人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 探究与发现 购房中的数学》优质课教案_4

研究性课题：分期付款中的有关计算的教学实践
高中数学教材编入了“研究性课题：分期付款中的有关计算”，它不仅是为了解决数列的应用问题，更是为了转变传统的教学观念，改进原有的教学模式。

为此，我们也进行了一些大胆尝试。

一、课题研究方法及过程
教师指导学生进行课题研究，采用“四步引导探究法”
第一步：提出探究课题，自由探索。

明确课题探究方向后，教师给学生提出一些需要解决的问题，引导学生大胆设想，鼓励学生运用所学知识去解决实际问题。

第二步：创设探究条件。

学生分组研究调查，师生一起共同查阅相关资料。

第三步：开展集体讨论。

师生交流互动，让学生发表自己不同见解，展示阶段性研究成果。

第四步：总结探究成果。

每组学生撰写探究小文章，并相互交流，让学生体会到探究的欢悦。

1、提出问题、自主探索
[例1]购买一件售价5000元的商品，采用分期付款办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第二次付款，如此下去，共付款5次还清，如按月利率0.8%，每月按复利（上月利息计入下月本金）计算，那么每期应付款多少元?（精确到1元）
师：根据题意，第5个月的欠款数为零，所以本题可通过逐月算欠款来解决。

设每月应付款x元，则购买1个月后的欠款数为多少?
生：5000×1.008－x
师：购买2个月后的欠款数昵?
生：（5000×1.008－x）×1.008－x，即5000×1.00802－1.008x－x
师：以此类推，购买5个月后的欠款数又是多少呢?
生：5000×1.0085－1.0084 x－1.0083 x－1.0082 x－1.008 x－x
师：到此，所需方程能列出吗?方程是什么?
生：能列出，方程是：x＋1.008 x＋1.0082 x＋1.0083 x＋1.0084 x =5000×1.0085师：观察该方程为何特点?你能解吗?
生：上述等式是一个关于x 的一次方程，且等号左边是一个首项为x ，公比为1.008的等比数列前5项和，于是：
551.00815000 1.0081.0081
x -⋅=⨯- 即555000 1.008(1.0081)10241.0081
x ⨯-=≈-元 师：这就是说，每月应付款1024元。

这里，我们是先写出开始2个月的欠款数，接着就能找到某些规律，从而写出了第5个月的欠款数。

下商大家分三组讨论一下，这个等式说明了一个怎样的事实?
生：
这个等式说明了：分期付款中，各期所付款及各期所付款到最后一次付款时所生利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。

师：这实际上就是分期付款中的一个规定，从上面的过程可以看出这个规定是合理的，于是，我们以后就可直接按照这个规定来布列方程。

例如。

例l 我们可以这样来解：
设每月就应付款x 元，则到最后一次付款时付款金额的本息和为：
（x ＋1.008 x ＋1.0082 x ＋1.0083 x ＋1.0084 x ）元，再，5000元商品在购买5个月后的本息和为5000×1.0085 x 元。

所以，x ＋1.008 x ＋1.0082 x ＋1.0083 x ＋1.0084 x =5000×1.0085（以下解法同前）
下面，我们将例1作适当变形，就得下面的例2。

[例2]顾客在购买一件售价5000元的商品时，如采取分期付款，在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，供顾客选择。

注：规定月利率0.8％，每月按复利计算。

顾客在上表中选择付款方案时，要知道这几种方案中每期应付多少?总共交付款多少?这样才便于比较。

师：表中的三种方案分别请第一、二、三组同学来探究，并算出每期付款额，付款总额以及付款总额与一次性付款额的差额是多少元?
学生（一会儿就得出结果）：
方案1 每期所付款额
124125000 1.008(1.0081)1775.81.0081
x ⨯-=≈-元
方案2 每期所付款额
122125000 1.008(1.0081)880.81.0081
x ⨯-=≈-元
方案3 每期所付款额
12125000 1.008(1.0081)438.61.0081
x ⨯-=≈-元 帅：有比较才有鉴别，根据表中结果，顾客就可对几种付款方式进行权衡了。

2、继续探索，归纳应用
师：下面我们再对一般性问题进行探究。

购买一件售价为a 元的商品，采用上述分期付款时，要求在m 个月内将款全部付清，月利率为P ，分n （n 是m 的约数）次付款，那么每次付款的计算公式是什么?（由同学们推导得出每次付款额x 的计算公式）
(1)[(1)1](1)1m m n
m a p p x p ++-=+- 3、小结深化
师：上面我们对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中应该明确哪些问题呢?
生：（1）每月利息均按复利计算；
（2）每期所付款额相同：
（3）计算时，商品售价和每期付款额到款全部付清瞳，都应增值；
（4）增值后的付款总额与售价增值相等，这事实上是列方程解题的依据。

师：我们还可将这一数学模型应用到与分期付款相类似的一些实际问题上去，如细胞分裂，木材砍伐、以及人口增长等等。

同学们要善于将数学知识应用到实际当中，同时也要会将现实中的问题抽象成数学问题进行求解。

三、课题延续研究
作为练习，请同学们继续探究下面这几个问题：
探究问题1：以上分期付款问题，利息按单利计算结果会怎样?也能归纳出一般公式吗?与按复利计算进行比较有何差别?
探究问题2：请提出一个你熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决。

探究问题3：日常生活中，自然界中还有哪些问题可用数列知识解决?如退耕还林问题、沙漠治理问题等等。