2022-2023学年上海市部分学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年上海市部分学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知3x=4y(y≠0).那么下列各式正确的是( )
A. x：y=3：4
B. x：y=4：3
C. x：y=1：3
D. x：y=1：4
2.在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古
塔在地面上的影长为40米，则古塔高为( )
A. 60米
B. 40米
C. 30米
D. 25米
3.在Rt△ABC中，∠B=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC的长是( )
A. a⋅tanα
B. a⋅cotα
C. a
cosαD. a
sinα
4.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE//BC的是( )
A. AD
DE =AB
BC
B. AD
AE
=AB
AC
C. BD
AD
=CE
AE
D. BD
AB
=CE
AC
5.下列命题中，假命题是( )
A. 任意两个正方形一定相似
B. 任意两个边长相等的菱形一定相似
C. 任意两个等边三角形一定相似
D. 任意两个等腰直角三角形一定相似
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，
交DC于F，交BC的延长线于G.那么下列结论正确的是( )
A. AE2=EF⋅FG
B. AE2=EF⋅AG
C. AE2=EG⋅FG
D. AE2=EF⋅EG
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7.已知a
b =2
3
，那么代数式b−a
a+b
的值是______．
8.如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是______ ．
9.已知点P是线段MN的黄金分割点，MP>PN，如果MN=8，那么PM的长是______．
10.在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是3.5厘米，那么甲乙两地的实际距离
是______千米．
11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2：3，周长之和为20cm，则较小的三角形的周长
为______．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=√3
，AB=10，那么BC的长是______．
2
13.如图，已知AD//BE//CF.如果AB=4.8，DE=3.6，EF=1.2，
那么AC的长是______．
14.在△ABC中，AB=AC=6，∠A=36°，点D在边AC上，如果BD=BC，那么BC的长是______．
15.在Rt△ABC中，∠A=90°，已知AB=1，AC=2，AD是∠BAC的平分线，那么AD的长是
______．
16.已知△ABC∽△DEF，如果△ABC三边长分别是√2，2，2，△DEF的两边长为1，√2，那
么它的第三边长是______．
17.在△ABC中，∠A=2∠B，如果AC=4，AB=5，那么BC的长是______．
18.如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，
BE=2AE、AF=2FD，正方形A′B′C′D′的四边分别经过正方形
ABCD的四个顶点，已知A′D′//EF，那么正方形A′B′C′D′的边长是
______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题10.0分)
计算：sin60°+|1−cot30°|+tan45°−cos30°．
20.(本小题10.0分)
如图4，在梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC和BD交于点O，且AC⊥BD．
(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，如果CD ：AB =2：7，求BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (用含a 、b ⃗ 的式子表示)； (2)如果AC =12，tan ∠CAB =3
4
，求梯形ABCD 的面积．
21. (本小题10.0分)
如图，△ABC 是某工厂一块三角形剩余料，边BC =120mm ，高AD =80mm.小王将这块余料加工成正方形零件，使一边在BC 边上，其余两个顶点分别在AB 、AC 边上，求这个正方形零件的周长．
22. (本小题10.0分)
如图，在Rt △EAC 中，∠EAC =90°，∠E =45°，点B 在边EC 上，BD ⊥AC ，垂足为D ，点F 在BD 延长线上，∠FAC =∠EAB ，BF =5，tan∠AFB =34
． 求：(1)AD 的长； (2)cot∠DCF 的值．
23.(本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D、F分别是边BC、AB上的点，AD和CF交于点E．
(1)如果BF⋅AB=BD⋅BC.求证：EF⋅CE=DE⋅AE；
(2)如果AE⋅BF=2AF⋅DE，求证：AD是△ABC的中线．
24.(本小题14.0分)
如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边CD上的一点．
(1)当DE=2时，求点B到直线AE的距离；
(2)将正方形ABCD沿直线AE翻折后，点D的对应点是点D′，联结CD′交正方形
ABCD的一边于点F，如果AF=CE，求AF的长．
25.(本小题14.0分)
，BD是斜边AC上的中线，点P是如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，sin∠BAC=4
5
线段DB延长线上一点，点E是线段AP的中点，联结CE交PD于点F．
(1)求证：EF⋅PF=DF⋅CF；
(2)如果CE⊥AP，联结PC，点G在线段PC上，当点G满足怎样的条件时，以点C、D、E、G为顶点的四边形CDEG是菱形？
(3)当∠PAB=∠DBC时，求BP的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意；
B、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故此选项符合题意；
C、由比例的性质，得3x=y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意；
D、由比例的性质，得4x=y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据比例的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．比例的性质：内项之积等于外项之积．
2.【答案】C
【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为xm，
则可列比例式，1.5
2=x
40
，解得x=30．
故选：C．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似
本题考查同学们利用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，AC=BC
sinA =a
sinα
．
故选：D．
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．4.【答案】A
【解析】解：由AD
DE =AB
BC
，则DE//BC，不一定成立，故选项A符合题
意．
∵AD AE =AB
AC
，
∴AD AB =AE
AC
，
∴DE//BC，故选项B不符合题意．
∵BD AD =CE
AE
，
∴DE//BC，故选项C不符合题意．
∵BD AB =CE
AC
，
∴DE//BC，故选项D不符合题意．
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
5.【答案】B
【解析】解：A、任意两个正方形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；
B、任意两个边长相等的菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、任意两个等边三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；
D、任意两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
利用相似形的定义进行判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AED∽△GEB，△DEF∽△BEA，
∴AE EG =DE
EB
，DE
EB
=EF
AE
，
∴AE EG =EF
AE
，
即AE2=EF⋅EG．
所以选项D正确，
故选：D．
解答此题的关键是利用平行四边形证明出△ADE∽△EGB，△DEF∽△AEB，然后利用对应边成比例即可解答此题．
此题主要考查学生利用平行四边形的性质证明三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
7.【答案】1
5
【解析】解：∵a
b =2
3
，
设a=2k，b=3k，
∴b−a a+b =3k−2k
2k+3k
=k
5k
=1
5
．
故答案为：1
5
．
已知a
b =2
3
，则设a=2k，b=3k，把a和b的值代入代数式b−a
a+b
化简即可．
本题考查了比例的性质，根据已知设出a=2k，b=3k是解题的关键．
8.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴它们对应高的比是2：3．
故答案为：2：3．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即可．
本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
9.【答案】4√5−4
【解析】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP>PN，MN=8，
∴PM=√5−1
2MN=√5−1
2
×8=4√5−4，
故答案为：4√5−4．
由黄金分割的定义得PM=√5−1
2
MN，即可得出结论．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段
的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值√5−1
2
叫做黄金比．
10.【答案】17.5
【解析】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，1：500000=3.5：x，
解得x=1750000，
12000000厘米=17.5千米．
即甲乙两地的实际距离为17.5千米．
故答案为：17.5．
根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换是解决问题的关键．
11.【答案】8cm
【解析】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×2
5
=8cm，故答案为：8cm
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似
比来解答．
本题考查对相似三角形性质的理解：
(1)相似三角形周长的比等于相似比；
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；
(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12.【答案】5√3
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵sinA=BC
AB =√3
2
，AB=10，
∴BC=5√3．
故答案为：5√3．
利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
13.【答案】6.4
【解析】解：∵AD//BE//CF，
∴AB BC =DE
EF
，
∵AB=4.8，DE=3.6，EF=1.2，
∴4.8 BC =3.6
1.2
，
解得BC=1.6，
∴AC=AB+BC=4.8+1.6=6.4．
故答案为：6.4．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．14.【答案】3√5−3
【解析】解：如图：
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=72°，∠DBC=180°−72°×2=36°，∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=BC，
设BC=x，则有AD=BD=BC=x，DC=6−x，
∵△ABC∽△BCD，
∴AB BD =BC
CD
，即6
x
=x
6−x
，
整理得：x2+6x−36=0，
解得：x=−3±3√5(负值舍去)，
∴x=3√5−3．
∴BC的长是3√5−3．
故答案为：3√5−3．
等腰三角形ABC中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由BD=BC，得到∠BDC=∠C，∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，得到三角形ABC与三角形BCD相似，最后根据相似三角形的性质即可解答．本题考查了相似三角形的判定与性质，以及一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
15.【答案】2√2
3
【解析】解：过B作BE⊥AB交AD的延长线于E，∵∠BAC=90°，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=1，
∴AE=√AB2+BE2=2√2，
∵∠CAB=90°，AB⊥BE，
∴AC//BE，
∴△ACD∽△EBD，
∴AC BE =AD
DE
，
∴2 1=AD
√2−AD
，
∴AD=2√2
3
，
故答案为：2√2
3
．
过B作BE⊥AB交AD的延长线于E，根据角平分线的定义得到∠BAE=45°，推出△ABE是等腰直角三角形，求得BE=AB=1，根据勾股定理得到AE=√AB2+BE2=2√2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】√2
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，
∴AB DE =BC
EF
=AC
DF
，
∴√2
1=2
√2
=2
DF
，
解得DF=√2，
所以△DEF的第三边长为√2．
根据相似三角形的性质列出比例式，求出第三边的长即可．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键根据性质列出比例式，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
17.【答案】6
【解析】解：解法一：过C作CH⊥AB，垂足为H，在AB上取点D，连接CD，使CD=AC=4，
∵CD=AC=4，
∴∠A=∠CDA=2∠B，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD=4，DH=AH=0.5，
∴CH2=AC2−AH2=153
4
，
∵BC2=BH2+CH2，
∴BC2=4.52+153
4
，即BC=6，
故答案为：6．
解法二：作AD平分∠BAC交BC于D，
∵∠A=2∠B，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∵AD平分∠BAC，
∴CD BD =AC
AB
=4
5
，
设CD=4x，BD=5x，BC=9x，∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA ，
∴CA CB =CD CA ，
∴CA 2=CD ⋅CB ，即16=4x ⋅9x ，
解得x =23
， ∴BC =9x =6．
故答案为：6．
解法一：过C 作CH ⊥AB 于点H ，在AB 上取点D ，连接CD ，使CD =AC =4，从而构造出等腰三角形ACD 和CDB ，然后利用勾股定理就可求得BC 的长度．
解法二：作AD 平分∠BAC 交BC 于D ，所以
CD BD =AC AB =45，再根据两角相等证明△CAD∽△CBA ，最后根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查的是等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
18.【答案】3√55
【解析】解：∵BE =2AE 、AF =2FD ，AB =AD =1，
∴BE =23，AE =13，AF =23，DF =13，
∴EF =√AE 2+AF 2=√53，
∵A′D′//EF ，
∴∠A′AB =∠AEF ，
又∵∠A′=∠EAF =90°，
∴△AEF∽△A′AB ，
∴AA′AE =AB EF ，
∴AA′=13
×1√53=√55，
同理可求：AD′=2√55
， ∴A′D′=3√55，
∴正方形A′B′C′D′的边长为3√55， 故答案为：3√55． 通过证明△AEF∽△A′AB ，可求AA′的长，同理可求AD′的长，即可求解． 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 19.【答案】解：sin60°+|1−cot30°|+tan45°−cos30°
=√32+|1−√3|+1−√3
2
=√32
+(√3−1)+1−√32 =√32+√3−1+1−√3
2
=√3．
【解析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20.【答案】解：(1)∵CD//AB ，
∴OD
OB =CD
AB
=27， ∴OB =79BD ，
∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +b ⃗ ，
∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =79(−a ⃗ +b ⃗ )=79
b ⃗ −79a ⃗ ；
(2)∵CD//AB ，
∴OD OB =OC OA =CD AB =2
7，
∵AC =12，
∴OA =79×12=283，
∵BD ⊥AC ，
∴tan∠OAB=OB
OA =3
4
，
∴OB=7，
∴OD=2，
∴BD=OD+OB=9，∵AC⊥BD，
∴S
四边形ABCD =1
2
⋅BD⋅AO+1
2
⋅BD⋅OC=1
2
⋅BD⋅(OA+OC)=1
2
⋅BD⋅AC=54．
【解析】(1)利用三角形法则求出BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用平行线分线段成比例定理求解；
(2)S
四边形ABCD =1
2
⋅BD⋅AO+1
2
⋅BD⋅OC=1
2
⋅BD⋅(OA+OC)=1
2
⋅BD⋅AC，求出BD，可得结论．
本题考查平面向量，梯形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
21.【答案】解：设正方形的边长为x mm，则PN=PQ=ED=x mm，
∴AE=AD−ED=(80−x)mm，
∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴PN BC =AE
AD
，即x
120
=80−x
80
，
解得x=48．
∴该正方形零件的边长是48mm，
∴这个正方形零件的周长为192mm．
【解析】设正方形的边长为x mm，则PN=PQ=ED=xmm，AE=AD−ED=(80−x)mm，
通过证明△APN∽△ABC，利用相似三角形的性质可得到x
120=80−x
80
，解方程求出x即可．
本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠EAC=90°，
∴∠EAB+∠BAC=90°，
∵∠FAC=∠EAB，
∴∠FAC+∠BAC=90°，
∴∠BAF=90°，
∵tan∠AFB=AB
AF =3
4
，
令AB=3x，则AF=4x，
∵BF2=AB2+AF2，
∴BF2=(3x)2+(4x)2，
∴BF=5x=5，
∵x=1，
∴AB=3x=3，AF=4x=4，∵BF⋅AD=AB⋅AF=2S△ABF，∴5AD=3×4=12，
∴AD=12
5
，
(2)在Rt△ABF中，AD⊥BF，∴AB2=BD⋅BF，
∴32=5BD，
∴BD=9
5
，
∴DF=BF−BD=16
5
，
∵∠EAC=90°，∠E=45°，
∴∠BCD=45°，
∴∠DBC=45°，
∴DC=BD=9
5
，
∴cot∠DCF=DC
DF =9
16
．
【解析】(1)由锐角的正切定义，三角形面积公式，即可求解；
(2))由锐角的余切定义，即可求解．
本题考查锐角的正切，余切的概念，关键是由勾股定理求出AB，AF的长；由射影定理求出BD的长．
23.【答案】证明(1)∵BF⋅AB=BD⋅BC，
∴BF BD =BC
AB
，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBF，∴∠BAD=∠BCF，又∵∠AEF=∠CED，∴△AEF∽△CED，
∴EF ED =AE
CE
，
∴EF⋅CE=DE⋅AE；(2)过D作DG//AB交CF于G，
∴AE ED =AF
DG
，
∵AE⋅BF=2AF⋅DE，
∴AE ED =2AF
FB
，
∴AF DG =2AF
FB
，
即DG
FB =AF
2AF
=1
2
，
∵CD BC =DG
FB
，
∴CD BC =1
2
，
∴D为BC的中点，AD是△ABC的中线．
【解析】(1)根据BF⋅AB=BD⋅BC，得到比例式BF
BD =BC
AB
，又因为成比例的边的夹角相等，证明
△ABD∽△CBF，所以对应角∠BAD=∠BCF，再因为对顶角相等得到
△AEF∽△CED，最后根据相似三角形的性质即可证明；
(2)过D作DG//AB交CF于G，根据平行线分线段成比例定理和已知条件等量代换即可证明．
本题考查平行线分线段成比例定理、三角形中线定义等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．24.【答案】解：(1)连接BE，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥AE于M，
∵正方形ABCD的边长为5，DE=2，
∴AE=√AD2+DE2=√52+22=√29，AB=AD=NE=5，
∴S△ABE=1
2AB⋅NE=1
2
AE⋅BM，
∴5×5=√29BM，
∴BM=25√29
29
，
∴点B到直线AE的距离为25√29
29
；
(2)如图：连接DD′，
由翻折得AE⊥DD′，DE=D′E，
∴∠EDD′=∠ED′D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，AE//CF，
∴CF⊥DD′，
∴∠EDD′+∠D′CE=∠ED′D+ED′C=90°，∴∠ED′C=∠D′CE，
∴D′E=CE=DE，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴CE=1
2CD=1
2
AB=5
2
，
∴AF=5
2
．
【解析】(1)连接BE，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥AE于M，利用面积法即可求解；(2)根据翻折的性质得AE⊥DD′，DE=D′E，可得∠EDD′=∠ED′D，证明四边形AECF是平行四边形，则AF=CE，AE//CF，可得CF⊥DD′，根据等角的余角相等可得∠ED′C=∠D′CE，则D′E= CE=DE，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了翻折变换的性质、正方形的性质、三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
25.【答案】(1)证明：如图1中，连接DE，CP．
∵AE=EP，AD=DC，
∴DE//CB，
∴△DEF∽△PCF，
∴EF CF =DF
PF
，
∴EF⋅PF=DF⋅CF；
(2)解：如图2中，当PG=GC时，四边形DEGC是菱形．
理由：∵AE =EP ，CE ⊥AP ， ∴CA =CP ，
∵AD =DC ，CG =PG ，AE =EP ， ∴DE//PC ，EG//AC ，
∴四边形CDEG 是平行四边形，
∵∠AEC =90°，AD =DC ，
∴DE =DC =AD ，
∴四边形CDEG 是菱形；
(3)解：如图3中，过点B 作BT ⊥AC 于点T ．
在Rt △ABC 中，AC =10，sin ∠BAC =BC AC =45， ∴BC =8，
∴AB =√AC 2−BC 2=√102−82=6， ∵BT ⊥AC ，
∴12⋅BC ⋅AB =12⋅AC ⋅BT ，
∴BT =6×810=245，
∴AT =√AB 2−BT 2=√62−(245)2=185， ∵AD =DC =5，
∴DT=5−18
5=7
5
，
∵∠ABC=90°，AD=DC，∴DB=DC=DA=5，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠BAP=∠DBC，
∴∠PAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠CAB=90°，∴∠PAB+∠CAB=90°，∴∠BTC=∠PAD=90°，∴BT//AP，
∴PB DB =AT
TD
，
∴PB
5=
18
5
7
5
，
∴PB=90
7
．
【解析】(1)如图1中，连接DE，CP.证明DE//CB，推出△DEF∽△PCF，推出EF
CF =DF
PF
，可得结论；
(2)如图2中，当PG=GC时，四边形DEGC是菱形．根据邻边相等平行四边形是菱形证明即可；
(3)如图3中，过点B作BT⊥AC于点T.利用面积法，勾股定理求出AT，DT，再证明DT//AP，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
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