y y t t f ε。

（2）2)0(',1)0(),()(2===++-y y t e t f t ε。

5-17 求下列方程所描述的LTI 系统的冲激响应)(t h 和阶跃响应)(t g 。

（1）)(3)(')(3)('4)(''t f t f t y t y t y -=++
5-18 已知系统函数和初始状态如下，求系统的零输入响应)(t y zi 。

（1）656)(2+++=s s s s H ，1)0(')0(==-y y
（3）
)23(4)(2+++=s s s s s H ，1)0('')0(')0(===--y y y 5-22 如图5-5所示的复合系统，由4个子系统连接组成，若各子系统的系统函数或冲激响应分别为
11)(1+=s s H ，21)(2+=s s H ，)()(3t t h ε=，)()(24t e t h t ε-=，求复合系统的冲激响应)(t h 。

5-26 如图5-7所示系统，已知当
)()(t t f ε=时，系统的零状态响应)()551()(32t e e t y t t zs ε--+-=，求系数a 、b 、c 。

5-28 某LTI 系统，在以下各种情况下起初始状态相同。

已知当激励)()(1t t f δ=时，其全响应)()()(1t e t t y t εδ-+=；当激励)()(2t t f ε=时，其全响应)(3)(2t e t y t ε-=。

（1）若)()(23t e t f t ε-=，求系统的全响应。

5-29 如图5-8所示电路，其输入均为单位阶跃函数
)(t
ε
，求电压
)(t
u
的零状态响应。

5-42 某系统的频率响应
ω
ω
ω
j
j
j
H
+
-
=
1
1
)
(
，求当输入
)(t
f
为下列函数时的零状态响应
)(t
y
zs。

（1）
)(
)(t
t
fε
=
（2）
)(
sin
)(t
t
t
fε
=
5-50 求下列象函数的双边拉普拉斯变换。

（1）
3
]
Re[
1,
)3
)(
1
(
2
<
<
-
-
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