二七区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

二七区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（）
A．4 B．2 C．D．2
2．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y+7=0相交于A，B两点，且•=4，则实数a 的值为（）
A．或﹣B．或3 C．或5D．3或5
3．α是第四象限角，，则sinα=（）
A．B．C．D．
4．设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N=（）
A．∅B．N C．[1，+∞）D．M
5．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
6．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（）
A．（0，1）B．（2，1）C．（2，0）D．（0，2）
7．将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
8．双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（）
A．B．C．D．
9．命题：“∀x＞0，都有x2﹣x≥0”的否定是（）
A．∀x≤0，都有x2﹣x＞0 B．∀x＞0，都有x2﹣x≤0
C．∃x＞0，使得x2﹣x＜0 D．∃x≤0，使得x2﹣x＞0
10．如图所示，函数y=|2x﹣2|的图象是（）
A．B．C．D．
11．（2014新课标I）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．B．C．
D．
12．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题
13．已知函数()f x 23(
2)5x =-+
，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系 是
．
14．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
15．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．
16．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）． ①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线
﹣
=1与椭圆
有相同的焦点．
17．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
18．已知关于 的不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围是__________
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x 3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为定值；
（Ⅱ）若x ≥0时，不等式xe x +m[f ′（x ）﹣a]≥m 2
x 恒成立，求实数m 的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知1
()2ln ()f x x a x a R x
=--∈． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()()2ln g x f x x a x =-+，且()g x 有两个极值点，其中1[0,1]x ∈，求12()()g x g x -的最小值． 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．
21．如图，已知椭圆C ：
+y 2=1，点B 坐标为（0，﹣1），过点B 的直线与椭圆C 另外一个交点为A ，且
线段AB 的中点E 在直线y=x 上 （Ⅰ）求直线AB 的方程
（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线y=x 于点M ，N ，证明：OM •ON 为定值．
22．已知函数
，且
． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有
，求
的最小值；
（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．
23．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
24．已知函数，
．
（Ⅰ）求函数
的最大值；
0.005
0.02
频率组距
O
千克
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
二七区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2+2x﹣4y+7=0，可化为（x+）2+（y﹣2）2=8．
∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=，
∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，
∴=，
∴a=或5．
故选：C．
3．【答案】B
【解析】解：∵α是第四象限角，
∴sinα=，
故选B．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．
4．【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，
∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
∵集合N 中的函数y=x 2
≥0，
∴集合N={y|y ≥0}， 则M ∩N={y|y ≥0}=N ． 故选B
5． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 6． 【答案】D
【解析】解：令x=0，则函数f （0）=a 0
+3=1+1=2．
∴函数f （x ）=a x
+1的图象必过定点（0，2）．
故选：D ．
【点评】本题考查了指数函数的性质和a 0
=1（a ＞0且a ≠1），属于基础题．
7． 【答案】D
【解析】解：将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移
个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos （2x+φ﹣
）的图象，
∴φ﹣
=k π+
，即 φ=k π+
，k ∈Z ，则φ的一个可能值为，
故选：D ．
8． 【答案】D
【解析】解：双曲线：
的a=1，b=2，c=
=
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x ；离心率e==
故选 D
9． 【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x ＞0，使得x 2
﹣x ＜0，
故选：C ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础．
10．【答案】B
【解析】解：∵y=|2x﹣2|=，
∴x=1时，y=0，
x≠1时，y＞0．
故选B．
【点评】本题考查指数函数的图象和性质，解题时要结合图象进行求解．
11．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
12．【答案】C
【解析】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．
∴a＜1＜b＜3＜c，
设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，
∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，
∴b+c=6﹣a，
∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，
∴a2﹣4a＜0，
∴0＜a＜4，
∴0＜a＜1＜b＜3＜c，
∴f （0）＜0，f （1）＞0，f （3）＜0， ∴f （0）f （1）＜0，f （0）f （3）＞0． 故选：C ．
二、填空题
13．【答案】12()()f x f x >] 【
解
析
】
考
点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等． 14．【答案】[3,6]-. 【
解
析
】
15．【答案】（，+∞）．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，
故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．16．【答案】②③．
【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．
②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．
③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，
所以③正确．
④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．
故正确的命题为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．
17．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
18．【答案】
【解析】
因为在上恒成立，所以，解得
答案：
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，
即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，
得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，
即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，
则（e x+mx﹣m2）min≥0，
记g（x）=e x+mx﹣m2，
g ′（x ）=e x +m ，由x ≥0，e x ≥1，
若m ≥﹣1，g ′（x ）≥0，g （x ）在[0，+∞）上为增函数，
∴
，
则有﹣1≤m ≤1，
若m ＜﹣1，则当x ∈（0，ln （﹣m ））时，g ′（x ）＜0，g （x ）为减函数， 则当x ∈（ln （﹣m ），+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）为增函数，
∴
，
∴1﹣ln （﹣m ）+m ≥0，
令﹣m=t ，则t+lnt ﹣1≤0（t ＞1）， φ（t ）=t+lnt ﹣1，显然是增函数，
由t ＞1，φ（t ）＞φ（1）=0，则t ＞1即m ＜﹣1，不合题意． 综上，实数m 的取值范围是﹣1≤m ≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域),0(+∞，
当3a =时，1()23ln f x x x x =--，2'
22
13231()2x x f x x x x -+=+-=
令'()0f x >得，102
x <<或1x >；令'
()0f x <得，112x <<，
故()f x 的递增区间是1
(0,)2和(1,)+∞；
()f x 的递减区间是1
(,1)2
．
（Ⅱ）由已知得x a x
x x g ln 1
)(+-=，定义域为),0(+∞，
2
221
11)(x
ax x x a x x g ++=++='，令0)(='x g 得012=++ax x ，其两根为21,x x ， 且21212
40010a x x a x x ⎧->⎪
+=->⎨⎪⋅=>⎩，
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则，
直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
22．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性
【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，
所以，解得，
所以．
（Ⅱ）由，得，
因为，
所以对于任意，都有．
设，则．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，
．
因为对于任意，都有成立，
所以 ． 所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证， 所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．
所以只要证明当时，
即可．
设，
所以，
令，解得
．
由，得
，所以在
上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数
的图象在直线
的下方．
23．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分） 24．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当，即，时，（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到函数的递增区间为。