江苏南京市盐城市2020届高三上学期第一次模拟考试 数学(带答案)

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
2020．01
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．
．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ．
3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 4．命题“ θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．
6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差 是 ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为 3，则点P 到点O 的距离为 ．
8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，
则
2
1
a a 的值为 ． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则
2
1
V V ＝ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜
2
π
)的图象与y 轴交点的纵坐标为32， y 轴右侧第一个
最低点的横坐标为
6
π
，则ω的值为 ． 第5题
11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42
=+u u u r u u u r u u u r
，则 cos ∠BAC 的值
为 ．
12．若无穷数列{}cos()n ω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为 ．
13．已知集合P ＝{}()16x y x x y y +=，，集合Q ＝{}
12()x y kx b y kx b +≤≤+，，若P ⊆Q ，则
1221
b b k -+的最小值为 ．
14．若对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2121
x
e x ax ≤-+成立，则实数a 的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6
π
+
=．
（1）若cosC ＝
6
3
，AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝4
5
，求sinA ．
16．（本题满分14分）
如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1
PC PC
的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．
（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；
（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）
18．（本题满分16分）
设椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C
上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11
AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r
，求λμ+的最小值．
定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．
（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11
22
n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；
（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得40394040
20192019
m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分）
若函数()x
x
f x e ae
mx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．
（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02
()f x e
≥-恒成立，求实数m 的取值范围．
附加题，共40分
21．【选做题】本题包括A ，B ， C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦
变换后得到圆C ′：22
13x y +=，求实数a 的值．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．
C ．选修4—5：不等式选讲
已知正实数 a ，b ，c 满足123
1a b c
++=，求23a b c ++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．
（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为
3
π
，求母线AA 1的长．
23．（本小题满分10分）
设
22201221
(12)
n
i
n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．
（1）求n S ；
（2）记1
2
3
123(1)n
n
n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立．
数 学 试 题
2020．01
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．
．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集
解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数
解析：∵2z i =+，∴2
(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．
3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：
2
3
考点：等可能事件的概率
解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为
23
． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定
解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题．
5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ． 答案：6
考点：算法（伪代码）
解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I
＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2
考点：平均数，方差
解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，
所以方差为22222
210(1)(2)5
+++-+-＝2．
7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ． 答案：23考点：抛物线及其性质
解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，
带入抛物线方程可得P(2，22±)，所以OP ＝3
8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则2
1
a a 的值为 ． 答案：3
考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，
∴2
152a a a =，故2
111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，
∴
211
111
33a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则
2
1
V V ＝ ． 答案：
23
解析：111112112
3
C ABB A C A B C V V V V V ==-=
——，所以2123V V =．
10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜
2
π
)的图象与y 3 y 轴右侧第一个
最低点的横坐标为6
π
，则ω的值为 ． 答案：7
考点：三角函数的图像与性质
解析：∵()f x 的图象与y 轴交点的纵坐标为
32
， ∴3sin 2ϕ=
，又0＜ϕ＜2π，∴3
πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为
6
π
， ∴
3
6
32
π
π
ωπ+
=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42
=+u u u r u u u r u u u r
，则 cos ∠BAC 的值
为 ． 答案：
3
3
考点：平面向量
解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，
∵11AH AB AC 42
=+u u u r u u u r u u u r
，
∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242
=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
31BH AC (AB AC)AC 042
⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r ，
即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042
-⋅+=u u u
r u u u r u u u r ，
化简得：
22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231
cos BAC+042
bc b -∠= 则2222cos BAC 3b c b
bc c
-∠==，得32b =，从而3cos BAC 3∠=． 12．若无穷数列{}cos()n ω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为 ． 答案：10 考点：等差数列
解析：若等差数列公差为d ，则cos()cos (1)n d n ωω=+-，
若d ＞0，则当1cos 1n d ω
->
+时，cos()1n ω>， 若d ＜0，则当1cos 1n d
ω
-->
+时，cos()1n ω<-， ∴d ＝0，可得cos2cos ωω=，解得cos 1ω=或1
cos 2
ω=-（舍去）， ∴其前10项的和为10．
13．已知集合P ＝{}()16x y x x y y +=，，集合Q ＝{}
12()x y kx b y kx b +≤≤+，，若P ⊆Q ，1221
b b k -+的最小值为 ． 答案：4
考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题
解析：画出集合P 的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，
第四象式为两限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x =-，所以k ＝−1，所求直线之间的距离的最小值，所以10b =， 2y kx b =+与圆相切时最小，此时
两直线间距离为圆半径 4，所以最小值为 4．
14．若对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2121
x
e x ax ≤-+成立，则实数a 的值为 ．
答案：12
-
考点：函数与不等式，绝对值函数
解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有221
1x
x ax e
-+≥成立， 令221
()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()x
x x a f x e
--+'=， 当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与
()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e
-≥，解得12e
a ≤-与
211a +≥矛盾．
当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时
min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若
(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 21
22
()(21)a a f x f a e
++=+=
1≥． 接下来令211a t +=<，不等式
21
22
1a a e
++≥可转化为10t e t --≤， 设()1t
g t e t =--，则()1t
g t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，
()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，
∴12
a =-
． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6
π
+
=．
（1）若cosC ＝
6
3
，AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝4
5
，求sinA ． 解：
16．（本题满分14分）
如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1
PC PC
的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．
证明：
17．（本题满分14分）
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，剪裁出一个矩形
ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A，B在⊙O上，点P，Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P，⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．
（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；
（不取近（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．
似值）
解：
18．（本题满分16分）
设椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C
上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11
AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r
，求λμ+的最小值．
解：
19．（本题满分16分）
定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．
（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11
22
n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；
（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得40394040
20192019
m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：
20．（本题满分16分）
若函数()x
x
f x e ae
mx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．
（1）求实数a 的值；
（2）求实数m的取值范围；
（3）若
02
()
f x
e
≥-恒成立，求实数m的取值范围．解：
附加题，共40分
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦
变换后得到圆C ′：22
13x y +=，求实数a 的值． 解：
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值． 解：
C ．选修4—5：不等式选讲
已知正实数 a ，b ，c 满足123
1a b c
++=，求23a b c ++的最小值． 解：
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．
（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为
3
π
，求母线AA 1的长．
解：
23．（本小题满分10分）
设
22201221
(12)
n
i
n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．
（1）求n S ；
（2）记1
2
3
123(1)n
n
n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。