北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月
期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）
A ．{21}x x -≤<∣
B ．{21}x x -<≤∣
C ．{2}x
x ≥-∣D ．{1}x
x <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c
<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．将y =cos 26x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）
A ．sin 2y x =
B ．cos 2y x =
C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭D ．cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭5．已知函数()21x
f x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（
）
A ．(],2-∞
B ．[]0,1
C ．[)
1,+∞D ．[]
1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．1
,12
⎛⎫ ⎪
⎝
⎭C ．()1,2D ．()
2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=
（
）
A ．
94
B ．4
C ．
92
D ．6
8．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*
(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若
2024n n S a +>，则n 的最小值是（）
A ．6
B ．7
C ．9
D ．10
9．设R c ∈，函数(),0,
22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩
若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）
A ．()0,1
B ．{}[)
01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
10．
北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为
[(2)(2)()]
6
n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台
形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题11．若复数4i
1i
z =
-，则复数z 的模z =．
12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．
13．在ABC V 中，222
a c
b +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值
是
．
14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨
-≥⎩
①当0a =时，((10))f f =
；
②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是
．
15．已知函数()222f x x x t =-+，()e x
g x t =-.给出下列四个结论：
①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；
②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；
④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是
.
三、解答题
16．如图，在ABC V 中，2π
3
A ∠=
，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =
(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．
17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π．
(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；
条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫
⎪⎝⎭中心对称；
条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份2015
20162017
2018201920202021
2022
2023
产量万台 3.3
7.2
13.114.818.7
23.7
36.6
44.3
43.0
销量万台
6.98.713.8
15.4
14.0
15.6
27.129.731.6
记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=
⨯销量
产销率产量
”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；
(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；
(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明
19．已知椭圆22
22:1x y E a b
+=过点()2,1P -和()
Q .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()
ln ()x a f x x
-=
．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：
(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；
(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．
21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){}
,1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;
(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;
(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。