人教版七年级下册数学5.3 平行线的性质.docx

5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
第1课时平行线的性质
课前预习：
要点感知平行线的性质：
性质1：两直线平行,同位角__________；
性质2：两直线__________,内错角相等；
性质3：两直线平行,__________互补.
预习练习1-1 如图，直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1=70°，那么∠3的度数是__________.
1-2如图,在A，B两地挖一条笔直的水渠,从A地测得水渠的走向是北偏西42°,A，B两地同时开工,B地所挖水渠走向应为南偏东__________.
1-3如图，AB∥CD，∠1=85°，则∠2=__________.
当堂练习：
知识点1 平行线的性质
1.如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为( )
A.140°
B.60°
C.50°
D.40°
2.如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为( )
A.40°
B.35°
C.50°
D.45°
3.如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=度.
4.如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点G，H，∠1=50°，求∠2和∠CHG的度数.
知识点2 平行线性质的应用
5.某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段,其中AB∥CD,∠EAB=45°,则∠FDC的度数是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
6.探照灯、锅盖天线、汽车灯等都利用了抛物线的一个原理：由它的焦点处发出的光线被反射后将会被平行射出.如图，由焦点O处发出的光线OB，OC经反射后沿与POQ平行的方向射出，已知∠ABO=42°，∠DCO=53°，则∠BOC=__________.
7.某次考古发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得∠A=115°，∠D=100°，已知梯形的两底AD∥BC，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由.
课后作业：
8.如图，直线a∥b,AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是( )
A.50°
B.45°
C.35°
D.30°
9.如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=( )
A.60°
B.120°
C.150°
D.180°
10.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°.其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11.如图，∠B＝30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD＝__________.
12.如图，点B 、C 、D 在同一条直线上，CE ∥AB ，∠ACB ＝90°，如果∠ECD ＝36°，那么∠A ＝__________.
13.如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B=80°.求∠C 的度数.
14.如图,已知AB ∥CD,∠B=40°,CN 是∠BCE 的平分线,CM ⊥CN,求∠BCM 的度数.
15.如图：已知AB ∥DE ∥CF ，若∠ABC=70°，∠CDE=130°，求∠BCD 的度数.
挑战自我
16.如图，已知直线l 1∥l 2，且l 3和l 1，l 2分别交于A ，B 两点，点P 在AB 上.
(1)试找出∠1，∠2，∠3之间的关系并说出理由；
(2)如果点P在A，B两点之间运动，问∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？
(3)如果点P在A，B两点外侧运动，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系(点P和A，B不重合).
参考答案
课前预习
要点感知相等平行同旁内角
预习练习1-1 70°
1-2 42°
1-3 95°
当堂训练
1.D
2.A
3.110
4.∵AB∥CD，
∴∠DHE=∠1=50°.
∵∠2=∠DHE，
∴∠2=∠1=50°.
∵∠2+∠CHG=180°，
∴∠CHG=180°-∠2=130°.
5.B
6.95°
7.∵AD∥BC，∠A=115°，∠D=100°，
∴∠B=180°-∠A=180°-115°=65°，∠C=180°-∠D=180°-100°=80°.
课后作业
8.D 9.A 10.D 11.60°12.54°
13.∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°-∠B=100°. ∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=1
2
∠BAF=50°.
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°.
14.∵AB∥CD,
∴∠BCE+∠B=180°.
∵∠B=40°,
∴∠BCE=180°-40°=140°.
∵CN是∠BCE的平分线,
∴∠BCN=1
2
∠BCE=
1
2
×140°=70°.
∵CM⊥CN,
∴∠BCM＝90°-70°=20°.
15.∵AB∥CF，∠ABC=70°，
∴∠BCF=∠ABC=70°.
又∵DE∥CF，∠CDE=130°，
∴∠DCF+∠CDE=180°.
∴∠DCF=50°.
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70°-50°=20°.
16.(1)∠1+∠2=∠3.
理由：过点P作l
1
的平行线PQ.
∵l
1∥l
2
，
∴l
1∥l
2
∥PQ.
∴∠1=∠4，∠2=∠5.
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3.
(2)∠1+∠2=∠3不变.
(3)∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3.
理由：①当点P在下侧时，如图，过点P作l
1
的平行线PQ.
∵l
1∥l
2
，
∴l
1∥l
2
∥PQ.
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4.
∴∠1-∠2=∠3.
②当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3.
第2课时 平行线的性质与判定的综合运用
课前预习：
预习练习1-1 如图所示,把下面的推理补充完整：
①∵∠1+∠α=180°,∴__________(____________________). ②∵∠1=∠γ,∴__________(____________________). ③∵∠β=∠γ,∴__________(____________________). ④∵l 1∥l 2,l 3∥l 2,∴__________(____________________).
1-2如图，直线a ，b 与直线c ，d 相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是( ) A.35° B.70° C.90° D.110°
当堂练习：
知识点1 平行线的性质与判定的综合运用
1.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OT ⊥AB 于点O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO=30°，则∠DOT=( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
2.如图，已知a ∥b ，小华把三角板的直角顶点放在直线b 上.若∠1=40°，则∠2的度数为( )
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
3.如图，∠1=∠2，∠A=75°，则∠ADC=__________.
4.如图所示,请根据图形填空：
∵AB∥CD(已知),∴∠AEF=∠CFN(____________________).
∵EG平分∠AEF,FH平分∠CFN(已知),
∴∠1=1
2
∠CFN,∠2=
1
2
∠AEF(____________________).
∴∠1=∠2(____________________).
∴EG∥FH(____________________).
5.如图，已知∠1=55°，∠2=60°，∠3=55°，求∠4的度数.
知识点2 平行线的性质与判定的实际应用
6.一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向平行行驶，那么这两个拐弯的角度可能是( )
A.先向左转130°，再向左转50°
B.先向左转50°，再向右转50°
C.先向左转50°，再向右转40°
D.先向左转50°，再向左转40°
7.一大门的栏杆如图所示,BA垂直于地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠
BCD=__________.
8.如图，一只船从点A出发沿北偏东60°方向航行到点B，再以南偏西25°方向返回，则∠ABC=__________.
9.我们由光的镜面反射可知,当光线射到平面镜上反射后,就有反射角等于入射角,如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,当一束平行光线AB与DE射向水平镜面后被反射,反射后的光线BC与EF平行吗?为什么?
课后作业：
10.如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
11.如图，∠1+∠2=180°,∠3=100°，则∠4等于( )
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
12.如图，∠1=∠2，∠3=40°.则∠4等于( )
A.120°
B.130°
C.140°
D.40°
13.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于( )
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
14.如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，∠EAB的度数为( )
A.57°
B.60°
C.63°
D.123°
15.如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4=__________.
16.如图，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数.
17.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问：AD平分∠BAC吗？若平分,请说明理由.
18.如图,E为DF上的点,B为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D,试说明AC∥DF,并在每步后面批注依据.
挑战自我
19.探究题：
(1)如图1,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗？
(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系？
(3)若将点E移至图2的位置,此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？
(4)若将点E移至图3的位置,此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？
(5)在图4中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？
参考答案
课前预习
预习练习1-1①l
1∥l
2
同旁内角互补,两直线平行
②l
3∥l
2
同位角相等,两直线平行
③l
3∥l
2
内错角相等,两直线平行
④l
1∥l
3
平行于同一条直线的两条直线平行
1-2 D
当堂训练
1.C
2.D
3.105°
4.两直线平行,同位角相等角平分线定义等量代换同位角相等,两直线平行
5.∵∠1＝∠3，
∴AB∥CD.
∴∠AOG=∠4.
∵∠2＝60°，
∴∠AOG＝180°-∠2＝120°.
∴∠4＝120°.
6.B
7.270°
8.35°
9.BC∥EF.
理由如下：
∵AB∥DE,
∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2=∠4.
∴BC∥EF(同位角相等，两直线平行).
课后作业
10.B 11.D 12.C 13.C 14.A 15.63°30′
16.∵∠1=72°，∠2=72°，
∴∠1=∠2.
∴a∥b.
∴∠3+∠4=180°.
∵∠3=60°，
∴∠4=120°.
17.AD平分∠BAC.
理由：∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴∠ADC=∠EGC=90°.
∴AD∥EG.
∴∠3=∠2,∠E=∠1.
∵∠3=∠E,
∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC.
18.∵∠1=∠2(已知)，∠4=∠2(对顶角相等),
∴∠4=∠1(等量代换).
∴DB∥CE(同位角相等,两直线平行).
∴∠C=∠ABD(两直线平行,同位角相等).
∵∠C=∠D(已知),
∴∠D=∠ABD(等量代换).
∴AC∥DF(内错角相等,两直线平行).
19.(1)理由：过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠BEF.
∵CD∥AB，
∴CD∥EF.
∴∠D=∠DEF.
∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED.
(2)AB∥CD.
(3)∠B+∠D+∠E=360°.
(4)∠B=∠D+∠E.
(5)∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.
5.3.2 命题、定理、证明
课前预习：
要点感知1 __________一件事情的语句叫做命题,命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面接的部分是__________,“那么”后面接的部分是__________.
预习练习1-1下列语句中,是命题的是( )
A.有公共顶点的两个角是对顶角
B.在直线AB上任取一点C
C.用量角器量角的度数
D.直角都相等吗
1-2 将“两点之间，线段最短”写成“如果……那么……”的形式：
______________________________.
要点感知2 题设成立,并且结论一定成立的命题叫做__________；题设成立,不能保证结论__________的命题叫做假命题.
预习练习2-1下列命题中的真命题是( )
A.锐角大于它的余角
B.锐角大于它的补角
C.钝角大于它的补角
D.锐角与钝角之和等于平角
要点感知3 经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做__________.很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能做出判断,这个推理的过程叫做__________.
预习练习3-1如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB.
当堂练习：
知识点1 命题的定义
1.下列语句中，是命题的是( )
①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b,b>c,那么a>c；⑤直角都相等.
A.①④⑤
B.①②④
C.①②⑤
D.②③④⑤
知识点2 命题的结构
2.命题的题设是__________事项，结论是由__________事项推出的事项.
3.把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是
____________________.
4.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并分别指出它们的题设和结论：
(1)两点确定一条直线；
(2)同角的补角相等；
(3)两个锐角互余.
知识点3 命题的真假及证明
5.下列命题中，是真命题的是( )
A.若|x|=2，则x=2
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
D.任何一个角都比它的补角小
6.下列命题中，是假命题的是( )
A.相等的角是对顶角
B.垂线段最短
C.同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D.两点确定一条直线
7.命题“两直线平行,内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是,请给出证明；如果不是,请举出反例.
课后作业：
8.下列说法正确的是( )
A.“作线段CD=AB”是一个命题
B.过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条
C.命题“若x=1，则x2=1”是真命题
D.“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
9.下列命题是假命题的是( )
A.等角的补角相等
B.内错角相等
C.两点之间，线段最短
D.两点确定一条直线
10.下列三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两直线和第三条直线相交，同位角相等；
③过两点有且只有一条直线.其中真命题有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
11.把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是( )
A.如果是同角，那么余角相等
B.如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角
C.如果是同角的余角，那么相等
D.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
12.“直角都相等”的题设是____________________，结论是____________________.
13.对于下列假命题,各举一个反例写在横线上.
(1)“如果ac=bc,那么a=b”是一个假命题.
反例：______________________________；
(2)“如果a2=b2,则a=b”是一个假命题.
反例：______________________________.
14.把“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是
______________________________，该命题是__________命题(填“真”或“假”).
15.如图，已知：AB∥CD，∠B=∠D.求证：BC∥AD.
16.把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假.
(1)等角的补角相等；
(2)不相等的角不是对顶角；
(3)相等的角是内错角.
17.(1)如图，请在AB∥CD，∠A=30°，∠CDA=30°三项中选择两个作为条件，一个作为结论，写一个命题：如果__________且__________，那么__________.
(2)请说明你写的命题是真命题.
18.如图所示,如果已知∠1=∠2,则AB∥CD,这个命题是真命题吗？若不是,请你再添加一个条件,使该命题成为真命题,并说明理由.
挑战自我
19.阅读下列问题后做出相应的解答.
“同位角相等,两直线平行”和“两直线平行,同位角相等”这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调,我们把其中一个命题叫做另一个命题的逆命题.
请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题,并指出逆命题的题设和结论.
参考答案
课前预习
要点感知1判断题设结论
预习练习1-1 A
1-2如果有两点，那么在连接两点的所有线中，线段最短
要点感知2真命题一定成立
预习练习2-1 C
要点感知3定理证明
预习练习3-1 证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝55°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝110°.
又∵∠BCD＝70°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°.
∴CD∥AB.
当堂训练
1.A
2.已知已知
3.如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行
4.(1)如果在平面上有两个点，那么过这两个点确定一条直线.
题设：在平面上有两个点；结论：过这两个点确定一条直线.
(2)如果两个角是同角的补角，那么它们相等.
题设：两个角是同角的补角；结论：这两个角相等.
(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互余.
题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余.
5.B
6.A
7.是真命题,
证明如下：
已知：AB∥CD,BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD.
求证：BE∥CF.
证明：∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD.
∵BE,CF分别是∠ABC,∠BCD的角平分线,
∴∠2=1
2
∠ABC,∠3=
1
2
∠BCD.
∴∠2=∠3.
∴BE∥CF.
课后作业
8.C 9.B 10.C 11.D 12.两个角是直角这两个角相等
13.(1)3×0=(-2)×0
(2)32=(-3)2
14.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等真
15.证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°.
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°.
∴BC∥AD.
16.(1)如果两个角是两个相等的角的补角，那么这两个角相等.是真命题.
(2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.是真命题.
(3)如果两个角相等，那么这两个角是内错角.是假命题.
17.(1)AB∥CD ∠A=30°∠CDA=30°
(2)∵AB∥CD，∠A=30°，
∴∠CDA=∠A=30°.
18.假命题,
添加BE∥DF.
∵BE∥DF,
∴∠EBD=∠FDN.
∵∠1=∠2,
∴∠ABD=∠CDN.
∴AB∥CD.
19.逆命题：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
题设：在角的内部到角两边距离相等的点；
结论：在这个角的平分线上.
初中数学试卷
桑水出品。