苏教版高中数学必修第一册7.1.2弧度制【授课课件】

类型 3 扇形的弧长及面积问题 【例 3】 已知扇形的周长为 8 cm． (1)若该扇形的圆心角为 2 rad，求该扇形的面积；
[解] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，扇形面积为 S． 由题意得：2r＋l＝8，l＝2r， 解得 r＝2，l＝4，S＝12lr＝4．
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知识点3
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扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数 l
的绝对值是|α|＝ r ，弧长l＝ |α|r ．特别地，当r＝1时，弧长l＝—
π rad＝_1_8_0_°__
1°＝1π80rad≈0.017 45 rad
1 rad＝
118800 ππ
度≈57.30°
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(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0° 1° 30° 45° 60°
(3)引入弧度制的意义 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间 建立起一一对应关系，即角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应 关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对 应唯一的一个角．
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解得 l＝6，r＝1 或 l＝2，r＝3，
所以 α＝rl＝6 或23．
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2．(变条件，变问法)本例条件中“周长为 8 cm”改为“面积为 8 cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长．
第7章 三角函数
7.1 角与弧度 7.1.2 弧度制
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1．了解弧度制的含义和引入弧度制 1．通过对弧度制概念的学习，培养
的意义．
数学抽象素养．
2．会进行弧度与角度的互化．(重 点、难点)
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[跟进训练] 2．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)， 并判断 2 024°是不是这个集合的元素．
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2π 3．半径为 1，圆心角为 3 的扇形的弧长为______，面积
为________．
2π 3
π 3
[∵α＝23π，r＝1，
∴弧长 l＝αr＝23π，
面积＝12lr＝12×23π×1＝π3．]
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1．弧度制下与角 α 终边相同的角的表示 在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α， k∈Z}，即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用．
[解] 因为 150°＝56π， 所以终边在阴影区域内角的集合为
S＝β56π＋2kπ≤β≤32π＋2kπ，k∈Z
．
因为 2 024°＝224°＋5×360°＝5465π＋10π rad，
又56π<5465π<32π，
所以 2 024°＝50465π∈S．
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90°
弧度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
角度 弧度
120° 135° 150° 180° 270°
2π 3π 5π 346
π
3π 2
360° 2π
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(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
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2．将下列弧度与角度互化．
(1)75π化为角度为________； (2)105°化为弧度为________．
(1)252° (2)172π [(1)75π＝75π×1π80°＝252°． (2)105°＝105×1π80 rad＝71π2 rad．]
2．借助弧度制与角度制的换算，提
升数学运算素养．
3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和
面积公式．(难点、易错点)
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01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
7.1.2 弧度制
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
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类型 1 角度制与弧度制的互化 【例 1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)1π0；(3)－43π；(4)112°30′． [解] (1)－450°＝－450×1π80 rad＝－52π rad． (2)1π0 rad＝1π0×18π0°＝18°． (3)－43π rad＝－43π×18π0°＝－240°． (4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad．
() () ()
[答案] (1)× (2)× (3)×
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知识点2 角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝ π rad
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类型 2 用弧度制表示角的集合 【例 2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半 轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
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度制．
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吗？
1．“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系
[提示] “1 弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
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[解]
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
．
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
．
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
．
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_|α_|_．
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(2)扇形面积公式：
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积
为S＝2|απ|·πr2＝
1 2lr
．
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1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)35π；(2)1π2；(3)－1 440°；(4)67°30′． [解] (1)35π rad＝35π×18π0°＝108°．
π (2)12
rad＝1π2×18π0°＝15°．
(3)－1 440°＝－1 440×1π80＝－8π．
(4)67°30′＝67.5°＝67.5×1π80＝38π．
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角． [解] 由 2r＋l＝8 得 l＝8－2r，r∈(0,4)， 则 S＝12lr＝12(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4， 当 r＝2 时，Smax＝4，此时 l＝4，圆心角 α＝rl＝2．
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正角的弧度数是 正数 ，负角的弧度数是 负数 ，零角的弧度数 是0 ．
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3．角度制与弧度制之间如何进行换算？ [提示] 利用 1°＝1π80rad≈0.017 45 rad 和 1 rad＝1π80°≈57.30° 进行弧度与角度的换算．
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知识点1 弧度制的概念 1
(1)角度制：规定周角的 360 为1度的角，用度作为单位来度量
角的单位制叫作角度制． (2)弧度制：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫作1弧度的
角，记作 1 rad ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧
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在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角 α 是如何度量的？度量的单位是什么？它的 1 个单位是怎么定义的？ 用这种单位制来度量角叫作什么制？除了上面用“度”作为单位来 度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？
[解] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，扇形的面积为 S，则由 S＝12αr2 得 8＝12×2×r2， 所以 r＝2 2， 所以 l＝αr＝2×2 2＝4 2(cm)．
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弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点 (1)解题策略： ①明确弧度制下扇形弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式 S＝21lr＝12 |α|r2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)． ②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析 题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接 求解或列方程(组)求解．
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角度制与弧度制换算的要点
提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．
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[跟进训练]
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[母题探究] 1．(变条件，变结论)本例条件下，若扇形面积为 3 cm2，求扇形 的圆心角的弧度数．
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[解] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 α， 扇形面积为 S．
2r＋l＝8， 由题意得：21lr＝3，
l 2．比值r与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示] 一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一 确定的，与半径大小无关．Leabharlann 7.1.2 弧度制1
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大． (2)圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等． (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是 1 弧度．