大学高等数学上册：Ch2-1_2导数定义,数列极限1

1
解：
f (x)
f ( x0 )
(x2
4)
(
x
2 0
4)
x x0
x x0
(x
x0 )( x x x0
x0 )
x
x0 .
所
以
，f
(
x0
)
lim(
x x0
x
x0
)
2
x0
.
11
1
例 2 问曲线 y x 2 上哪一点处的切线与直线 y 3x 1平行? 解 直线 y 3x 1的斜率为k 3，
15
有界数列
对于数列{an }，若能找到一个数M 0，使对一切n 恒成立 | an | M，
称 {an } 为 有界数列 称数 M 为{an }的一个界．
否 则 ， 称{an }为无界数列
例如 { n } 是有界数列；
n1
{n sin n }
2
是无界数列．自然数 M
0， n0
4M
1，
成立
n0
都
满
足
an
1
1 10000
,
对任意 0, 只要 n N ( [ 1 ])时,
都有 an 1 成立.
34
定义 给 定 数 列{an }，如 果 存 在 数a， 对 0，
存在自然数 N 0， 当n N 时，成立
| an a | ，
则 称 常 数a 是 数 列{an } 的极限，
或 称{an } 收 敛 于a． 记为
lim an
n
a， 或
an
a
(n )．
称
lim
n
an
a的数列an为
收敛数列
如 果 数 列{an } 没 有 极 限 ，则 称{an }为 发散数列
35
注.(i) 具有任意性； (ii) 自然数 N 依赖于 ；
几何解释:
a
2 a
a2 a1 aN 1 a a N 2 a3 x
当n N时, 所有的点an都落在(a , a )内,
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
5
二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
y( x0
)
lim
x x0
x x0 lim ( x x0 )( x x0 ) x x0 xx0 ( x x0 )( x x0 )
lim
(x x0 )
lim
1
1
xx0 ( x x0 )( x
x ) ( xx0 0
x
x0 )
2 x0
令 1 3 2 x0
得
1 x0 36
从而
1 y0 6
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
y
切 线 的 斜 率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 法线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
y
y0
f
1 (x ( x0 )
x0 ).
10
例 求 函 数f ( x) x 2 4在 点x0处 的 导 数 。
2
曲线的切线斜率
曲线
y
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
3
2. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
称之为原数列的一个子数列， 记 为 {ank }．
例如， x1 , x2 ,, xi , xn , xn1 , xn2 ,, xnk ,
注意： 在 子 数 列 xnk 中 ， 一 般 项xnk 是 第k 项 ，
而 xnk 在 原 数 列xn中 却 是 第nk 项 ， 显 然 ，nk k.
40
定理：收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
只 有 有 限 个(至 多 只 有N个)落 在 其 外.
(iii)
对
于lim n
an
可 定 义 如 下 ：
M 0, N 0,当n N时，有
| an | M .
36
例如,
1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
n an n 1
1
(n )
收
敛
n (1)n1
an
n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
an 2n (n ) 发
散
an (1)n1 趋势不定
37
例1
已知
an
(1)n (n 1)2
，证明数列{an }的极限为0．
证明 0， 要使
|
an
0|
(n
1 1)2
1 n1
得到
n 1 1， 取Nຫໍສະໝຸດ 11．则当nN
时，
(1)n (n 1)2
an
1
1 100
,
能 够 做 到an
1
1 n
1 1000
,
只需n 1000即可，
即 数 列 的 第1000 项 以 后 所 有 项a1001, a1002,
都
满
足
an
1
1 1000
,
33
对
1 10000
,
能 够 做 到an
1
1 n
1, 10000
只需n
10000
即 可,
即 数 列 的 第1000 以 后 所 有 项a10001, a10002,
称为数列，记 为{an }．其 中an 称 为 第n 项 或通项，
通 项an 的 表 达 式 称 为通项公式．
例 如 (1) 2, 4, 8, ,2n , 表 示 为{2n }； 通项 an 2n；
(2) 1, 1 , 1 , , 1 , 23 n
{ 1 }； n
an
1； n
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
42
定理（收敛数列的有界性）
若 数 列{an }收 敛 ， 则 数 列{an }一 定 有 界 。
证:
取 1 ,则 N , 当 n N 时, 有
an a 1, 从而有
an a a 1 a
取
M max a1 , a2 , , aN ,1 a
在点( 1 , 1 ) 处的切线与直线y 3x 1 平行． 36 6
12
2.2 极限
一、数列极限的定义 二、函数极限的定义 三 、极限的性质 四、无穷小与无穷大 五、极限的运算法则 六、无穷小的比较
第二章
13
一. 数列极限的定义
数列：按照一定顺序排成的一列实数
a1 , a2 , a3 , an ,
0
．
所以
(1)n
lim
n
(n
1)2
0．
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给
定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
38
例 2 对于数列{qn }，试证当| q | 1时为收敛数列，
证明 若 q 0， 则 恒 有qn 0， limqn 0． n
若 0 | q | 1，则 必 存 在a 0，使 | q | 1 ． 1 a
无 限 接 近 于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 来定量地刻划它.
an 1 (1)n1 1 1 nn
32
对 1, 100
能 够 做 到an
1
1 n
1 100
,
只需n 100即可，
即 数 列 的 第100 项 以 后 所 有 项a101, a102,
对1, 1000
都
满足
第二章 导数与极限
导数的概念 数列的极限 函数极限
函数的连续性 导数计算 高阶导数
1
一、引 例
§2.1 导数的概念
1. 切线问题
圆的切线“与圆仅有一个交点的直线” 此定义可以推广到椭圆的切线
第二章
问题：对于一般的曲线如何定义其在一点的切线呢？ 讨论：1. 如何定义切线；2. 如何求出切线斜率。
{an }；
a2k 1 0， a2k k，k
1,
2,
14
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 a1, a2 ,, an ,.
{an }
a1 a2 0 a4 an an1 a3
x
2.数列是以自然数集N为定义域的函数 an f (n).
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数,简称导数
记作: y ; f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
注意:
f (x0)
f (x) xx0
d f (x0 ) dx
8
说明： 1.导数即函数相应于自变量在相应点附近平均变化 率的极限，因此，也称为函数在一点的变化率，它 反映的是函数随自变量增加而增加的速度。 2. 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率 和边际税率等从数学角度看就是导数.
9
三、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线y f ( x)
例如
{n sin n }
2
是 无 界 数 列 ，从 而 发 散 ．
44
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; 2. 导数的几何意义: 切线的斜率;
3. 数列极限的 “ – N ” 定义及应
用4. 收敛数列必有界: 5.任一子数列收敛于同一极限
45
0，要使
| qn
0|
| q |n
1 (1 a)n
1 1 na
1 na
解得
n 1 ，取
a
N
1
a
．
于是， 0，
N
1
a
，
当n
N
时，|
qn
0|
39
子数列的收敛性
定义 在 给 定 数 列{an }中 ，任意选取无限多个项排成一列数 an1，an2，，ank ，
(这里的下标 n1，n2，，nk， 依从小到大的顺序排列 )
x x0
6
运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s t
f (t0 )
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f ( x0 )
CM
o x0
T xx
7
y f (x) f (x0) x x x0
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 )
t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
4
瞬时速度
切线斜率
两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
s
in
n0
2
4M 1 M
16
单调数列
若 对 任 意 正 整 数n 恒 成 立an an1， 就 称{an } 为 单调增加数列（或单调不减数列）；
若 对 任 意 正 整 数n 恒 成 立an an1，
就 称{an } 为 单调减少数列（单调不增数列）； 单 调 增 加 数 列 与 单 调 减少 数 列 统 称 为单调数列
说明：定 义 中（ 或 ） 改 为（ 或 ） ， 可 得 到 严 格 单 调 数列.
17
数列的极限
观察数列{1 (1)n1 }当n 时的变化趋势. n
播放
18
问题: 当 n无限增大时, 是xn否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当n
无限增大时, an
1
(1)n1 n
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则 0,N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
aN
*********************
N
从而有 a n k a ,
由此证明
lim
k
a
n
k
a
.
41
说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
则有
an M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
43
注 意 ：数 列 有 界 是 数 列 收 敛 的必 要 条 件 ．
易错提醒：不能根据数列的有界性推断数列是收敛的
例如 {(1)n }尽 管 有 界 ， 但 不 收 敛 。
无界数列一定不收敛 ．
常 用 此 结 论 判 别 一 些 数列 的 发 散 性 ．
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
lim f (x) f (x0 )
x x0