锐角三角函数知识点总结

锐角三角函数知识点总结与复习
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

A
90B 90∠-︒=∠︒
=∠+∠得由B A 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
对边
邻边
C
A
90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。

(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h
i l
=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l
α==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

:i h l
=h
l α
锐角三角函数（1）
基础扫描
1.求出下图中sinD，sinE的值．
2.把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，
那么锐角A、A′的正弦值的关系为（）．
A．sinA＝sinA′ B． sinA＝2sinA′ C．2sinA＝sinA′ D．不能确定3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB的值是（）
A．3
5
B．
4
5
C．
3
4
D．
4
3
4.如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．
求sinA的值．
5．计算：sin30°·sin60°+sin45°．
能力拓展
6．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线上取一点P，连
接AP、PB，使sin∠APB=1
2，则满足条件的点P的个数是（）
A 1个
B 2个
C 3个
D 不存在
7．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinA、sinB．
创新学习
8.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC 等于（）
A．
B
． C．
D．
1
3
8
5
F E
D
25
24
7
C
B
A
l
基础扫描
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．
2．在△ABC中，∠C＝90°，cosA
＝4，c＝4，则a＝_______．3．如果a
∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cosα的值是（）
Ａ．1
2
Ｂ．2Ｃ．1
4．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
若AC=
AB=
则tan∠ACD的值为（）
Ｂ．5
Ｃ．6
6．已知α是锐角，且cosα=
3
4，求sinα、tanα的值．
能力拓展
7．若α为锐角，试证明：
sin
tan
cos
α
α
α
=
．
8．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a，
AC=b（b＞a），若tan∠DCE=
1
2，求
a
b的值．
创新学习
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为CA上一点，∠DBC=30°，DA=3，
cosA
与tanA 的值．
b a
E
D
C
B
A
（第8题图）
B
基础扫描
1． 已知sin α
1
2=
，则锐角α= 度． 2． 若tan 1α=，则2cos α= ．
3． 计算tan 602sin 452cos30+-的结果是（ ）
A ．
2
B
C ．1
D ．
1-
．
4． 如图，等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（ ） A ． 25 B ． 26 C ． 27 D ． 28．
5． 计算： （
1）计算：
()0
13sin 452007tan 30
-+-
(2) 先化简，再求值:
()22
2
1x x
x x +-÷+1，其中，tan 60x = ．
能力拓展
6．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）
A ．（
8105）m B ．21.6m C
．
．835⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝
⎭
m
7．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CD
AB 等于（ ）
A ．sin α
B ．COS α
C ．tan α
D ．1
tan α
D C
B
A E D
C
B
A 第6题图
第7题图
C
B
A
8．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为5．求cosA 的值．
创新学习
9．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB ，利用此图求tan22．5°的值．
10、如图10，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作
CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，
再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去， 得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，
则CA 1= ， 5
55
4C A A C
11、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
12.如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )
A ．a
B ．a 5
4
C ．a 22
D ． a 23 13、如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P
(1) 说明本次台风会影响B 市；
（2）求这次台风影响B 市的时间．
D
P
北
答案或提示
1．
sin sin D E =
= 2．A 3．B 4．证明：由2225625AB ==，
22749BC ==，2224576CA ==，得222
A B B C C A
=+ ∴又∠C=90°，∴7
s i n 25BC A AB ==
． 5． 原式
=12224
⨯+=． 6． B 7． 证明：作CD ⊥AB 于D ，则CD=AC ·sinA ∴ 1122
sin ABC AB CD AB AC A S ∆== 8． 解：如图，作AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E
∵ AB=AC ∴ BD=1
2BC=3 ∴4=
∴ 4sin 5
AD ABC AB ∠== 由11
22ABC BC AD AC BE S ∆==
得 642455BC AD BE AC ⋅⨯===∴24
sin 25BE BAC AB ∠==
9．B
答案或提示 1． 1
3 2．． B 4．，32
5． A
6． 解：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，
∵ 3
cos 4
AC AB α==
∴设AC=3k ，AB=4k （k ＞0），则k ．
∴sin tan BC AB αα=
== 7． 证明：如图，Rt ABC ∆中，∠C=90°，设∠A=α，
则sin ,cos BC AC AB AB αα== ∴sin cos BC
AC
αα=
又 ∵ tan BC AC α= ∴sin tan cos α
αα
=.
8． 解：如图，∵1
tan 2
DE DCE DC ∠==，
∴设 DE=k ，DC=2k （k ＞0）则 CE =.
又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线 ∴ ∴1),BD k =
∴1
tan 2
BD BCD CD ∠== ∵ A BCD ∠=∠ ∴tan tan A BCD ∠=∠∴
a b = 9．解：在Rt △DBC 中，∠C=90°，∠DBC=30°，
E D C B A C
B
A
b
a
E D C
B
A C
B A
B
∴tan 3
DC DBC
∠=
=． ∴可设DC=k ，（k ＞0）．
在Rt △ABC 中，由勾股定理知：2
22BC CA AB +=．
∴
)
()2
2
319k ++=．整理得()()2510
k k +-=．∴k=1．
∴
，CA=4．∴cos tan A A =
=． 答案或提示
1．30 2．
1
2
3
．C 4．C 5．
（1）．原式=111223+= （2）原式=()()()
()2
21111111x x x x x x x x x
+-+=-+
=-++
．
当tan 603x ==时，原式=2
14-=-
（3）∠A ≈66° 6． A 7． B
8．解：作OC ⊥AB ，垂足为C ．则1522AC AB =
=．∴5cos 6
AC A OA ==． 9．解
:∵∠C=90°，∠DBC=45°，且AB=DB ， ∴∠
A=∠ADB=1
2
∠DBC=22．5°
设DC=1， 则BC=1，
∴tanA=1
DC AC ==，∴tan22．51．。