23.方向角、坡度问题PPT课件(沪科版)

CF 1 , A
DF 2.5
α
BC EF
∴ AE=9.28 m ，DF=14.5 m.
∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6 m.
i'=1:2.5
βD
新知探究
tan i 1 ,
1.6
tan i ' 1 ,
2.5
∴ 32
i=1:1.6
Aα
BC EF
22
i'=1:2.5
随堂小测
3一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路 基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 （精确到0.1米, 3 1.732, 2 1.414 ）.
D 12米
4米 45°
A
C
30° B
随堂小测
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
在Rt△ABF中，
tan ABF AF BF
解得x=6
tan 30 3x 12 x
AF 3x 6 3 10.4海里
60° B
因为10.4 > 8，所以没有触礁危险.
A 30°
DF
随堂小测
2. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)． 救生员甲在A处的瞭望台上视察海面情况，发现其正北方向的 B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同 时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙立刻从C处入海，径 直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向 B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向上，甲、乙的 游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数 据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
12米 D
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
i DE 4 tan 45 AE AE
AE 4 4(米) tan 45
在Rt△BCF中，同理可得
BF 4 6.93(米) tan 30
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9（米）．
答： 路基下底的宽约为22.9米．
AD AE EF FD=69+6+57.5=132.5m
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB AE2 BE2 692 232 72.7m
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 22 .
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡 CD的坡角α约为22°.
分析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线 段AB上，也可能在BA的延长线上．
新知探究
解：分两种情况：
(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km，
∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.
∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°.
∴DP
=
CD tan∠CAPDDC
B
新知探究
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
65°
A
≈80×0.91 =72.8
P C
在Rt△BPC中，∠B＝34°
34°
sin B PC
PB
PB
PC sin B
72.8 sin 34
72.8 0.559
130.23
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上时，它距离灯塔P大
=
30 tan 60
= 10
3 (km).
在Rt△ADC中，∵∠A＝45°， ∴AD＝DC＝30km.
( ∴AP = AD + DP = 30 +10 3) km.
新知探究
(2)如图②，同理可求得 DP = 10 3 km，AD＝30km.
( ∴AP = AD - DP = 30 -10 3) km.
lh α
新知探究
方法归纳
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”， 把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直， 以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在 数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面 的内容．
九年级数学沪科版·上册
第二十三章 解直角三角形
23.2.4 方向角、坡度问题
教学目标
1.正确理解方向角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形的知识解决方向角的问题； (难点) 3.理解并掌握坡度、坡比的定义；（重点） 4.学会用坡度、坡比解决实际问题. (难点)
复习导入
如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB， 你知道如何准确描述此轮船航行的方向吗？
23
EF
D
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、
F,由题意可知 BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
i
BE AE
1 3
AE 3BE 323 69m
新知探究
在Rt△DCF中，同理可得
i
CF FD
1 2.5
FD 2.5CF 2.523 57.5m
作AD的垂线；
新知探究
垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，
则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解
Rt△ABE和Rt△CDF求出；
斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△
ABE和Rt△ CDF.
B6C
i 1:3
A
i=1:2.5 α
随堂小测
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小 即可．
随堂小测
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°. ∵tan∠BCD＝BCDD，∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan55°≈ 57.2(米)． ∵cos∠BCD＝CBDC， ∴BC＝cos∠CBDCD＝co4s505°≈70.2(米)． ∴t 甲≈572.2＋10＝38.6(秒)，t 乙≈702.2＝35.1(秒)． ∴t 甲>t 乙． 答：乙先到达 B 处．
B6C
i 1:3
i=1:2.5 23
A
D
新知探究
坡面
1.坡角
i= h : l
h
α
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
l
2.坡度（或坡比）
水平面
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的情势，如i=1∶6.
3.坡度与坡角的关系
βD
新知探究
例2：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
B6C
i 1:3
i=1:2.5
A
α
23
EF
D
分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C
约130.23海里．
新知探究
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解 直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
新知探究
例1 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北 偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是 30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路 与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，要求出 交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
新知探究
1.斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度. 2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 ___1_：__1_. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是__1_:__3__.
h α
l
新知探究
例1：如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，
新知探究
与方向角有关的实际问题
引例 如图，一艘船以20 n mile/h 的速度向东航行，在A处测 得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行 1 h 到达B处，再测 得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周 10 n mile内有 暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
【分析】这艘船继续向东航行是否 安全，取决于灯塔C到AB航线的距 离是否大于 10 n mile.
随堂小测
1.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼 群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行 12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果 渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
60° B
A 30°
D
随堂小测
解：过点A作BD的垂线, 交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°. 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x海里 , 则AD=2x海里 在Rt△ADF中，根据勾股定理，得
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴AD =
CD tan 30
, ABD =
CD tan 45
,
∵AD＋BD＝AB，
∴( 3 +1)CD = 600,CD = 300( 3 -1).
新知探究
( ) ∴在Rt△BCD中， BC = 300 2 3 -1 . ( ) 在Rt△ACD中， AC = 600 3 -1 . ( ∴AC＋BC＝600 3 -1) + 300 2 ( 3 -1)≈747.
故交叉口 P与加油站 A的距离为（30 10 3)千米.
新知探究
例2 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员
为了躲开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与本来
的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与本来的
飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行
路程比本来的路程600km远了多少(精确到1km)？
新知探究
lh α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于坝坡是“直”的，而山 坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
新知探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小 段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以 算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡 度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与 斜坡的坡角α和β的值（精确到1°）.
解：过点C作CF⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β. i=1:1.6
∵ BE=5.8 m
BE 1 , AE 1.6
课堂小结
方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于90°的 水平角，叫方向角.
解决与方向角和坡度的问题的关键是找到与已知和未知 数据相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的 辅助线）；当问题以一个实际问题的情势给出时，要善于 读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
北
60° A
C BD 东
新知探究
解：过点C作CD⊥AB,
设CD= x n mile ,
则在Rt△ACD中， AD CD x
tan CAD tan 30
北
在Rt△BCD中，
BD CD x tan CBD tan 60
由AB=AD-CD,得
AB x x 20, tan 30 tan 60
747－600＝147(km)． 答：飞机的飞行路程比本来的路程600km远了147km.
【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转 化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
新知探究
与坡度、坡角有关的实际问题
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
60° A
解得 x 10 3 10
C
B D东 30°
所以这船继续向东航行是安全的.
新知探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东
65°的方向上，距离灯塔80海里的A
65°
A
处，它沿正南方向航行一段时间后， P
到达位于灯塔P的南偏东34°的方向
C
上的B处，这时，海轮所在的B处距
34°
离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？