数学上学期期中试题-第一中学2014届高三上学期期中考试数学试题及答案(理)24

浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期期中（理）
说明：1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分150分，考试时间120分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．设全集U R =,集合2
{|20},{|1}x
A x x x
B y y e =->==+集合
，则A B =
（ D ）
A.{|12}x x ≤<
B.{|2}x x >
C.{|1}x x >
D.{|12}x x << 2. 已知()x x x f ln =，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 (B )
A.2
e
B. e
C.
ln 2
2
D. ln 2 3.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为( C )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．28
4若2
:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5. 已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角． 若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为( D )
A ． 8-
B ．6-
C ．8
D ．6
6．已知函数2
()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是（C ） (A)函数()f x 在区间[
,]42
ππ
上为增函数 (B) 函数()()y f x g x =+的最小正周期为2π (C) 函数()()y f x g x =+的图象关于直线8
x π=对称
(D) 将函数()f x 的图象向右平移
2
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象 7．设点(1,1)A -，(0,1)B ，若直线1ax by +=与线段AB （包括端点）有公共点，则2
2
b a +的最小值为（ C ） A .
1
4
B .
1
3
C .
1
2
D . 1
8．已知集合{}
(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}
222(,)B x y x y r =+≤，若B A ⊂，则实数r 可以取的一个值是( A )
A.
1
B. C. 2
D. 1+
9．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2
x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为
( C ) A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
10、设非空集合{}
S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2
x S ∈，给出如下三个命题： ①若1,m =则{}1S =；②若1
,2
m =-则114n ≤≤； ③若1,2n =
则02m -≤≤． 其中正确命题的是（ D ）
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11、已知一个奇函数的定义域为{}1,2,,,a b -则a b += -1 12. 已知0ω>，函数()sin()4
f x x π
ω=+
在(
,)2
π
π上单调递减,则ω的取值范围是
13．若如果点P 在不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-022020
22y x y x y x 所确定的平面区域内,O 为坐标原点，那么PO 的最小值为
5
5
14．若,是两个非零向量，且
]
1,33[
|,|||||∈+==λλ，则与-的夹角的
取值范围是____.
15. 设()g x 是定义在R 上以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域
为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为
16.已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点C B ,分别在1l 和2l 上，且23=BC ，则过C B A ,,三点的动圆．．
扫过的区域的面积为 ．18π 17．设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*
n ∈N ，有1111
1122111
n n n n a a a a n n ++++<<+-
+，
则10a = 100 ．
三、解答题：本大题共5个小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明或演算过程。

18.（本题满分14分）命题p ：不等式a x x >-+-|3||1|对一切实数x 都成立；命题q ：已知函数
23)(nx mx x f +=的图像在点)2,1(-处的切线恰好与直线12=+y x 平行，且
)(x f 在]1,[+a a 上单调递减。

若命题p 或q 为真，求实数a 的取值范围。

19．(本题满分14分)
已知函数2
3
()3cos
(0)22
x
f x x ωωω=+
->在一个周期内的图
象如图所示，点A 为图象的最高点，,B C 为图象与x 轴的交点，且三角形ABC 的面积为
．
（I ）求ω的值及函数()f x 的值域；
（II ）若00()(,)123f x x ππ=∈，求0()6
f x π
+的值．
19(I)
()),3
f x x πω=+又|ABC S BC ∆==，ϖπ
π==
2||BC ，则2ω=。

则
()),3
f x x π=+值域是[…………………..7分
(II)由
0()f x =04sin(2)35
x π+=，
00,212323x x πππππ<<∴<+<， 得03cos(2),35
x π+=-则
0()6
f x π
+==
……14分
20．(本题满分14分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为角,,A B C 所对的边，向量),2(b c a +=，
)cos ,(cos C B =，且,垂直．
（I ）确定角B 的大小；
（II ）若ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且1=BD ，设,BC x BA y ==，
试确定y 关于x 的函数式，并求边AC 长的取值范围．
（I ）由(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=得2sin (cos 1)0A B +=，
1,(0,),sin 0,cos ,120.2
A B A B B π∈∴≠=-=︒则 ……………6分
（II ）由ABC ABD BDC S S S ∆∆∆=+得x y xy +=，
则1)1
+x y x x =∈∞-，（，．……………………9分
由22222211()()()(),24
AC x y xy x y xy x y x y x y =++=+-=+-+=+--
2
()4
x y x y xy ++=≤，得4x y +≥
，)AC ∴∈+∞………….14分
21．(本题满分15分)已知数列{}n a 满足111
1,14n n
a a a +==-,其中n ∈N *. (Ⅰ)设221
n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；
(Ⅱ)设41
n n a c n =
+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得11
n m m T c c +<
对于n ∈N *恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.
（I ）证明
21
22
1241
22141
1221
221
2211=---=
--
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=
--
-=
-++n n n n n n n n n a a a a a
a a
b b ，
所以数列{}n b 是等差数列，2,111==b a ，因此 n n b n 22)1(2=⨯-+=， 由1
22-=
n n a b 得n
n a n 21
+=
. …………………………..8分 (II)n c n 2=
,()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+2]1
2242n n n n c c n n ,
所以321112112<⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+-+-+
=n n T n ， 依题意要使11+<
m m n c c T 对于*
N n ∈恒成立，只需,34
)1(≥+m m
解得3≥m 或4-≤m ，所以m 的最小值为3…………………………….15分
22. (本小题满分15分)
已知,a b 是正实数，设函数()ln ,()ln f x x x g x a x b ==-+。

（Ⅰ）设()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间；
（Ⅱ）若存在0x ，使03[
,]45a b a b x ++∈且00()()f x g x ≤成立，求b
a
的取值范围。

min 4330
44444
4-3-++++--()=(
)=(ln -lnb)+(ln -lnb)+=>=>e
b b
a b a b a b a b b a b
e e h x h a a b e e
⋅
≥∴不成立 ………………………12分
（iii ）当35+>b a b e ，即35>-b e a e 时，53-<e
a b e
345
++()[,]a b a b
h x ∴在上d
单调递减。

min 533332230
5555553-2-++++--()=()=(ln -lnb)+<(ln -lnb)+=<=<e b b
a b a b a b a b b a b e
e h x h a a b e e
⋅∴当35>-b e a e
时恒成立 ……………………14分
综上所述，≤<7b
e a
……………………15分
∴y
x
的最大值在C处，为7。

…………14分
∴y
x
的取值范围为[] 7
e，，即
b
a
的取值范围是[),7e。

……………15分。