【锁定高考】(新课标版)高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第1节 三角函数、解三角形 文

【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+
提优演练）第3章 第1节 三角函数、解三角形 文
A 组 基础达标
(时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限，建议选讲4，6，9
一、 选择题(每小题5分，共25分)
的值(A)
A. 小于0
B. 大于0
C. 等于0
D. 不存在
∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.
(2013·成都四中模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α
＝－4
5
，则m 的值为(B)
A. －12
B. 12
C. －32
D. 32
∵r＝64m 2
＋9，∴cos α＝－8m
64m 2
＋9
＝－45，∴m ＞0，∴4m 2
64m 2＋9＝125，解得m ＝1
2
.
(2014·苏州模拟)设角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是(C) A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角．由⎪
⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2知cos α2≤0，∴α
2
是第三象限角．
若cos α＝－
3
2
，且角α的终边经过点(x ，2)，则P 点的横坐标x 是(D) A. 2 3 B. ±2 3 C. －2 2 D. －2 3
由cos α＝
x
x 2
＋4
＝－32，解得x ＝－2 3.
(2014·中山模拟)已知扇形的周长是6 cm ，面积是 2 cm 2
，则扇形的中心角的弧度
数是(C)
A. 1
B. 4
C. 1或4
D. 2或4
设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪
⎧2r ＋l ＝6，
12
rl ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.∴α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝2
2＝1.
二、 填空题(每小题5分，共15分) 利用单位圆写出满足sin α<
2
2，且α∈(0，π)的角α的集合是__⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π__．
画单位圆并作出正弦线如图．
MP ＝NQ ＝
22，当sin α<2
2
时，角α对应的正弦线MP 、NQ 缩短， ∴0<α<π4或3π
4
<α<π.
(2013·长春模拟)若三角形的两个内角α，β满足 sin αcos β＜0，则此三角
形为__钝角三角形__．
∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角， ∴sin α＞0，cos β＜0， ∴β为钝角．
故此三角形为钝角三角形．
角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝__－7
5
__．
由题知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－4
5
.∴cos α－sin α
＝－7
5
.
三、 解答题(共10分)
已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.
∵θ的终边过点(x ，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－1x ，
又tan θ＝－x ，∴x 2
＝1，∴x ＝±1.(4分) 当x ＝1时，sin θ＝－
22，cos θ＝2
2
；(7分) 当x ＝－1时，sin θ＝－
22，cos θ＝－2
2
.(10分) B 组 提优演练
(时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限，建议选讲1，7，8
一、 选择题(每小题5分，共20分)
(2014·许昌联考)将表的分针拨快10 min ，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是
(C)
A. π3
B. π6
C. －π3
D. －π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A ，B 不正确；又拨快10 min ，
故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π ＝－π
3
.
已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π
3，则sin α等于(D)
A. －
32 B. 32 C. －12 D. 12
∵角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋β＝2k π ＋π
2
(k∈Z)，又β
＝－π3，∴α＝2k π＋5π6(k∈Z)，即得sin α＝12
.
(2013·福州模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A
－cos B ，cos A －sin C)，则
sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ
|tan θ|
的值是(B)
A. 1
B. －1
C. 3
D. －3
∵三角形ABC 是锐角三角形，∴A ＋B>90°，即A>90°－B ，则sin A>sin(90°
－B)＝cos B ，sin A －cos B>0，同理cos A －sin C<0，∴点P 在第四象限，
sin θ
|sin θ|＋
cos θ|cos θ|＋tan θ
|tan θ|
＝－1＋1－1＝－1.
点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1逆时针方向运动 23π 弧长到达Q 点，则Q
点的坐标为(A)
A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32
B. ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，－12
C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32
D. ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32，12
设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α，y ＝sin
α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32.
二、 填空题(每小题5分，共15分)
(2013·济南模拟)函数y ＝
sin x ＋
1
2
－cos x 的定义域是__⎢
⎡⎦
⎥
⎤π3＋2k π，π＋2k π(k∈Z)__．
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥0，12－cos x≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧sin x≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π
3＋2k π≤x≤π＋
2k π，k ∈Z.即函数的定义域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k∈Z)． 若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则 sin β＝2或－2，
tan β＝__－1__．
∵β的终边所在直线经过点 P ⎝
⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，∴β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．
∴sin β＝
22或－2
2
，tan β＝－1. (2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在
(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →
的坐标为__(2－sin__2，1－cos__2)__．
设A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧PA ︵长为2，∠ABP ＝2
1
＝2.
设P(x ，y)，则x ＝2－1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2，
∴OP →
的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)．
三、 解答题(共15分)
已知A ，B 是单位圆O 上的动点，且A ，B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC＝α.
(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2
α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值； (2)求|BC|2
的取值范围．
(1)∵A 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45，
∴tan α＝4
3
.(3分)
∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2
α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2
αcos 2α
＋2×sin α
cos α2－sin 2
α
cos 2
α ＝tan 2
α＋2tan α
2－tan 2
α＝169＋832－
16
9
＝20.(6分) (2)设A 点的坐标为(x ，y)， ∵△AOB 为正三角形，
∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，且C(1, 0)．(8分) ∴|BC|2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－12
＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝2－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3.(10分) 又A ，B 分别在第一、二象限， ∴α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，π2. ∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，5π6.(12分)
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，0. ∴|BC|2
的取值范围是(2，2＋3)．(15分)。