『精选』2020年陕西省宝鸡市扶风县九年级上学期数学期中试卷及解析

2018学年陕西省宝鸡市扶风县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（）
A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=1
2．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分对角
3．（3分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（）A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
4．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
5．（3分）已知=，则的值是（）
A．B．C．D．
6．（3分）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（）
A．6个 B．10个C．15个D．30个
7．（3分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
8．（3分）下列命题中，不正确的是（）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
9．（3分）9月初，某蔬菜价格为10元/千克，由于部分菜农盲目扩大种植，至11月中旬，价格连续两次大幅下跌，现在价格为3元/千克．若设平均每次下跌的百分率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．10（1+x）2=3 B．10（1﹣x）2=3 C．10（1﹣2x）=3 D．10（1﹣x）2=10﹣3
10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）
A．2 B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程（3x﹣5）（x﹣2）=1化成一般形式为．
12．（3分）如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：（写出一个即可）．
13．（3分）江老师建立的一个家长QQ群里有若干个成员，元旦期间，每个成员都分别给群里的其他成员发送一条祝福消息，这样共有2450条消息，则这个QQ群里有个成员．14．（3分）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB=，AC=，S矩形ABCD=．
三、解答题（本大题共8小题，共55分）
16．（8分）解下列方程．
（1）2x2+3x﹣1=0
（2）（x+3）2=5（x+3）
17．（5分）用圆规、直尺作图．（不写作法，但要保留作图痕迹．）
已知线段a，
求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a．
18．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线分别交AD于E，BC于F．
求证：四边形AFCE是菱形．
19．（7分）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
20．（7分）西安地铁三号线的开通运行给西安市民的出行方式带来了一些变化，小王和小林准备利用课余时间，以问卷的方式对西安市民的出行方式进行调查，如图是西安地铁三号线图（部分），小王和小林分别从延兴门站（用A表示）、青龙寺站（用B表示）、建工路站（用C 表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．
（1）在这三站中，小王选取问卷调查的站点是北池头站的概率是多少？（请直接写出结果）（2）请你用列表法或画树状图法，求小王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调查的站点相邻的概率．
21．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
22．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C．
求证：△ABF∽△EAD．
23．（10分）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，
∵△=49﹣48＞0，∴x1=，x2=，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
2018学年陕西省宝鸡市扶风县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（）
A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=1
【解答】解：方程x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x=0或x=1．
故选：D．
2．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分对角
【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；
B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；
C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；
D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；
故选：C．
3．（3分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（）A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，
配方得（x﹣1）2=4．
故选：A．
4．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【解答】解：分类讨论：
①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
∴a的取值范围为a≥1．
故选：A．
5．（3分）已知=，则的值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由=，得
b=a．
==，
故选：C．
6．（3分）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（）
A．6个 B．10个C．15个D．30个
【解答】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为=0.6，
设盒子中共有白球x个，则=0.6，
解得：x=15．
故选：C．
7．（3分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
（）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
【解答】解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
8．（3分）下列命题中，不正确的是（）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【解答】解：A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确；
B、根据正方形的判定，知正确；
C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误；
D、根据等边三角形的判定，知正确．
故选：C．
9．（3分）9月初，某蔬菜价格为10元/千克，由于部分菜农盲目扩大种植，至11月中旬，价格连续两次大幅下跌，现在价格为3元/千克．若设平均每次下跌的百分率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．10（1+x）2=3 B．10（1﹣x）2=3 C．10（1﹣2x）=3 D．10（1﹣x）2=10﹣3
【解答】解设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得10（1﹣x）2=3．
故选：B．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）
A．2 B．C．D．
【解答】解：如图，菱形ABCD中，∵AB=2，∠A=120°，
∴AD=2，∠ADC=60°，
过A作AE⊥CD于E，
则AE=P′Q，
∵AE=AD•cos60°=2×=，
∴点P′到CD的距离为，
∴PK+QK的最小值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程（3x﹣5）（x﹣2）=1化成一般形式为3x2﹣11x+9=0．
【解答】解：方程（3x﹣5）（x﹣2）=1化成一般形式为3x2﹣11x+9=0，
故答案为：3x2﹣11x+9=0．
12．（3分）如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：∠ACP=∠B（或=）（写出一个即可）．
【解答】解：∵∠PAC=∠CAB，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；
当=时，△ACP∽△ABC．
故答案为∠ACP=∠B（或=）．
13．（3分）江老师建立的一个家长QQ群里有若干个成员，元旦期间，每个成员都分别给群里的其他成员发送一条祝福消息，这样共有2450条消息，则这个QQ群里有50个成员．【解答】解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）=2450，
整理，得x2﹣x﹣2450=0，（x﹣50）（x+49）=0，
解得：x1=50，x2=﹣49（舍去）．
答：QQ群里共有50个好友．
故答案为：50．
14．（3分）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性
大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是．
【解答】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，
∴P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）=．
故答案为：．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB=60°，
AC=4cm，S矩形ABCD=4cm2．
【解答】解：∵BE=OE=1cm，
∴OB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，BO=DO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥BD，BE=OE，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴AC=2AO=4cm，
由勾股定理得：BC==2（cm），
=BC×AB=2cm×2cm=4cm2
∴S
矩形ABCD
故答案为：60°，4cm，4cm2．
三、解答题（本大题共8小题，共55分）
16．（8分）解下列方程．
（1）2x2+3x﹣1=0
（2）（x+3）2=5（x+3）
【解答】解：（1）a=2，b=3，c=﹣1，△=b2﹣4ac=9﹣4×2×（﹣1）=17，
x==，
x1=，x2=；
（2）移项，得
（x+3）2﹣5（x+3）=0，
因式分解，得
（x+3）（x﹣2）=0，
于是，得
x+3=0或x﹣2=0，
解得x1=﹣3，x2=2．
17．（5分）用圆规、直尺作图．（不写作法，但要保留作图痕迹．）
已知线段a，
求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a．
【解答】解：如图，四方形ABCD为所作．
18．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线分别交AD于E，BC于F．
求证：四边形AFCE是菱形．
【解答】证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
19．（7分）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【解答】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得
10×（1+x）2=12.1，
解得：x1=10%，x2=﹣210%．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）4月：12.1×1.1=13.31（万件）
21×0.6=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
∵22＜＜23，
∴至少还需增加2名业务员．
20．（7分）西安地铁三号线的开通运行给西安市民的出行方式带来了一些变化，小王和小林准备利用课余时间，以问卷的方式对西安市民的出行方式进行调查，如图是西安地铁三号线图（部分），小王和小林分别从延兴门站（用A表示）、青龙寺站（用B表示）、建工路站（用C 表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．
（1）在这三站中，小王选取问卷调查的站点是北池头站的概率是多少？（请直接写出结果）（2）请你用列表法或画树状图法，求小王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调查的站点相邻的概率．
【解答】解：（1）∵小王和小林分别从延兴门站、青龙寺站、建工路站、这三站中，随机选取一站作为调查的站点，没有北池头站，
∴小王选取问卷调查的站点是北池头站的概率是0；
（2）画树形图得：
∴共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小王与小林在相邻的两站问卷调查的结果有4种（A，B），（B，A），（A，C），（C，A），
∴小王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调查的站点相邻的概率为．
21．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，
∴x1=2，x2=k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
22．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C．
求证：△ABF∽△EAD．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD．
23．（10分）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，
∵△=49﹣48＞0，∴x1=2，x2=，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
【解答】解：（1）由上可知
（x﹣2）（2x﹣3）=0
∴x1=2，x2=；
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
消去y化简，得
2x2﹣3x+2=0
∵△=9﹣16＜0
∴不存在矩形B；
（3）（m+n）2﹣8mn≥0．
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
消去y化简，得
2x2﹣（m+n）x+mn=0
△=（m+n）2﹣8mn≥0
即（m+n）2﹣8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
F
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：
︵
BD ＝
︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。