人教A版高中数学必修一优化练习

[课时作业]
[A组基础巩固]
1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()
A．4B．3
C．2 D．1
解析：由题设可知3≠4，
∴m＋1＝4，
∴m＝3.
答案：B
2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()
A．梯形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．
答案：A
3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.
答案：B
4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：利用集合中元素的互异性确定集合．
当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，
y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
答案：C
5．由实数x，－x，|x|，x2，－3
x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()
A．2个B．3个
C．4个D．5个
解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的
元素，则在集合中只能出现一次．因为x2＝|x|，－3
x3＝－x，所以当x＝0时，
这几个数均为0.当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A.
答案：A
6．设a，b∈R，集合{0，b
a，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.
解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以b
a＝－1，∴a＝－1，b＝1，
故b－a＝2.
答案：2
7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，
所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
答案：2
8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．
解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋
b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11. ∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．
答案：8
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．
只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解析：(1)因为－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数
a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，
所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.
[B组能力提升]
1．有以下说法：
①0与{0}是同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4＜x＜5}是有限集．
其中正确说法是()
A．①④B．②
C．②③D．以上说法都不对
解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．
答案：B
2．已知集合P＝{x|x＝a
|a|＋
|b|
b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()
A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P
解析：(1)a>0，b>0时，x＝a
|a|＋
b
|b|＝1＋1＝2；
(2)a<0，b<0时，x＝a
|a|＋
b
|b|＝－1－1＝－2；
(3)a，b异号时，x＝0. 答案：A
3．已知集合M＝{a|a∈N，且
6
5－a
∈N}，则M＝________.
解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.
答案：{4,3,2}
4．当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成
的“孤星集”为________．
解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．
答案：{5}
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；
(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．
解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，
所以a＝－3.
(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，
解得x＝－1
2，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，
即Δ＝22－4a＝0，所以a＝1.
故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．
(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，即a≠0且Δ＝22－4a>0，
所以a≠0且a<1.
故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：
①1∉S；②若a∈S，则
1
1－a
∈S.
请解答下列问题：
(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；
(2)求证：若a ∈S ，且a ≠0，则1－1a ∈S .
解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴1
1－2＝－1∈S .∵－1∈S ，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S . 又∵12∈S ，12≠1，∴11－12
＝2∈S .∴集合S 中另外两个数为－1和12.
(2)由a ∈S ，则1
1－a ∈S ，可得11－11－a ∈S ，即11－11－a ＝1－a
1－a －1＝1－1a ∈S .∴若a ∈S ，且a ≠0，则1－1a ∈S .
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )
A ．{1}
B ．{1,2}
C ．{0,1,2,3}
D ．{－1,0,1,2,3}
解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1, 2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．
答案：C
2．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝( )
A ．∅
B ．{x |x <－12}
C ．{x |x >53}
D ．{x |－12<x <53}
解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝{x |x >－12}，T ＝{x |3x －5<0}＝{x |x <53}，则S ∩T ＝{x |－12＜
x ＜53}．
答案：D
3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R}，则集合A ∩B 的元素个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，
x －y ＝0，
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0.∴A ∩B ＝{(0,0)}．
答案：B
4．设集合M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}，则M ∪N 中元素的个数为( )
A ．11
B ．10
C ．16
D ．15 解析：先用列举法分别把集合M ，N 中的元素列举出来，再根据并集的定义写出
M ∪N .∵M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M ∪N ＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M ∪N 中元素的个数为16.
答案：C
5．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( )
A ．－3≤m ≤4
B ．－3＜m ＜4
C ．2＜m ＜4
D ．2＜m ≤4 解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋1≥－2，
2m －1≤
m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4. 答案：D
6．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 解析：由M ＝{0,1,2}，知N ＝{0,2,4}，
M ∩N ＝{0,2}．
答案：{0,2}
7．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________.
解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}．
∴5＝2a ＋3.∴a ＝1.
∴5＝6＋b .∴b ＝－1.
答案：1 －1
8．若集合A ＝{1,3，x }，集合B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 值的个数为________．
解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2∈A .
令x2＝3，得x＝±3，符合要求．
令x2＝x，得x＝0或x＝1.
当x＝1时，不满足集合中元素的互异性．
∴x＝±3或x＝0.
答案：3
9．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.
解析：如图所示：
A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．
A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．
10．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
解析：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3, 2}，∵B⊆A，且B中元素至多一个，
∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅.
(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝1 3；
(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－1 2；
(3)当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.
∴m＝1
3或m＝－
1
2或m＝0.
[B组能力提升]
1．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,2,4,6,8,10}，B＝{1,4,8}，则A－B＝() A．{4,8} B．{1,2,6,10}
C．{2,6,10} D．{1}
解析：由题设信息知A－B＝{2,6,10}．
答案：C
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3 解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．
∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32. ∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3. 故选D.
答案：D
3．已知集合A ＝{x ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜2}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.
解析：A ＝{x ||x ＋2|<3}＝{x |－5＜x ＜1}，
由图形直观性可知m ＝－1，n ＝1.
答案：－1 1
4．已知A ＝{x |－2＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x ≤－a 或x ≥2－a }，A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．
解析：本题给出了两个待定的集合，且已知A ∪B ＝R ，结合数
轴表示可求出参数a 的取值范围．如图所示，因为A ∪B ＝R ，所以应满足⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，2－a ≤a ＋1，解得⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥12，
所以12≤a ≤2. 答案：⎩⎨⎧
a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤a ≤2 5．设方程x 2＋px －12＝0的解集为A ，方程x 2＋qx ＋r ＝0的解集为B ，且A ≠B ，
A ∪
B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求p ，q ，r 的值．
解析：∵A ∩B ＝{－3}，
∴－3∈A ，代入
x 2＋px －12＝0得p ＝－1，
∴A ＝{－3,4}
∵A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，
∴B ＝{－3}
即方程x 2＋qx ＋r ＝0
有两个相等的根x ＝－3，
∴q ＝6，r ＝9.
6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 、m 的值或范围．
解析：x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或2，故A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，
∴B ⊆A ，B 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}．
∵x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]
∴必有1∈B ，因而a －1＝1或a －1＝2，解得a ＝2或a ＝3.
又∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A .故C 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ①若C ＝∅，则方程x 2－mx ＋2＝0(※)的判别式
Δ＝m 2－8<0，得－22<m <22；
②若C ＝{1}，则方程(※)有两个等根为1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝m
1×1＝2不成立；
③若C ＝{2}，同上②也不成立；
④若C ＝{1,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝m ，
1×2＝2.得m ＝3.
综上所述，有a ＝2或a ＝3；m ＝3或－22<m <2 2.
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩N
C．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)
解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}，故选D.
答案：D
2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B ＝{5}，则集合B等于()
A．{1,3} B．{3,5}
C．{1,5} D．{1, 3,5}
解析：如图
所以B＝{1,3,5}．
答案：D
3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()
A．a>3 B．a≥3
C．a≥7 D．a>7
解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又因(∁U A)∩B≠∅，
则a>3.
答案：A
4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，
则M∪N＝()
A．M B．N
C．I D．∅
解析：因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M，则M∪N＝M，选A.
答案：A
5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为()
A．(∁I M)⊇(∁I N)
B．M⊆(∁I N)
C．(∁I M)⊆(∁I N)
D．M⊇(∁I N)
解析：由题图知M⊇N，∴(∁I M)⊆(∁I N)．
答案：C
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.
解析：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．
答案：{x|0≤x＜2或x＝5}
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．
∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，
∴0＋3＝－m，即m＝－3.
答案：－3
8．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.
解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．
可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，
∁U B＝{x|3＜x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．
可知(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}．
9．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．
(1)求a 的值及集合A ，B ；
(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；
(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．
解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，
则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.
(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.
由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12. 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5，12. (3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， {－5}，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5，12. 10．设全集U ＝{a 2－2,2, 1}，A ＝{a,1}，求∁U A .
解析：由补集的定义可知A ⊆U .
若a ＝2；则a 2－2＝2，集合U 中的元素不满足互异性，所以a ≠2.
若a 2－2＝a ，则a ＝2或a ＝－1，
因为a ≠2，所以a ＝－1.
此时，U ＝{－1,2,1}，A ＝{－1,1}，所以∁U A ＝{2}．
[B 组 能力提升]
1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 是非空集合，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．mn
B ．m ＋n
C．n－m D．m－n
解析：画出Venn图，如图．
∵U＝A∪B中有m个元素，
(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．
答案：D
2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()
A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U Z
C．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z
解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[ (X*Y)∩Z]＝∁U[∁
(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．
U
答案：B
3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．
则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}
∴A∪B＝{1,3,5,6,7}
∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．
答案：{2,4,8}
4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________. 解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，
B＝{y|－4≤y≤0}，
∴A∩B＝{0}，
∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}．
答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}
5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
解析：设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜爱篮球运动的学生}，
B ＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn 图如图所示：
设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x ，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x ，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x ，则有(15－x )＋x ＋(10－x )＋8＝30，解得x ＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
15－x ＝15－3＝12.
6．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}， A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a 、b 的值．
解析：因为(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A,4∈A ，但4∉B . 将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合的方程中得
⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.
解得a ＝87，b ＝－127.
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．已知M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则有( )
A ．M ⊆N
B ．N M
C ．N ∈M
D ．M ＝N
解析：由子集的概念可知N
M . 答案：B
2．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝( )
A ．0或 3
B ．0或3
C ．1或 3
D ．0或1或 3 解析：(1)m ＝3，此时A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A .
(2)m ＝m ，即m ＝0或m ＝1.
①m ＝0时，A ＝{0,1,3}，B ＝{0,1}，满足B ⊆A ；
②m ＝1时，A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不满足互异性，舍去．
答案：B
3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－1或0或1
D ．0或1
解析：由题设可知集合A 中只有一个元素，
(1)a ＝0时，原方程等价转化为2x ＝0，即x ＝0，满足题设；
(2)⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠
Δ＝4－4a 2＝0
得a ＝±1. 答案：C
4．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z}，集合B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z}，则A 与B 的
关系为( )
A．A B B．B A
C．A＝B D．以上答案都不对
解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系．
集合A中：x＝k
2＋
1
4＝
2k＋1
4；
集合B中：x＝k
4＋
1
2＝
k＋2
4；
而{2k＋1}表示奇数集，{k＋2}表示整数集，
∴A B.
答案：A
5．满足{x|x2＋1＝0}A⊆{x|x2－1＝0}的集合A的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A是集合{－1,1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3.故选C.
答案：C
6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是________．
解析：M中的元素满足{x＋y＜xy＞0，即{x＜y＜0，∴M＝P.
答案：M＝P
7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.
答案：a≤－2
8．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．
解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A 中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．
答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}
9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．
解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得{m≥m＋1≥－2，m－1≤5
解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.
[B组能力提升]
1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是() A．A B B．B A
C．A＝B D．不确定
解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k ＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N. 答案：C
2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B 的子集个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．
答案：D
3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.
答案：N M
4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．
解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；
当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；
当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；
∴A*B＝{2,3,4,5}．
故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.
答案：516
5．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a的取值集合．
解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．
若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，解得a >4或a <－4.
若B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得a ＝4. 若B ＝{4}，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0， 此时a 无解；
若B ＝{－2,4}，则⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＝4－2，
a 2－12＝－2×4.
所以a ＝－2.
综上知，所求实数a 的集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}． 6．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，
(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．
∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m －6>2m －1，即m <－5，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
m －6≤2m －1
，－2≤m －6，2m －1≤5，
解得－5≤m ≤3.
由①②可得，m <－5或－5≤m ≤3. (2)若A ⊆B ，则依题意应有 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m >－5，m ≤4，
m ≥3，
故3≤m ≤4.
(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨
⎪⎧
m －6＝－2，
2m －1＝5，此方程组无解，即不存在m 的值使得A ＝
B .
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有()
A．0个B．1个
C．0或1个D．无数个
解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点
(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．答案：C
2．已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝(x)2；②f(x)＝x，g(x)＝3
x3；③f(n)＝2n－1，
g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一函数的为()
A．没有B．仅有②
C．②④D．②③④
解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C.
答案：C
3．y＝x2(－1≤x≤2)的值域是()
A．[1,4] B．[0,1]
C．[0,4] D．[0,2]
解析：由图可知f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．
答案：C
4．函数y＝
2－x
x－1
的定义域为()
A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(1,2]
解析：要使函数y＝
2－x
x－1
有意义，则{2－x≥0，x－1≠0，解得x≤2且x≠1，
所以所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．
答案：D
5．图中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象的是()
解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1]，B中函数定义域不是[0,1]，故可排除A，B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.故选C.
答案：C
6．下列说法正确的有________．(只填序号)
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；
④对于任何一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同；⑤f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，这是一个常量．
解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y 是x 的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f (x )＝1，x ＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x 不同时，函数值y 的值可能相同，如函数y ＝x 2，当x ＝1和－1时，y 都为1.⑤是正确的．f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值是一个常量．故填①③⑤. 答案：①③⑤
7．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，若f (x )的定义域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：由已知得2x 2－mx ＋3≥0对x ∈R 恒成立，即Δ＝m 2－24≤0，∴－26≤m ≤2 6.
答案：[－26，26]
8．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围为________．
解析：由区间的定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧
2a －1<a ＋a ＋3<4a ⇒1<a <2.
答案：(1,2)
9．若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域．
解析：由f (x )的定义域为[－3,5]，得φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨
⎪⎧
－3≤－x ≤5，－3≤x ≤5
即⎩⎪⎨⎪⎧
－5≤x ≤3，－3≤x ≤5
解得－3≤x ≤3.
所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 10．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝
5x ＋4
x －1
； (4)f (x )＝x －x ＋1.
解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}． (2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝
5x ＋4x －1
＝5＋
9x －1
，所以函数的值域为{y |y ≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝
x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122－5
4.又t ≥0，故f (t )≥
－5
4.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y |y ≥－54. [B 组 能力提升]
1．函数y ＝5＋4x －x 2的值域为( ) A ．(－∞，3) B ．[3，＋∞) C ．[0,9]
D ．[0,3]
解析：由函数性质可得5＋4x －x 2≥0的值域开方即是．结合函数图象(图略)可得y ∈[0,3]，故选D. 答案：D
2．已知f (x )的定义域是[0，＋∞)，则函数(x －2)0＋f (x －1)的定义域是( )
A ．[0,2)∪(2，＋∞)
B ．[1,2)∪(2，＋∞)
C ．[－1,2)∪(2，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：{
x －2≠x －1≥0得1≤x 且x ≠2.
答案：B
3．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：
则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：g (1)＝3，f (g (1))＝f (3)＝1； f (g (1))＝1，f (g (2))＝3， f (g (3))＝1，g (f (1))＝3， g (f (2))＝1，g (f (3))＝3，
∴满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 值为x ＝2. 答案：1 2
4．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )－(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．
解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－1，x ∈[－2，
x 2－2，x ∈(1，2].
当x ∈[－2,1]时，f (x )＝－1； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,2]． ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－1,2]．
答案：[－1,2]
5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，
∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h
2＝h
2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0＜h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0＜h＜1. 8)求得．
由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0＜A＜6.84.
故值域为{A|0＜A＜6.84}．
(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．
6．对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }． (1)求证：A ⊆B ；
(2)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，若A ＝{－1,3}，求集合B . 解析：(1)若A ＝∅，则A ⊆B 显然成立． 若A ≠∅，设t ∈A ， 则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ， 从而A ⊆B ，故A ⊆B 成立． (2)∵A ＝{－1,3}， ∴f (－1)＝－1，且f (3)＝3.
即
⎩⎪⎨
⎪⎧
(－1)2－a ＋b ＝－
32＋3a ＋b ＝3
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝
3a ＋b ＝－6
，
∴
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－
b ＝－3
，∴f (x )＝x 2－x －3.
∵B ＝{x |f (f (x ))＝x }，
∴(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ， ∴(x 2－x －3)2－x 2＝0， 即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0， ∴(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0，
∴x＝±3或x＝－1或x＝3. ∴B＝{－3，－1，3，3}．
[课时作业]单[A组基础巩固]
1．函数y＝ax2＋a与y＝a
x(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()
解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限；综合来看，只有选项D满足条件．
答案：D
2．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝()
A．6 B．2
C．7 D．9
解析：f(2)＝f(3－1)＝32－2＝9－2＝7.
答案：C
3．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为()
A．f(x)＝－3
x B．f(x)＝
3
x
C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x
解析：设f(x)＝k
x(k≠0)，
∵f(－3)＝
k
－3
＝－1，∴k＝3，
∴f(x)＝3 x.
答案：B
4．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(2)＝()
A ．－163
B ．－203 C.163
D.203
解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，① 所以2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2，② ①×2－②得f (x )＝3x ＋2
3. 所以f (2)＝3×2＋23＝20
3.
答案：D
5．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1
x 2，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝x ＋1
x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0) C ．f (x )＝x 2(x ≠0) D ．f (x )＝(x －1
x )2(x ≠0)
解析： f (x －1x )＝x 2
＋1x 2＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)． 答案：B
6．已知函数f (x )对任意实数a ，b 都满足：f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝3，则f (3)＝________.
解析：∵f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝3， ∴f (1)＝3
2，
∴f (3)＝3f (1)＝3×32＝92或f (3)＝f (2)＋f (1)＝9
2. 答案：92
7．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.
解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋1
2＝4， 则a ＝73. 答案：73
8．已知f (x )＝x ＋2，则f (x )＝________. 解析：令x ＝t ，则x ＝t 2且t ≥0. ∴f (t )＝t 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2 (x ≥0) 答案：f (x )＝x 2＋2 (x ≥0)
9．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )的解析式． 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
∴f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，a
b ＋b ＝3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－3.
∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.
10．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．
解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝2
，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋5
2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝2，a ＝3，
b ＝－5.
所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.
[B 组 能力提升]
1．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为(a ，b )⊗(c ，d )＝ (ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2)
D ．(0，－4)
解析：由题设可知： ⎩⎪⎨⎪⎧
p －2q ＝2p ＋q ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝1，
q ＝－2，
∴(1,2)⊕(p ，q )＝(1＋p,2＋q )＝(2,0)． 答案：B
2．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝1
3x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝6x ＋9 D ．f (x )＝2x ＋3
解析：用3－x 代替原方程中的x 得f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝ (3－x )2＝x 2－6x ＋9，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
f (x )＋2f (3－x )＝x 2 ①
f (3－x )＋2f (x )＝x 2
－6x ＋9 ②
①－②×2得－3f (x )＝－x 2＋12x －18， ∴f (x )＝1
3x 2－4x ＋6. 答案：B 3．设f (3x )＝
9x ＋5
2，则f (1)＝________.
解析：令3x ＝1，则x ＝1
3.
∴f (1)＝9×13＋52
＝4＝2.
答案：2
4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数， 则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．
解析：f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
b 2＝9，
2b ＝－6，a ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－3，
∴f (ax ＋b )＝f (2x －3)＝4x 2－8x ＋5. ∵Δ＝64－4×4×5＝－16<0， ∴方程f (ax ＋b )＝0的解集为∅. 答案：∅
5．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．
解析：因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．
(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．
(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件： f (x －1)＝f (3－x )且方程f (x )＝2x 有等根． (1)求f (x )的解析式；
(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]．如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．
解析：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)与方程f (x )＝2x 有等根，即方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根， ∴Δ＝(b －2)2＝0，得b ＝2.
由f (x －1)＝f (3－x )，知此函数图象的对称轴方程为x ＝－b
2a ＝1，得a ＝－1， 故f (x )＝－x 2＋2x .
(2)∵f (x )＝－(x －1)2＋1≤1， ∴4n ≤1，即n ≤1
4.
而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1， ∴若满足题设条件的m ，n 存在，则{
f (m )＝4m ，
f (n )＝4n ，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－m 2＋2m ＝4m ，
－n 2＋2n ＝4n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝0或m ＝－2，
n ＝0或n ＝－2，
又m <n ≤1
4，
∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]． 由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0.
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x ，x >0，
x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：因为f (1)＝2，所以由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2，所以a 肯定小于0， 则f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A. 答案：A
2．给出如图所示的对应：
其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应． 答案：A
3．函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x ，0≤x ≤1，
2，1<x <2，
3，x ≥2
的值域是( )
A ．R
B ．[0,2]∪{3}
C ．[0，＋∞)
D ．[0,3]
解析：f (x )图象大致如下：
由图可知值域为[0,2]∪{3}． 答案：B
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x ，x ≥0，
x 2，x <0，则f (f (－2))的值是( )
A ． 4
B ．－4
C ．8
D ．－8
解析：∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f (f (－2))＝f (4)； 又∵4≥0，∴f (4)＝2×4＝8. 答案：C
5．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )
①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1
x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2， x ∈M ，y ∈N ；
③M ＝N ＝R ，f ：x →y 1
|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，
x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④
D ．②④
解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D. 答案：D
6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x 2－4，x ＞0，
π，x ＝0，
0，x ＜0，
则f (f (0))＝________.
解析：∵f (0)＝π，∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.
答案：3π2－4
7．已知f (x )＝⎩⎨⎧
2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－43的值等于________．
解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43＝2×43＝83；
－43≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；
－13≤0，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23；
23>0，∴f
⎝ ⎛⎭⎪⎫
23＝2×23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 答案：4
8．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中的元素(－1,2)的象是________，B 中的元素(－1,2)的原象是________． 解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)．
设(－1,2)的原象为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，
y ＝32.
答案：(－3,1) (12，32)
9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象，并求出相应的函数值域． 解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|，
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋2 (x ≤－3)，8 (－3<x <5)，2x －2 (x ≥5).
所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如图所示：
由此可知，y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8，＋∞)． 10．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )， 求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象． 解析：(1)∵x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12. ∴(3,4)的象为(7,12)．
(2)设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，xy ＝－6，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝－2.
故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．
[B 组 能力提升]
1．若已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋2，x ≤－1，
x 2
，－1＜x ＜2，
2x ，x ≥2，且f (x )＝3，则x 的值是( )
A ．1
B ．1或3
2 C ．±3
D. 3
解析：由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，舍去．
由x 2＝3，得x ＝±3，－1＜3＜2，－3＜－1，－3舍去． 由2x ＝3，得x ＝3
2<2，舍去． 所以x 的值为 3. 答案：D
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋2，x ≤0
－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥2x 的解集是( )
A ．(－∞，2
3]
B ．(－∞，0]
C ．(0，2
3]
D ．(－∞，2)
解析：(1)当x >0时，f (x )＝－x ＋2≥2x ，得3x ≤2，即0<x ≤2
3； (2)当x ≤0时，f (x )＝x ＋2≥2x ，得x ≤2，又x ≤0，∴x ≤0； 综上所述，x ≤2
3. 答案：A
3．已知集合A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z}，C ＝R ，且从A 到B 的映射是 f ：x →y ＝2x －1，从B 到C 的映射是f ：x →y ＝1
3x ＋1
，则从A 到C 的映射是________． 解析：根据题意，f ：A →B ，x →y ＝2x －1 f ：B →C ，y →z ＝
13y ＋1
.
所以，从A 到C 的映射是f ：x →z ＝
13(2x －1)＋1＝16x －2
，
即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝
1
6x －2
.
答案：f ：x →y ＝
16x －2
4．已知f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋2(x ≤－2)，x 2
(－2＜x ＜2)，
2x (x ≥2)，
若f (a )＝8，则a ＝________.
解析：当a ≤－2时，由a ＋2＝8，得a ＝6.不合题意． 当a ≥2时，由2a ＝8，得a ＝4，符合题意． 当－2＜a ＜2时，a 2＝8，a ＝±22，不合题意． 答案：4
5．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围． 解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0
如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |
＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎨⎧
a >1
4a －1
4<1
，解得1<a <5
4.
6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝4 5°，作直线 MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．
解析：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝3
2a ，∠A ＝∠D ＝45°. (1)当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ， 由于AM ＝x ，∠A ＝45°，∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．
(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，AH ＝a 2，BN ＝x －a
2，
∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·
a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤3
2a )． (3)当M 位于点G 的右侧时， 由于AM ＝x ，DM ＝MN ＝2a －x ，
∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 2
4－12
(4a 2－4ax ＋x 2
)＝
－12x 2＋2ax －5a 24(3
2a ＜x ≤2a )．
综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
12x 2(0≤x ≤a 2)，
12ax －a 28(a 2＜x ≤3
2a )，
－12x 2
＋2ax －5a 2
4(32a ＜x ≤2a ).
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( ) A ．必是增函数 B ．必是减函数
C ．是增函数或是减函数
D ．无法确定单调性 答案：D
2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－∞，－3] C ．(－∞，5]
D ．[3，＋∞)
解析：二次函数开口向上，对称轴为x ＝－2(a －1)
2＝1－a ，要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B
3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增
D ．先增后减
解析：y ＝|x ＋2|的图象是由y ＝|x |图象向左平移2个单位
得来，由图可知y ＝|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增． 答案：C
4．函数f (x )＝x －1
x 在(0，＋∞)上( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增再减
D ．先减再增
解析：∵y ＝x 在(0，＋∞)上递增，y ＝－1
x 在(0，＋∞)上也递增， ∴f (x )＝x －1
x 在(0，＋∞)上递增． 答案：A
5．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0”的是( )
A ．f (x )＝2x
B ．f (x )＝－3x ＋1
C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3
D ．f (x )＝x 2－4x ＋3
解析：∵x 1，x 2∈(0，＋∞)时， f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0恒成立，
∴f (x )在(0，＋∞)是增函数． 答案：C
6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.
解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m
4＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－3
7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析：y ＝－(x －3)|x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，32
8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a
x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．
解析：由f (x )在[1,2]上单调递减可得a ≤1；由g (x )在[1,2]上单调递减可得a ＞0 ∴a ∈(0,1]． 答案：(0,1]
9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)， 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5. (1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.
解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.
(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2≥2，m －2>0
解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．
10．求函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调区间．
解析：先作出y ＝x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x
轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象，由图象可知f (x )的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．
[B 组 能力提升]
1．已知f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f (－2)，f (2)，f (3)的大小关系为( )
A ．f (－2)<f (2)<f (3)
B ．f (－2)>f (2)>f (3)。