高中数学第2章平面解析几何初步2.1_2.1.5平面上两点间的距离课件苏教版必修2
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2．对于平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2
x1＋x2
y1＋y2
的中点坐标是 M(x0，y0)，则 x0＝___2____，y0＝_____．
两点间的距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：|P1P2| ＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.特别：当直线|P1P2|垂直于 y 轴时，|P1P2|＝|x2－x1|；当直线 P1P2 垂直于 x 轴时，|P1P2| ＝|y2－y1|；当 P1，P2 中有一个是原点时，则有|OP|＝ x12＋y12或 |OP|＝ x22＋y22.
解：设 P1(x1，y1)平分线段 PB，P(x0，y0)为线段 AP1
x0＝1＋2 x1，
的中点，于是
①
－4＋y1 y0＝ 2 .
x1＝3＋2 x0，
又由 P1 为线段 PB 的中点，得
②
2＋y0
y1＝ 2 .
联立①②组成方程组解得 x0＝53，y0＝－2， 故点 P 的坐标为53，－2.
[学习目标] 1.掌握在平面直角坐标系下的两点间的 距离公式(重点).2.初步学会用坐标法证明简单的平面几 何问题(难点)．
1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为： |_P_1_P_2|_＝___（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1）__2____．
则 AC＋CB＝A′C＋CB＝A′B.由两点间的距离公式， 得 A′B＝ （－3－3）2＋（－5－9）2＝2 58， 即此光线由 A 到 B 所经过的路程的长度为 2 58.
两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任 意两已知坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中 常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理 会用坐标法解决几何问题的基本思路．
题型 1 两点间距离公式及简单应用 [典例 1] 已知点 A(－1，2)，B(2， 7)，在 x 轴上求 一点 P，使 PA＝PB，并求 PA 的值． 分析：设出点 P 的坐标，利用两点间距离公式建立 方程求解．
所以 AC′所在直线的方程为 x＋3y－7＝0， AC′和 l 的交点坐标为52，32. 故点 Q 的坐标为52，32.
规律总结 1．求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法． 当两点 A，B 在直线 l 的两侧时， 可以在直线 l 上找到一点 P， 使得|PA－PB|最大．
解：由题意，设点 P 坐标为(x，0)， 则 PA＝ （x＋1）2＋（0－2）2＝ x2＋2x＋5， PB＝ （x－2）2＋（0－ 7）2＝ x2－4x＋11， 由 PA＝PB，得 x2＋2x＋5＝x2－4x＋11， 解得 x＝1. 所以点 P 的坐标为(1，0)．且 PA＝ 12＋2×1＋5＝ 2 2.
注意：当两点 A，B 在直线 l 的两侧时，AB 连线与 直线 l 的交点 P 是到 A，B 距离之和最小的点，且(PA＋ PB)min＝AB.
2．求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方 法．
当两点 A，C 在直线 l 的同侧时， 可以在直线 l 上找到一点 Q，使得 QA＋QC 最小．
如图所示，作点 C 关于直线 l 的对称点 C′，连接 AC′ 交 l 于点 Q，则点 Q 就是所求点．
若在直线 l 上取不同于点 Q 的点 Q′，连接 Q′A，Q′ C，Q′C′，QC，AC，则 Q′C＝Q′C′，QC＝QC′.
在△Q′AC′中，AC′<Q′C′＋Q′A(三角形两边之和大于 第三边)，当 A，Q′，C′三点共线，即 Q′与 Q 重合时，QA ＋QC 最小，且(QA＋QC)min＝AC′.
规律总结 解答此类问题的关键是借助两点间的距离公式建立 含参数的方程，利用方程的思想求得参数值，在解答过程 中体现了几何问题代数化的思想．
[变式训练] 1．已知△ABC 的三个顶点分别是 A(－1，0)，B(1， 0)，C12， 23，试判断△ABC 的形状． 解：因为|AB|＝|1－(－1)|＝2，
第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2．1.5 平面上两点间的距离
[情景导入] 在一条直线型的河流 l 的同侧有两个村 庄 A，B，现在要在河流旁边建造一水厂 C 向两个村庄供 水，要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当 建在什么地方？我们知道平面上两点间线段的长最短，那 么，应当铺设的管道最短是多少？
如图所示，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′ 并延长，交 l 于点 P，则点 P 就是所求点．
若在直线 l 上取不同于点 P 的点 P′，连接 P′A，P′B， P′B′，PB，则 P′B＝P′B′.
在△AP′B′中，|P′A－P′B′|<AB′(三角形两边之差小于 第三边)，即|P′A－P′B|<AB′，所以当 P′与 P 重合时，|PA －PB|最大，且|PA－PB|max＝AB′.
y－1 x－4 于是直线 AB′的方程为 ＝ ，
－1－1 5－4 即 2x＋y－9＝0.
联立直线 l 与 AB′的方程，解得 x＝130，y＝73， 即 l 与 AB′的交点坐标为130，73， 所以 P130，73.
(2)设点 C 关于 l 的对称点为点 C′，可求出 C′的坐标 为(1，2)．
解析：由题意可设 A(x，0)，B(0，y)，由中点坐标公式
x＋2 0＝－2， x＝－4，
可得
解得
所以 A(－4，0)，B(0，6)．
0＋y 2 ＝3，
y＝6.
由直线的截距式方程得 l 方程为－x4＋6y＝1， 即 3x－2y＋12＝0. 答案：3x－2y＋12＝0
题型 3 对称问题及应用
规律总结 中点坐标公式是一个重要的公式，本题求解过程中两 次用到了它，对能力要求较高，因此在平时的学习中应有 意识地进行这种训练，以便在考试中能得心应手，游刃有 余．
[变式训练]
2．直线 l 过点 P(－2，3)，且与 x 轴、y 轴分别相交 于 A，B 两点，若点 P 恰好为 A，B 的中点，则直线 l 的 方程为__________．
[典例 3] 在直线 l：x－y－1＝0 上求两点 P，Q，使 得：
(1)P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大； (2)Q 到 A(4，1)和 C(3，0)的距离之和最小． 解：(1)设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a，b)， 所以 a＋b－4＝0.①
由于 BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上， 所以a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.② 由①②得 a＝5，b＝－1，所以 B′(5，－1)．
[变式训练] 3．已知光线从点 A(－3，5)射到 x 轴上，被 x 轴反 射后过点 B(3，9)，求此光线由 A 到 B 所经过的路程的长 度． 解：点 A(－3，5)关于 x 轴的对称点为 A′(－3，－5)．
由光的反射定律知，点 A′必在反射光线所在直线上．
设光线射到 x 轴上的点 C 处，
|BC|＝
1－122＋0－ 232＝1，
|AC|＝
－1－122＋0－ 232＝ 3，
所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
故△ABC 是直角三角形．
题型 2 中点坐标公式的应用 [典例 2] 已知 A(1，－4)，B(3，2)，又点 P 在线段 AB 上，且 2AP＝PB，求点 P 的坐标． 分析：将三等分点转化为中点，为此可构造 PB 的中 点 P1，进而利用中点坐标解决问题．
x1＋x2
y1＋y2
的中点坐标是 M(x0，y0)，则 x0＝___2____，y0＝_____．
两点间的距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：|P1P2| ＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.特别：当直线|P1P2|垂直于 y 轴时，|P1P2|＝|x2－x1|；当直线 P1P2 垂直于 x 轴时，|P1P2| ＝|y2－y1|；当 P1，P2 中有一个是原点时，则有|OP|＝ x12＋y12或 |OP|＝ x22＋y22.
解：设 P1(x1，y1)平分线段 PB，P(x0，y0)为线段 AP1
x0＝1＋2 x1，
的中点，于是
①
－4＋y1 y0＝ 2 .
x1＝3＋2 x0，
又由 P1 为线段 PB 的中点，得
②
2＋y0
y1＝ 2 .
联立①②组成方程组解得 x0＝53，y0＝－2， 故点 P 的坐标为53，－2.
[学习目标] 1.掌握在平面直角坐标系下的两点间的 距离公式(重点).2.初步学会用坐标法证明简单的平面几 何问题(难点)．
1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为： |_P_1_P_2|_＝___（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1）__2____．
则 AC＋CB＝A′C＋CB＝A′B.由两点间的距离公式， 得 A′B＝ （－3－3）2＋（－5－9）2＝2 58， 即此光线由 A 到 B 所经过的路程的长度为 2 58.
两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任 意两已知坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中 常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理 会用坐标法解决几何问题的基本思路．
题型 1 两点间距离公式及简单应用 [典例 1] 已知点 A(－1，2)，B(2， 7)，在 x 轴上求 一点 P，使 PA＝PB，并求 PA 的值． 分析：设出点 P 的坐标，利用两点间距离公式建立 方程求解．
所以 AC′所在直线的方程为 x＋3y－7＝0， AC′和 l 的交点坐标为52，32. 故点 Q 的坐标为52，32.
规律总结 1．求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法． 当两点 A，B 在直线 l 的两侧时， 可以在直线 l 上找到一点 P， 使得|PA－PB|最大．
解：由题意，设点 P 坐标为(x，0)， 则 PA＝ （x＋1）2＋（0－2）2＝ x2＋2x＋5， PB＝ （x－2）2＋（0－ 7）2＝ x2－4x＋11， 由 PA＝PB，得 x2＋2x＋5＝x2－4x＋11， 解得 x＝1. 所以点 P 的坐标为(1，0)．且 PA＝ 12＋2×1＋5＝ 2 2.
注意：当两点 A，B 在直线 l 的两侧时，AB 连线与 直线 l 的交点 P 是到 A，B 距离之和最小的点，且(PA＋ PB)min＝AB.
2．求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方 法．
当两点 A，C 在直线 l 的同侧时， 可以在直线 l 上找到一点 Q，使得 QA＋QC 最小．
如图所示，作点 C 关于直线 l 的对称点 C′，连接 AC′ 交 l 于点 Q，则点 Q 就是所求点．
若在直线 l 上取不同于点 Q 的点 Q′，连接 Q′A，Q′ C，Q′C′，QC，AC，则 Q′C＝Q′C′，QC＝QC′.
在△Q′AC′中，AC′<Q′C′＋Q′A(三角形两边之和大于 第三边)，当 A，Q′，C′三点共线，即 Q′与 Q 重合时，QA ＋QC 最小，且(QA＋QC)min＝AC′.
规律总结 解答此类问题的关键是借助两点间的距离公式建立 含参数的方程，利用方程的思想求得参数值，在解答过程 中体现了几何问题代数化的思想．
[变式训练] 1．已知△ABC 的三个顶点分别是 A(－1，0)，B(1， 0)，C12， 23，试判断△ABC 的形状． 解：因为|AB|＝|1－(－1)|＝2，
第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2．1.5 平面上两点间的距离
[情景导入] 在一条直线型的河流 l 的同侧有两个村 庄 A，B，现在要在河流旁边建造一水厂 C 向两个村庄供 水，要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当 建在什么地方？我们知道平面上两点间线段的长最短，那 么，应当铺设的管道最短是多少？
如图所示，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′ 并延长，交 l 于点 P，则点 P 就是所求点．
若在直线 l 上取不同于点 P 的点 P′，连接 P′A，P′B， P′B′，PB，则 P′B＝P′B′.
在△AP′B′中，|P′A－P′B′|<AB′(三角形两边之差小于 第三边)，即|P′A－P′B|<AB′，所以当 P′与 P 重合时，|PA －PB|最大，且|PA－PB|max＝AB′.
y－1 x－4 于是直线 AB′的方程为 ＝ ，
－1－1 5－4 即 2x＋y－9＝0.
联立直线 l 与 AB′的方程，解得 x＝130，y＝73， 即 l 与 AB′的交点坐标为130，73， 所以 P130，73.
(2)设点 C 关于 l 的对称点为点 C′，可求出 C′的坐标 为(1，2)．
解析：由题意可设 A(x，0)，B(0，y)，由中点坐标公式
x＋2 0＝－2， x＝－4，
可得
解得
所以 A(－4，0)，B(0，6)．
0＋y 2 ＝3，
y＝6.
由直线的截距式方程得 l 方程为－x4＋6y＝1， 即 3x－2y＋12＝0. 答案：3x－2y＋12＝0
题型 3 对称问题及应用
规律总结 中点坐标公式是一个重要的公式，本题求解过程中两 次用到了它，对能力要求较高，因此在平时的学习中应有 意识地进行这种训练，以便在考试中能得心应手，游刃有 余．
[变式训练]
2．直线 l 过点 P(－2，3)，且与 x 轴、y 轴分别相交 于 A，B 两点，若点 P 恰好为 A，B 的中点，则直线 l 的 方程为__________．
[典例 3] 在直线 l：x－y－1＝0 上求两点 P，Q，使 得：
(1)P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大； (2)Q 到 A(4，1)和 C(3，0)的距离之和最小． 解：(1)设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a，b)， 所以 a＋b－4＝0.①
由于 BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上， 所以a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.② 由①②得 a＝5，b＝－1，所以 B′(5，－1)．
[变式训练] 3．已知光线从点 A(－3，5)射到 x 轴上，被 x 轴反 射后过点 B(3，9)，求此光线由 A 到 B 所经过的路程的长 度． 解：点 A(－3，5)关于 x 轴的对称点为 A′(－3，－5)．
由光的反射定律知，点 A′必在反射光线所在直线上．
设光线射到 x 轴上的点 C 处，
|BC|＝
1－122＋0－ 232＝1，
|AC|＝
－1－122＋0－ 232＝ 3，
所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
故△ABC 是直角三角形．
题型 2 中点坐标公式的应用 [典例 2] 已知 A(1，－4)，B(3，2)，又点 P 在线段 AB 上，且 2AP＝PB，求点 P 的坐标． 分析：将三等分点转化为中点，为此可构造 PB 的中 点 P1，进而利用中点坐标解决问题．