初二数学上册综合算式专项练习题函数的极值

初二数学上册综合算式专项练习题函数的极
值
在初中数学上册的综合算式中，我们学习了一些函数的基础知识，如函数的概念、函数的表示方法以及函数的性质。

在这些基础知识的基础上，我们需要进一步学习函数的极值问题。

本文将通过专项练习题来帮助同学们更好地理解和掌握函数的极值概念和求解方法。

一、简单的函数极值问题
1. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求 f(x) 的极小值和极大值。

解答：首先，我们需要求出函数的导数。

对于二次函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，它的导数 f'(x) = 4x + 3。

我们知道，在函数的极值点处，导数等于0。

所以我们可以通过解方程 f'(x) = 0 来求得函数的极值点。

解得 x = -3/4。

然后，我们需要判断这个极值点是极小值还是极大值。

我们可以通过求导数的二阶导数来判断。

对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，它的二阶导数 f''(x) = 4。

由于二阶导数恒为正数，所以该极值点是函数的极小值点。

因此，函数 f(x) 的极小值为 f(-3/4) = 2 * (-3/4)^2 + 3 * (-3/4) + 1 = 7/8。

同理，我们可以得到函数 f(x) 的极大值为 f(0) = 1。

2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求 f(x) 的极值。

解答：同样地，我们需要先求出函数的导数。

对于三次函数 f(x) =
x^3 - 6x^2 + 9x，它的导数 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

然后，我们解方程 f'(x) = 0，得到 x = 1。

接下来，我们求二阶导数 f''(x) = 6x - 12。

将 x = 1 代入得 f''(1) = -6。

由于二阶导数为负数，故 x = 1 为函数的极大值点。

因此，函数 f(x) 的极大值为 f(1) = 1^3 - 6 * 1^2 + 9 * 1 = 4。

二、函数极值问题的推广
上面的例题都是一元函数的极值问题，我们可以将函数极值问题推
广到多元函数上。

考虑一个二元函数 f(x, y)，我们需要求解 f(x, y) 在给定条件下的最
大值或最小值。

例如，已知 f(x, y) = x^2 + y^2，求 f(x, y) 的最小值，且满足条件 x
+ y = 1。

解答：首先，我们将条件 x + y = 1 代入函数 f(x, y) 中，得到 f(x) =
x^2 + (1 - x)^2。

我们需要求解 f(x) 在定义域上的最小值。

对于一元函数f(x)，我们可以通过求导和解方程的方式求解极值点。

同样地，我们对 f(x) = x^2 + (1 - x)^2 求导得到 f'(x) = 2x - 2 + 2(x - 1) =
4x - 4。

解得 x = 1。

然后，我们需要判断 x = 1 是函数的极小值点还是极大值点。

我们
可以再求导 f''(x) = 4。

由于二阶导数为正数，所以 x = 1 是函数的极小
值点。

因此，函数 f(x, y) 的最小值为 f(1) = 1^2 + (1 - 1)^2 = 1。

通过以上的练习题，我们可以更深入地理解函数的极值概念和求解
方法。

在实际问题中，函数的极值问题经常出现，并且有着广泛的应用。

因此，在学习中要掌握函数的极值问题，对于提高数学解题能力
和应用能力有着重要意义。

总结：
本文通过综合算式中的专项练习题，介绍了函数的极值问题的求解
方法。

对于简单的函数极值问题，我们需要求导并解方程来求解极值点，并通过二阶导数判断是极小值还是极大值。

对于多元函数的极值
问题，我们需要将给定的条件代入函数中，并在定义域上求解最值。

函数的极值问题是数学中的重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。

通过不断的练习和理解，我们可以更好地掌握函数的极值问题，
提高数学解题能力。

同时，我们还要将函数的极值问题与实际问题相
结合，培养自己的应用能力。