2020中考数学4个快速高分捷径,你知道吗？值得收藏!

2020中考数学4个快速高分捷径，你知道吗？值得收藏！
初中数学
中考得分有捷径：分段评分，也叫踩点得分，即在一道题中，答对了多少必要的点，就会得到相应的分数。

换句话说，考生们要做到会做的题不失分，有难度的题力求多得分。

一直以来，包括很多数学学霸也会犯的错误是“会而不对，对而不全”，这个老大难问题其实只要多加留心就能避免，并不是什么学习上拦路老虎。

有些题同学们并不是不会，或者说是不全会，容易出错情况主要是因为逻辑缺陷、概念错误等原因而与这些分数擦肩而过。

因此，考生做题的时候要注意表达准确、考虑周全、书写规范，以免会做的题目被扣分。

而研究表明，对于大部分考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。

其次，对于绝大多数的考生来说，更加重要的还是想办法从不太会做的题目中“捞点分”。

那么，怎样才能尽量地捞多点分呢？数姐带来以下四种方法可供选择。

一、
跳步答题
解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。

这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。

如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答。

也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持卷面的工整。

若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。

二、
退步解答
“以退求进”是一个重要的解题策略。

如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。

总之，退到一个你能够解决的问题。

为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。

这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。

三、
缺步解答
如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。

特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”，确实是个好主意。

四、
辅助解答
一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。

实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举，既必不可少而又不困难。

如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。

书写也是辅助解答。

“书写要工整、卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应：书写认真—学习认真—成绩优良—给分偏高。

有些选择题，“大胆猜测”也是一种辅助解答，实际上猜测也是一种能力。

距离中考越来越近，希望家长不要再给孩子压力，同时还要开导孩子，中考只是一场普通的考试。

希望同学们也能平时练习要严谨，中考考场放轻松，祝所有同学考个好成绩！
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若△ABC的每条边长增加各自的50%得△A'B'C'，若△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是（）A.9 B.6 C.5 D.2
2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知，满足不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围是（）
A.﹣1＜x＜5
B.x＞5
C.x＜﹣1且x＞5
D.x＜﹣1或x＞5
3．下面两幅图是由几个小正方形搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数为（）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4．如图，正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝k
x
的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，
AC＝AO，△ACO的面积为6．则k的值为（）
A.3
B.﹣3
C.﹣6
D.6
5．平方根和立方根都是本身的数是（）
A．0B．1C．±1D．0和±1
6．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）
A.4.5m
B.4.8m
C.5.5m
D.6 m 7．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是( )
A. B.1 C. D.2
8．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．ABD ADB ∠=∠
C ．AB C
D = D ．AB BC =
9．若关于x 的一元一次不等式组()2132x x x m ⎧-<-⎨>⎩
的解集是5x >，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5≤m B ．5m < C ．5m ≥ D ．5m >
10．下列运算正确的是（ ）
A ．a 3+a 3＝a 6
B ．（﹣a 2）3＝a 6
C ．a 5÷a ﹣2＝a 7
D ．（a+1）0＝1
11．已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车,图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若方程x 2﹣7x+12＝0的两个实数根恰好是直角△ABC 的两边的长，则△ABC 的周长为（ ）
A ．12
B ．7+7
C ．12或7+7
D ．11
二、填空题
13．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为_____．
14．空气中有一种有害粉尘颗粒，其直径大约为0.000 000 017m ，该直径可用科学记数法表示为______________.
15．若分式22x
x -+的值为零，则x 的值为_____．
16．使代数式21
x x -有意义的x 的取值范围是_____． 17．关于x 的方程123(2)(3)
x x x a x x x x ++-=-+-+的解为非正数，则a 的取值范围为_____． 18．如图，在一单位长度为1cm 的方格纸上，依如图所示的规律，设定点A 1、A 2、A 3、A 4、…A n ．连接点A 1、A 2、A 3组成三角形，记为△1，面积S 1=4；连接A 2、A 3、A 4组成三角形，记为△2，面积S 2=9；连接A 3、A 4、A 5组成三角形，记为△3，面积S 3= ______ …，连A n 、A n+1、A n+2组成三角形，记为△n （n 为正整数），则面积S n = ______．
三、解答题
19．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 为边AB 的中点．点P 从点A 出发，沿AC 方向以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB 方向运动到点B ，再沿BA 方向向终点A 运动，以DP 、DQ 为邻边构造▱PEQD ，设点P 运动的时间为t 秒．
（1）设点Q 到边AC 的距离为h ，直接用含t 的代数式表示h ；
（2）当点E 落在AC 边上时，求t 的值；
（3）当点Q 在边AB 上时，设▱PEQD 的面积为S （S ＞0），求S 与t 之间的函数关系式；
（4）连接CD ，直接写出CD 将▱PEQD 分成的两部分图形面积相等时t 的值．
20．化简：2232122444x x x x x x x x x
+-+⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭． 21．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A ，B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），PM 与x 轴交于点N （n ，0），如图3．当m ＝3时，n ＝_____．
22．如图，一次函数y=﹣x+b 与反比例函数y=k x
(k≠0)的图象相交于A 、B 两点，其中A(﹣1，4)，直线l ⊥x 轴于点E(﹣4，0)，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C 、D ，连接AC 、BC.
(1)求出b 和k ；
(2)判定△ACD 的形状，并说明理由；
(3)在x 轴上是否存在点P ，使S △PBC =S △ABC ？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在8×6的方格纸中有线段AD ，其中A ，D 在格点上，请分别按下列要求作△ABC （所作△ABC 不是等腰三角形，作出一个即可．）
（1）在图1中，作△ABC ，使AD 为△ABC 的中线，点B ，C 在格点上．
（2）在图2中，作△ABC ，使AD 为△ABC 的高线，点B ，C 在格点上．
24．一般轮船在A 、B 两个港口之间航行，顺流需要4个小时，逆流需要5个小时，已知水流通度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度．
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中有矩形OABC ，()()A 40C 02，
，，，将矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转得到矩形OA′B′C′.
(Ⅰ)如图1，当点A′首次落在BC 上时，求旋转角；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求点B′的坐标；
(Ⅲ)如图2，当点B′首次落在x?轴上时，直接写出此时点A′的坐标.
【参考答案】***
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A C C A D B C A C
B C
二、填空题
13．10
14．7×10-8
15．2
16．x≥0且x≠2
17．：a≤3且a≠﹣12．
18．(n+1)2
三、解答题
19．（1）当0＜t≤32时，h ＝2t ，当32＜t≤4时，h ＝61655t -+；（2）3t 4
=；（3）当0≤t＜114时，2633510S t t =-+；当114＜t≤4时，2633510S t t =-；（4）t 的值为1211或2411
． 【解析】
【分析】
（1）分点Q 在线段BC ，线段AB 上两种情形分别求解即可．
（2）利用平行线等分线段定理解决问题即可．
（3）分点Q 在线段BD ，在线段AD 上两种情形分别求解即可．
（4）当点E 落在直线CD 上时，CD 将▱PEQD 分成的两部分图形面积相等．有两种情形：①当点E 在CD 上，且点Q 在CB 上时 （如图3所示），②当点E 在CD 上，且点Q 在AB 上时（如图4所示），分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）当0＜t≤
32
时，h ＝2t ． 当32＜t≤4时，h ＝3﹣35（2t ﹣3）＝61655t -+． （2）当点E 落在AC 边上时，DQ ∥AC ，
∵AD ＝DB ，
∴CQ ＝QB ，
∴2t ＝34
， ∴t ＝34
． （3）①如图1中，当0≤t＜
114时，作PH ⊥AB 于H ，则PH ＝PA•sinA＝311,52t DQ =﹣2t ，
∴S ＝2311633252510t t t t ⎛⎫⋅-=-+ ⎪⎝⎭
． ②如图2中，当
114＜t≤4时，同法可得2311633252510S t t t t ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭．
（4）当点E落在直线CD上时，CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等．有两种情形：①当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图3所示），
过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，
易证Rt△PGE≌Rt△DHQ，
∴PG＝DH＝2，
∴CG＝2﹣t，GE＝HQ＝CQ﹣CH＝2t﹣3
2
，
∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC
∴在Rt△CEG中，tan∠ECG＝
3
23
2
24
t
GE
CG t
-
==
-
，
∴t＝12 11
．
②当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），过点E作EF⊥CA于点F，
∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD．
∵PE∥AD，∴∠CPE＝∠CAD＝∠ACD，∴PE＝CE，
∴PF＝1
2
PC＝
4
2
t-
，PE＝DQ＝
11
2
﹣2t，
∴在Rt △PEF 中，cos ∠EPF ＝442115
22
t
PF PE t -==-， ∴t ＝2411
综上所述，满足要求的t 的值为1211或2411． 【点睛】
本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 20．42
x x -- 【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
原式=221(2)(2)[](2)(2)2
x x x x x x x x x +-+--⋅--+ =2224(2)(2)1
x x x x x x x --+-⋅- =42
x x --． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．423-
【解析】
【分析】
先根据已知条件得出△PDE 的边长，再根据对称的性质可得出PF ⊥DE ，DF ＝EF ，锐角三角函数的定义求出PF 的长，由m ＝3求出MF 的长，再根据相似三角形的判定定理判断出△PFM ∽△PON ，利用相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
∵AB ＝3，△PDE 是等边三角形，
∴PD ＝PE ＝DE ＝1，
以DE 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
∵△PDE 关于y 轴对称，
∴PF ⊥DE ，DF ＝EF ，DE ∥x 轴，
∴PF ＝32
， ∴△PFM ∽△PON ，
∵m ＝3，
∴FM ＝3﹣32
， ∴PF FM OP ON =，即322＝332ON -， 解得：ON ＝4﹣23．
故答案为：4﹣23．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM 的长是解答此题的关键．
22．（1）b=3，k=-4；（2）△ACD 是等腰直角三角形，理由详见解析；（3）存在， P 1（15，0），P 2（-15,0）.
【解析】
【分析】
（1）把A （-1，4）代入y=k x
和y=﹣x+b ，即可得答案；（2）过点A 作AF ⊥直线l 于点F ，可得点F 坐标为（-4，4），由直线l ⊥x 轴于点E(﹣4，0)可得C 、D 两点的横坐标为-4，代入反比例函数和一次函数解析式即可得C 、D 两点的坐标，即可求出CD 、AD 、AC 的距离，进而可判断三角形ACD 的形状；（3）过点B 作BH ⊥x 轴于H ，联立一次函数和反比例函数解析式，可得B 点坐标，即可求出AB 的长，进而可得△ABC 的面积，由B 、C 坐标可得B 、C 两点关于原点对称，则原点O 在线段BC 上，根据S △PBC =S △
ABC =12⋅OP ⋅CE+12⋅OP ⋅BH 即可求出OP 的值，即可得点P 坐标. 【详解】 （1）∵一次函数y=﹣x+b 与反比例函数y=
k x (k≠0)的图象都经过A(﹣1，4)， ∴4=-（-1）+b ，4=
1k -， ∴b=3，k=-4.
（2）过点A 作AF ⊥直线l 于点F ，
∴F （-4，4），
∴AF=3，
∵直线l ⊥x 轴于点E(﹣4，0)，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C 、D ，
∴C 、D 两点的横坐标为-4，
∵k=-4，b=3，
∴一次函数和反比例函数的解析式分别为：y=-x+3，y=4x -
， ∴-(-4)+3=7，44
--=1， ∴C （-4，1），D （-4，7），
∴CD=6，FC=3，FD=3，
∴AC=AD=2233+=，
∵AC 2+AD 2=(32)2+(32)2=36，CD 2=62
=36，
∴AC 2+AD 2=CD 2，
∴△ACD 是直角三角形，
∵AC=AD ，
∴△ACD 是等腰直角三角形
.
（3）存在，过点B 作BH ⊥x 轴于H ， 联立一次函数和反比例函数解析式得34y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：14x y =-⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=-⎩
， ∴B （4，-1），
∴AB=22(41)(14)++--=52，
∴S △ABC=12AB ⋅AC=12×52×32=15， ∵B(4，-1)，C(1，-4)，
∴B 、C 两点关于原点对称，
∴点O 在线段BC 上，
∴S △PBC =S △ABC =12⋅OP ⋅CE+12⋅OP ⋅BH=15， ∵CE=1，BH=1， ∴OP =15，
∴P 1（15，0），P 2（-15，0）
.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的应用，用了数形结合思想．
23．（1）见解析；（2）见解析。

【解析】
【分析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用数形结合的思想画出图形即可．
【详解】
解：（1）如图1中，△ABC即为所求．（答案不唯一）
（2）如图2中，△ABC即为所求．
【点睛】
本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．18千米/小时
【解析】
【分析】
设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则顺流的速度为（x+2）千米/小时，逆流的速度为（x﹣2）千米/小时，根据路程＝速度×时间结合A、B两个港口之间的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则顺流的速度为（x+2）千米/小时，逆流的速度为（x﹣2）千米/小时，
依题意，得：4（x+2）＝5（x﹣2），
解得：x＝18．
答：轮船在静水中的速度为18千米/小时．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于表示顺流速度和逆流速度.
25．(Ⅰ)旋转角为30°；(Ⅱ)B′的坐标为(231,23)-+；(Ⅲ)点A′的坐标为8545,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
(Ⅰ)过点'A 作A D x '⊥，垂足为D ，由旋转的性质及A 、C 坐标可得OA=OA′=4，A′D=A′B′=OC=2，由A′D=12
OA′可得30A OD ∠='︒，即可得答案；(Ⅱ)过点'B 作B′E⊥BC ，垂足为E ，根据矩形的性质可得30OA C A OA ∠∠''==︒，可得60B A E ∠︒=''，即可求出A′C、A′E、B′E 的长，进而可得B′点坐标；(Ⅲ)过点'A 作A F x '⊥轴，垂足为F ，可证明''~'BAO AFO ，利用勾股定理可求出OB′的长，根据相似三角形的性质可求出OF 的长，进而可得A′F 的长，即可得点A′坐标.
【详解】
(Ⅰ)如图a ，过点'A 作A D x '⊥，垂足为D ，
∵()()4002A C ，
，，， ∴42OA OA A D B A OC ''''=====，.
在'Rt OAD 中，1''2
A D OA =
， ∴30A OD ∠='︒，即旋转角为30︒.
(Ⅱ)如图b ，过点'B 作B E BC '⊥，垂足为E ，
∵BC AO
∴30OA C A OA ∠∠''==︒. ∴60,23B A E A C ∠︒''=='. ∴1,3A E B E ''==.
∴'B 的坐标为()
231,23-+.
(Ⅲ)如图c ，过点'A 作A F x '⊥轴，垂足为F ，
∵A′B′=2，A′O=4， ∴B′O=2242+=25，
∵90''B A O AF BO ∠=︒⊥''，，∠A′OB′=∠A′OB′，
∴'''BAO AFO ∽. ∴'''OB OA OA OF
=. ∴855
OF =. ∴45'5A F =
. ∴点'A 的坐标为854555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，.
【点睛】
本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质，正确得出对应边与对应角是解题关键.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．浙江广厦篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：184，188，190，192，194．现用一名身高为170cm的队员换下场上身高为190cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，AC＝33，则图中阴影部分的面积是（）
A．39
3
24
π-B．
3
2
πC．
39
24
π-D．
9
33
4
π-
3．32400000用科学记数法表示为（）
A．0.324×108B．32.4×106C．3.24×107D．324×108
4．下列图形，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为3-，1-，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（）
A．1
6
B．
1
4
C．
2
3
D．
1
3
6．△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．以点C为圆心、5为半径作圆C，则圆C与直线AB的位置关系是（）
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
7．左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知点（－2，1y ），（1，0），（3，2y ）都在二次函数2
y x bx 3=+-的图象上，则1y ，0，2y 的大小关系是（ ）
A ．120y y <<
B ．21y 0y <<
C ．12y y 0<<
D ．12y 0y << 9．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形 ③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形 ④s ＝
32
（x ﹣2）2（0＜x ＜2），其中正确的有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
10．如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4．D 为斜边BC 的中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3••；设P n ﹣1D n ﹣2的中点为D n ﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n ﹣1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 2019的长为（ ）
A.2019
2020
534⨯ B.20192020354⨯ C.2018
2019534
⨯ D.20182019354⨯ 11．对于反比例函数6y x
=-，当10x -<…时，y 的取值范围是（ ） A ．6y … B ．60y -≤<
C ．06y <…
D ．6y <-
12．剪纸是中国古老的民间艺术，下列作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_____．
14．分解因式：33a b ab -=___________．
15．如图，在⨀O 中，,=∠=AB AC BAC 90，点P 为BCM 上任意一点，连接,,PA PB PC ，则线段,,PA PB PC 之间的数量关系为_____．
16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC 43=，对角线AC 、BD 相交于点O ，现将一个直角三角板OEF 的直角顶点与O 重合，再绕着O 点转动三角板，并过点D 作DH ⊥OF 于点H ，连接AH.在转动的过程中，AH 的最小值为_________．
17．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．
18．为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是______小时． 睡眠时间（小时） 6 7 8 9
学生人数8 6 4 2 三、解答题
19．如图，已知一次函数y＝kx+b(k≠0)与反比例函数y＝m
x
(m≠0)的图象相交于A、B两点，且点A的
坐标是(1，2)，点B的坐标是(﹣2，w)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)在x轴的正半轴上找一点C，使△AOC的面积等于△ABO的面积，并求出点C的坐标．
20．根据某小区书法兴趣小组成员的年龄情况，绘制如下不完整的统计图：
(1)该兴趣小组成员年龄的平均数是岁，众数是岁；
(2)平均数能较好地反映该兴趣小组成员的年龄特征吗？说明你的理由．
21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB＝90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．
（1）请说明：CD是⊙O的切线：
（2）若AB＝4，BC＝27．则阴影部分的面积为
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函
数y＝m
x
在第二象限内的图象交于点C，CE⊥x轴，tan∠ABO＝
1
2
，OB＝4，OE＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．
23．母亲节前，某淘宝店从厂家购进某款网红礼盒，已知该款礼盒每个成本价为30元．经市场调查发现，该礼盒每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该款礼盒每个售价为55元时，每天可卖出150个．
（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）若该店老板想达到每天不低于240个的销售量，则该礼盒每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元?
24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（6，﹣3），对称轴是直线x＝4，顶点为B，OA与其对称轴交于点M，M、N关于点B对称．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）联结ON、AN，求△OAN的面积；
（3）点Q在x轴上，且在直线x＝4右侧，当∠ANQ＝45°时，求点Q的坐标．
25．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C D A A D C C A B 二、填空题
13．1 2
14．ab（a+b）（a﹣b）．15．2
PB PC PA
+=．16．7﹣2
17．2 +1
18．7
三、解答题
19．(1)反比例函数的解析式为：y＝2
x
，一次函数的解析式为：y＝x+1；(2)C(
3
2
，0)．
【解析】【分析】
（1）先根据A(1,2)是反比例函数y=m
x
图象上的点即可得出m的值,进而得出其解析式;把B(-2,w)代入
反比例函数的解析式即可得出w的值,进而得出B点坐标,把A、C两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出kb的值,进而得出一次函数的解析式
（2）根据一次函数的解析式求出D点坐标,由S△ABO=S△AOD+S△BOD得出其面积,再设C(x,0),由三角形的面积公式即可求出x的值解答
【详解】
(1)∵A(1，2)是反比例函数y=m
x
（m≠0）图象上的点，
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝2
x
，
把B(﹣2，w)代入反比例函数y＝2
x
得，w＝
2
-2
＝﹣1，
∴B(﹣2，﹣1)，
∵A(1，2)，B(﹣2，﹣1)是一次函数y＝kx+b图象上的点，
∴
21
1
k b
k b
-+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
{
1
k
b
=
=
，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
(2)∵一次函数的解析式为：y＝x+1，
∴一次函数与x轴的交点D为(﹣1，0)，
∴S△ABO＝S△AOD+S△BOD＝1
2
×1×2+
1
2
×1×1＝
3
2
，
设C(x，0)，
∵△AOC的面积等于△ABO的面积，
∴1
2
×2•x＝
3
2
，解得x＝
3
2
，
∴C(3
2
，0)．
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是把已知值代入解析式.
20．(1)14、9；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求出被调查的总人数，再求出7岁和9岁的人数，继而根据众数和平均数的定义计算可得；（2）根据平均数容易受极端值影响求解可得．
【详解】
(1)∵被调查的总人数为2÷20%＝10(人)，
则7岁的有10×20%＝2人，9岁的有10﹣(2+2+1+1)＝4(人)，
所以该兴趣小组成员年龄的平均数是728294101641
10
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
＝14(岁)，
众数为9岁；
故答案为：14、9．
(2)平均数不能较好地反映该兴趣小组成员的年龄特征，
因为该兴趣小组成员年龄的平均数受极端数据64的影响．
【点睛】
本题主要考查众数和平均数，解题的关键是熟练掌握众数和平均数的定义．
21．（1）详见解析；（2）2
3 3
π-
【解析】
【分析】
（1）连接OD，易证△CAO≌△CDO（SAS），由全等三角形的性质可得∠CDO=∠CAO=90°，即CD⊥OD，进而可证明CD是⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥BD，垂足为E，首先利用勾股定理可求出AC，OC的长，证得△OBD是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图，连接OD，
∵BD∥CO，
∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，在⊙O中，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠ODB，
∴∠COA＝∠COD，
在△CAO和△CDO中，
OA OD
COA COD CO CO
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△CAO≌△CDO（SAS）．，
∴∠CDO＝∠CAO＝90°，
即 CD⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．在Rt△ABC中，AC ＝2223
BC AB
-=，∴OC ＝22
AC OA
+＝4，
∴∠AOC＝60°，
∵△CAO≌△CDO，
∴∠COD＝∠COA＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2，OE ＝3，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝
2
602
360
π⋅⨯
﹣
1
2
×2×3＝
2
3
π﹣3．
故答案为：2
3
π﹣3．
【点睛】
本题考查了切线的判断和性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
22．（1）
6
y
x
=-，
1
2
2
y x
=-+；（2）D（
3
2
，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m 的值，可求得反比例函数解析式；
（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标．【详解】
解：（1）∵tan∠ABO＝1
2
，
∴
A1
OB2
O
=，且OB＝4，
∴OA＝2，
∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，
∴AO BO
CE BE
=，即
24
42
CE
=
+
，解得CE＝3，
∴C（﹣2，3），
∴m＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝
6
x -；
∵OA＝2，OB＝4，
∴A（0，2），B（4，0），
代入y＝kx+b得
2
40
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
k
2
b2
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴一次函数的解析式为y＝
1
2
x
-+2；
（2）设D（x，
6
x -），
∵D在第四象限，
∴DF＝x，OF＝6
x
，
∴S△DFO＝1
2
DF•OF＝
16
3
2
x
x
⋅=，
由（1）可知OA＝2，
∴AF＝2+6
x
，
∴S△BAF＝1
2
AF•OB
166
2422
2x x
⎛⎫⎛⎫
=+⨯=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
∵S△BAF＝4S△DFO，
∴2（2+6
x
）＝4×3，解得x＝
3
2
，
当x＝3
2
时，
6
x
-的值为﹣4，
∴D （32
，﹣4）． 【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积鞥，用D 点坐标表示出△BAF 和△DFO 的面积是解题的关键．
23．（1）y=－10x+700；（2）当该礼盒每个售价定为46元时，每天的销售利润最大，最大利润是3840元
【解析】
【分析】
（1）依题意直接设y=kx+b ，再根据图表将其中数据依次带入找出错误数据，从而确立y 与x 的正确函数关系为y=-10x+700．
（2）依题意可得30＜x≤46，设利润为w ，则w=（x-30）（-10x+700），将其化为顶点式，由于对称轴直线不在30＜x≤46之间，应说明函数的增减性，根据单调性代入恰当自变量取值，即可求出最大值．
【详解】
解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，由题意，得
40300,55150.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 10,700.
k b =-⎧⎨=⎩ ∴ y 与x 之间的函数解析式为y=－10x+700．
（2）设每天销售利润为W 元，由题意，得
W=(x －30)(－10x+700)=－10x 2+1000x －21000=－10(x －50)2+4000．
由题意，得－10x+700≥240，解得x≤46． ∴ 30<x≤46．
又 －10<0， ∴ 当x<50时，W 随x 的增大而增大．
∴ 当x=46时，W 取得最大值，最大值为 －10×(46－50)2+400=3840．
答:当该礼盒每个售价定为46元时，每天的销售利润最大，最大利润是3840元．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数图象的对称性及增减性分析解决实际问题的能力．
24．（1）y ＝
14x 2﹣2x ，点B 的坐标（4，﹣4）；（2）S △OAN ＝12；（3）点Q 的坐标（34，0）． 【解析】
【分析】
（1）根据直线x ＝4和A （6，﹣3）列出方程组，求出a 、b 即可求出解析式，然后将x ＝4代入函数解析式，求得得y ＝﹣4，所以点B 的坐标（4，﹣4）；
（2）连结ON 、AN ，先求出M （4，﹣2），由M 、N 关于点B 对称，求出N （4，﹣6），于是MN ＝4，所以S △OAN ＝12MN•|x A |＝12
×4×6＝12； （3）设对称轴直线x ＝4与x 轴交于点T ，抛物线与x 轴另一个交点为P ，则P （8，0），直线AN 与x 轴交于点P ，连接NQ ，连接NA 、AP ，过点P 作PR ⊥PN ，与NQ 交于点R ，过R 作RH ⊥x 轴于点H ．由∠PNR ＝∠ANQ ＝45°，则∠PRN ＝45°＝∠PNR ，所以PR ＝PN ，易证△PTN ≌△RHP （AAS ），则RH ＝PT ＝4，PH ＝TN ＝6，TH ＝10，由HR ∥TN ，列出比例式求出HQ ＝20，于是OQ ＝OP+PH+HQ ＝8+6+20＝34，所以点Q 的坐
标（34，0）．
【详解】
（1）由题意可得
423663
b a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩， 解得a ＝
14
，b ＝﹣2， ∴抛物线的表达式y ＝14x 2﹣2x 将x ＝4代入，得y ＝﹣4，
∴点B 的坐标（4，﹣4）；
（2）连结ON 、AN ，如图1．
∵A （6，﹣3），
∴直线OA ：y ＝﹣14
x ， 将x ＝4代入，y ＝﹣2，
∴M （4，﹣2），
∵M 、N 关于点B 对称，B （4，﹣4），
∴N （4，﹣6），
∴MN ＝4，
∴S △OAN ＝14M N•|x A |＝14
×4×6＝12； （3）设对称轴直线x ＝4与x 轴交于点T ，抛物线与x 轴另一个交点为P ，则P （8，0）．
∵A （6，﹣3），N （4，﹣6），
∴直线AN ：y ＝3122
x -， 令y ＝0，则x ＝8，
∴直线AN 与x 轴交点（8，0），
即直线AN 与x 轴交于点P ，
如图2，连接NQ ，连接NA 、AP ，过点P 作PR ⊥PN ，与NQ 交于点R ，过R 作RH ⊥x 轴于点H ．
∵∠PNR ＝∠ANQ ＝45°，
∴∠PRN ＝45°＝∠PNR ，
∴PR ＝PN ，
易证△PTN ≌△RHP （AAS ），
∴RH ＝PT ＝4，PH ＝TN ＝6，
∴TH ＝10， RH HQ TN QT = 4HQ 6HQ 10
∴=+∴HQ ＝20， ∴OQ ＝OP+PH+HQ ＝8+6+20＝34，
点Q 的坐标（34，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的相关性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．篮板顶端D 到地面的距离约为3.7m ．
【解析】
【分析】
延长AC 、DE 交于点F ，则四边形BCFE 为矩形，根据sin ∠BAC ＝
BC AB ，求EF,根据tan ∠DBE ＝DE BE ，求DE,再求DF 即可.
【详解】
解：延长AC 、DE 交于点F ，
则四边形BCFE 为矩形，
∴BC ＝EF ，
在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝BC AB
， ∴BC ＝AB•sin∠BAC ＝2.3×0.94＝2.162，
∴EF ＝2.162，
在Rt △DBE 中，tan ∠DBE ＝DE BE
，。