江苏省盐城中学南校区高二数学上学期期中试卷(含解析)

江苏省盐城中学南校区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．
2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．
3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．
6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．
7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）
8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．
9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．
10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．
11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线
的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．
12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．
13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．
14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．
（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上
一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求直线AB的方程．
17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解不等式（t为常数）
18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．
（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．
19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀
速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车
车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．
20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．
（1）若a=，求b的范围；
（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；
（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．
江苏省盐城中学南校区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；
故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．
点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．
2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．
解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，
即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．
故答案为：y=±x．
点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．
3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．
考点：二元一次不等式的几何意义．
专题：不等式的解法及应用．
分析：根据点与直线的位置关系，即可．
解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，
∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，
即（2﹣a）（1﹣a）＜0，
则（a﹣1）（a﹣2）＜0，
即1＜a＜2，
故答案为：（1，2）
点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）
考点：四种命题．
专题：计算题；简易逻辑．
分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．
解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．
故答案为：假．
点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．
考点：一元二次不等式与一元二次方程．
专题：计算题；转化思想．
分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．
解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，
∴3+4=﹣，3×4=﹣
∴a=﹣，b=
∴a+b=﹣=
故答案为
点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．
6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．
解答：解：y′=2x
当x=1得f′（1）=2
所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）
即2x﹣y﹣1=0
故答案为2x﹣y﹣1=0
点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．
7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．
解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，
由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，
故答案为：充分不必要条件．
点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．
解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，
所以，解得a＞，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：．
点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．
9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．
考点：抛物线的标准方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．
解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），
∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．
①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
∵=4，解得p=8，2p=16，
∴此时抛物线的方程为y2=16x；
②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．
综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．
故答案为：y2=16x或x2=﹣12y
点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．
10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．
考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解
得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．
解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），
∴抛物线的开口向右．
设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，
∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，
解得p=2，
由此可得抛物线的方程为y2=4x．
将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，
解得y=，M坐标为（2，）．
∴|OM|==2．
故答案为：
点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．
11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线
的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．
考点：圆锥曲线的共同特征．
专题：计算题．
分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．
解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴
设A点的纵坐标大于0
∴|AF|=p，∴A（，p）
∵点A在双曲线上
∴﹣=1
∵p=2c，b2=c2﹣a2
∴﹣=1
化简得：c4﹣6c2a2+a4=0
∴e4﹣6e2+1=0
∵e2＞1
∴e2=3+2
∴e=1+
故答案为：1+
点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．
12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．
解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，
∴点A的坐标为（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，
∴m+n﹣1=0，即m+n=1，
∴==，
∵mn≤=，m=n时取等号，
∴≥4，
即的最小值为4，
故答案为：4．
点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，
直线y=的截距最小，此时z最小，
由，得，即A（2，3）
此时z=2+2×3=8．
故答案为：8
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：函数的性质及应用．
分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情
况探讨最值，
解答：解：
=≤
当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，
当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，
综上t的最大值为
故答案为：．
点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．
（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；
（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．
解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，
q：﹣1≤x≤4，
若p且q为真，则p为真，q为真，
∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；
（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，
若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，
又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，
∴﹣3≤m≤﹣1，
若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，
∴﹣1＜m≤1，
综上：m的范围是．
点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．
16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上
一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求直线AB的方程．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；
（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．
解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，
解得，
所以椭圆方程为．
（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），
分别代入椭圆和抛物线方程得，
消去y0并整理得：，
所以或．
当时，；
当时，y0无解．
所以直线AB的方程为．
点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解不等式（t为常数）
考点：其他不等式的解法．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；
（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，
∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，
则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，
可得方程的另一解为2，即b=2，
∴a=1，b=2；
（Ⅱ）原不等式可化为：，
显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；
当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，
当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；
当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，
综上，原不等式的解集为：．
点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是2015届高考中常考的题型．
18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．
（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．
考点：二次函数的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；
（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集
即可；
（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要
求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．
解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，
即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，
所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；
（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．
①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；
②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．
综合得a≤﹣1；
（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，
因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，
所以，
因为，
所以a的取值范围为a≥1．
点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．
19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀
速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车
车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；
（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．
解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；
当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，
∴当0＜x≤12时，y==；
当12＜x≤25时，y==5x++10
∴y=；
（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；
当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s
当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s
∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．
答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．
点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．
（1）若a=，求b的范围；
（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；
（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；
（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；
（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．
解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，
消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，
x1+x2=，x1x2=，
因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，
代入a=，解得，且a＞b，
所以b的范围为；
（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，
可得：，
由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2
即，代x0=到椭圆方程得，
即，
所以点P的纵坐标为．
（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，
又△AOB，△COD两个三角形等高，故，
所以，求得
所以，
所以椭圆方程为．
点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。