高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》全集汇编及答案解析

数学《三角函数与解三角形》复习知识点(1)
一、选择题
1．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】
根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦⎣⎦ 22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
=⎝⎭⎭
=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】
这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.
2．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】
在△ABC 中，
11tan tan 32
tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B
C A B A B A B π+
+=--=-=-=---⋅，
所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）
(
)
7 2.6≈
A ．10分钟
B ．15分钟
C ．20分钟
D ．25分钟
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】
根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=， 则5713BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为13
0.2552
=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】
该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题
目.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】
根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：
sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，
即有sin sin a A c C =，
又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．
5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
0AB BC ⋅>u ur u u r u u ，a =b c +的取值范围是( )
A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．322⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
利用余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，可得3A π=，由
|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
，可得B 为钝角，由正弦定理可得
sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解
【详解】
由余弦定理有：222
cos 2b c a A bc
+-=，又222b c a bc +-=
故2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===
又A 为三角形的内角，故3
A π
=
又2
a
=sin sin sin(120)o
b c c B C B ==
- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
故cos 0B B <∴为钝角
3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+
(90,120)o o B ∈Q ，可得
130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，
330))2
o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
6．函数()[]()
cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．
53
π B ．2π
C ．
76
π D ．π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】
令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1
sin 2
x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-
或32x π=或6x π=或56
x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522
266
s π
πππ
π=-+
++=，故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
7．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ，在旋转的过程中，记([0,])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.
8．已知函数f （x ）＝2x －1
，()2cos 2,0?
2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩
（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋
∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．[]1,
1,22⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
U 【答案】C 【解析】 【分析】
对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】
当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意.
当a ＜0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],
因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜
1
2
，即a ＜0. 当a ＞0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥
2
3时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨
+≥⎩
. 当0＜a ＜
23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜1
2
. 综合得a 的范围为a ＜1
2
或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9
π
）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518
π
个单位长度 B ．向右平移518
π
个单位长度 C ．向左平移536
π
个单位长度 D ．向右平移
536
π
个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数cos 29y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
转化为7sin 218
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-
=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数cos 29y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象上所有点向右平移
536
π
个单位长度，故选D ． 【点睛】
本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．
10．在ABC ∆中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =∆的面积
为1，
则BD 的长为（ ） A ．
32
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】
1210sin 1sin 25BCD BCD ⨯⨯⨯∠=∴∠= 2
2
22102210425
BD BD ∴=+-⨯⨯⨯
=∴=,选C
11．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
12
B ．
47
C 255
D 7
6565
【解析】 【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD CAD
AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3
(,1)2
A a +， 所以32
CD =
，1
1,2AD DE ==，
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD
BAC CAD EAD CAD EAD
∠-∠∠=∠-∠=
+∠⋅∠
31422317122-=
=+⨯. 故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
12．已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，则cos α的值为( ) A ．
35
B ．35
-
C ．
45
D ．45
-
【解析】 【分析】
根据已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，结合三角函数的定义即可得到cos α的值. 【详解】
因为角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -， 所以34
,,155
x y r =-==， 所以3cos 5
α=-， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.
13．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）
A ．1
B 1
C
D ．2
【答案】A 【解析】
由题意，得()2
2sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+
π
2114x ⎛
⎫=-+≤ ⎪⎝
⎭；故选A.
14．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v
=，45AOB ∠=︒，点P 满足
(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v
的最小值为（ ）
A B C D ．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得
点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r
.再由23λμ+=,
将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u
u u r
的最小值.
【详解】
在OAB ∆中,已知2OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB
AOB OAB
=
∠∠u u u r u u u r 代入2sin 2OAB =
∠,解得sin 1OAB ∠=
即2
OAB π∠=
所以OAB ∆为等腰直角三角形
以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭
所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)
2,0OB =u u u
r
因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
则)
222,022OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭
u u u r 222,22λμλ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
=
则2
2
22222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r 2222λλμμ=++
因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得
()()2
2322232λλλλ+-+-218518λλ-=+
=
所以当95λ=时, min OP ==u u u r 故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，c =，且2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC V 的面积是（ ）
A ．4
B ．12
C ．4或2
D ．14或12
【答案】C
【解析】
【分析】 根据已知关系求出1sin 2B =
，根据余弦定理求出边a ，根据面积公式即可得解. 【详解】
因为2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，所以2sin cos 12cos sin A C A C =-， 所以2sin cos 2cos sin 1A C A C +=，所以2sin()1A C +=，
所以2sin 1B =，即1sin 2
B =，
因为b c <，所以B C <，所以角B 为锐角，所以cos 2B ==
，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2132a a =+-⨯， 整理可得2320a a -+=，解得1a =或2a =.
当1a =时，ABC V 的面积是111sin 1222S ac B ==⨯=
当2a =时，ABC V 的面积是111sin 2222S ac B =
=⨯=. 故选：C.
【点睛】 此题考查根据余弦定理解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，结合边角关系解方程，根据面积公式求解.
16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,sin a b c a c b A ===
cos ,6a B b π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭则( )
A ．1
B C D 【答案】C
【解析】
【分析】
将sin b A = cos 6a B π⎛⎫+
⎪⎝⎭
结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】 因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，展开得
sin b A =1?cos sin 2
B a B -，由正弦定理化简得
sin sinB A =
1?cos sin 22sinA B sinA B -= cos B
即tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入
(2
223236b π=+-⨯⨯
解得b =
所以选C
【点睛】 本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．
17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．
【详解】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
且b 2+c 2＝a 2+bc ． 则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===， 由于：0＜A ＜π， 故：A 3π
=．
由于：sin B sin C ＝sin 2A ，
利用正弦定理得：bc ＝a 2，
所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，
故：b ＝c ，
所以：△ABC 为等边三角形．
故选C ．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）
A ．15
B ．315
C ．1
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．
【详解】
如图：
()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，
在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠， 因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC
=，
4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244
AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.
2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin B == 1
sin 2
ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.
19．设
2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.
【详解】 ∵
2
α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.
故选：B .
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43
BAC AP ∠==，
AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在ABC V 中，23AB AC ==，
23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6
AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.。