福建省莆田第九中学2018届高三上学期第二次月考(12月)数学(文)试题含答案

福建省莆田第九中学2018届高三上学期第二次月考（12月）
数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。

设
{}{}
22,1,A x Z x B y y x x A =∈≤==+∈,则B 的元素个数是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．无数个 2.已知复数
112
m i z i -=
+-（i 是虚数单位）的实部与虚部的和为1,则实数m
的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3。

已知向量()()2,1,0,1a b =-=，则2a b +=（ ）
A ．22
B 5
C ．2
D ．4 4. 已知函数
()2sin 21
6f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，则下列结论中错误的是（ ）
A 。

函数()f x 的最小正周期为π B.函数()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称
C 。

函数()f x 在区间
0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数
D.函数()f x 的图象可由()2sin 21g x x =-的图象向右平移6
π
个单位得到 5.函数
ln x y x
=
的最大值为( ）
A ．1
e - B ．e C ．2
e D ．103
6。

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．72
B ．80
C ．86
D ．92
7。

已知直线1
2
//l l ,A 是1
2
,l l 之间的一定点,并且A 点到1
2
,l l 的距离分别为1，
2，B 是直线2
l 上一动点， 作AC AB ⊥，且使AC 与直线1
l 交于点C ,则ABC ∆面
积的最小值为( ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 8. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
1
sin sin cos 2
a BcosC c B A b
+=，且
a b
>，则B ∠等于（ ）
A ．6
π B ．3
π C ．23
π D ．56
π
9。

已知直线
:50
l x ky --=与圆
22:10
O x y +=交于两点A B 、,且0OA OB ⋅=，则k =（ )
A ．2
B ．2±
C ．2±
D ．2
10.已知函数
()2ln x f x x x
=-
，则函数()y f x =的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11. 在平行四边形ABCD 中，2
2,421
AB BD AB
BD ⊥+=，将此平行四边形沿BD 折
成直二面角，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．2
π B ．π C ．2π D ．4π 12。

若函数[])111sin 20,y x x π=∈，函数
223
y x =+,则()
()
2
2
1212x x y y -+-的最小值为
( ） A
B ．
()
2
1872
π+ C ．
()
2
1812
π+ D
．
()
2
1572
π-
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 13。

设()ln f x x x =，若()0
2f x '=，则0
x 等于 ．
14.设变量,x y 满足不等式组40
3301x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，则
z =
是 ．
15。

设n
S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知13
116
a a
a ++=，则9
S = ．
16。

以下命题，错误的是 （写出全部错误命题） ①若()()32131
f x x a x x =+-++没有极值点,则24a -<<
②
()13
mx f x x +=
+在区间()3,-+∞上单调，则
1
3m ≥
③若函数()ln x
f x m x
=
-有两个零点，则
1m e <
④已知
()()log 01,,,a f x x a k m n R +
=<<∈且不全相等,则
()()()222k m m n k n f f f f k f m f n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
ABC
∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 2sin a A csinC asinC b B
+=
+。

(1)求B ； （2)若
5,212
A b π
=
=,求a 和 c .
18。

已知
()3222
f x x ax a x =+-+.
（1)若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （2）若0a ≠,求函数的单调区间.
19。

如图，在三棱柱11
1
ABC A B C -中，1
AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，
16
AA AB ==，点D 为AC 的中点.
（1）求证：平面1
BC D ⊥平面11
ACC A ；
（2)求三棱锥1
C BC
D -的体积。

20.已知圆
22:4
O x y +=和点()1,M a .
（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程;
（2）若2a =过点M 的圆的两条弦AC BD 、 互相垂直,求AC BD +的最大值.
21.设函数
()21
ln 22
f x x ax bx
=+-。

(1）当3,1a b =-=时，求函数()f x 的最大值； （2）令
()()2112322a F x f x ax bx x x ⎛⎫
=-++≤≤ ⎪
⎝⎭
，其图象上存在一点()0
,P x y ，使此处
切线的斜率12
k ≤
，求实数a 的取值范围; （3）当
10,2
a b ==-
，方程
()2
2mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值。

22.设函数
()2
x f x e ax =--。

（1）求()f x 的单调区间;
（2）若1,a k =为整数，且当0x >时,)() 10x k f x x '-++>（，求k 的最大值。

试卷答案
一、选择题
1-5: CBBDA 6-10: DAABA 11、12：AB 二、填空题
13。

e 14。

⎣ 15。

18 16.
①②③ 三、解答题
17. 由已知,根据正弦定理得
2
22
a c
b +≥+。

由余弦定理得2
222cos b a c ac B
=+-，
故
222cos 2a c b B ac +-===
所以
4
B π
=。

（2）由512
A π=
，得
sin sin sin cos cos sin 646464A ππππππ⎛⎫
=+=+=
⎪⎝⎭
由
4
B π
=
，得
()3
C A B π
π=-+=
,故
sin 1sin b A a B =
==+,
sin
sin b C c B =
== 28。

解:（1)∵
1
a =，∴
()322
f x x x x =+-+,∴
()2321
f x x x '=+-
∴()14k f '==，又()13f =,所以切点坐标为()1,3 ∴所求切线方程为()341y x -=-，即410x y --=。

（2）
()()()
22323f x x ax a x a x a '=+-=+-
由()0f x '=得x a =-或
3a
x =
①当0a >时，由()0f x '<，得3a a x -<<
.
由()0f x '>得x a <-或
3a x >
此时()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
②当0a <时，由()0f x '<，得3
a
x a <<-。

由()0f x '>得
3
a x <
或x a >-
此时()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，单调递增区间为
,3a ⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭和(),a -+∞。

综上：当0a >时，()f x 的单调递减区间为
,3a a ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭,单调递增区间为(),a -∞-和
,3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭;
当0a <时,()f x 的单调递减区间为
,3a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，单调递增区间为
,3a ⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭和(),a -+∞。

19. （1）证明：因为1
AA ⊥底面ABC ，所以1
AA BD ⊥
因为底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥ 因为1
AA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面11
ACC A
因为平面BD ⊂平面1
BC D ，所以平面1
BC D ⊥平面11
ACC A .
(2）由（1）知
ABC ∆中,BD AC ⊥,sin 60BD BC =︒=
所以
132BCD S ∆=
⨯⨯ 所以
1163C CBD V -==
20。

解(1）由条件知点
M 在圆O 上，所以2
14
a +=,则a =.
当
a =M 为(,OM
k k =切，
此时切线方程为
)1
y x -,即40x +
-=.
当
a =时，点M 为(1,，OM
k =k =
切.
此时切线方程为
)1
y x +=
-，即40
x -=。

所以所求的切线方程为
40
x +-=或40x -=
（2）设O 到直线,AC BD 的距离分别为()1
2
12,,0d d
d d ≥，
则
222123
d d OM +==。

又有
AC BD ==
所以AC BD +=
则
()
(
2
2212444AC BD d d +=⨯-+-+
45⎡=⨯+⎢⎣
(
45=⨯+.
因为2
2
12
1
223d d
d d ≤+=，所以
221294
d d ≤
，
当且仅当12d d ==
52
，
所以
()
2
545240
2AC BD ⎛
⎫+≤⨯+⨯= ⎪⎝⎭.
所以AC BD +≤AC BD +
的最大值为
21.解：（1）依题意，()f x 的定义域为()0,+∞,当3,1a b =-=时,
()23
ln 22
f x x x x
=--，
()2113232x x
f x x x x
--'=--=
由()0f x '>,得2
3210
x
x +-<，解得
1
13x -<<
由()0f x '<，得2
3210
x
x +->，解得
13
x >
或1x <-
∵0x >，∴()f x 在10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递増，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递减；所以()f x 的极大值
为
15ln 336f ⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
,此即为最大值
（2）1,,)32(a F x lnx x x ⎡⎤=+
∈⎢⎥⎣⎦
，则有()00201
2
x a k F x x -'==
≤，在
01,32x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
上有解，
∴
200min
12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪
⎝⎭，
01,32x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，∵
()220001111222
x x x -+=--+,所以当0
3
x
=时，
2001
2x x -+
取得最小值93
322
-+=-,∴
3
2a ≥-
（3)由
()2
2mf x x =得
()22
2ln x x m f x x x
==
+，令
()2
ln x G x x x
=
+，
()()
()
2
2ln 1ln x x x G x x x +-'=
+
令()2ln 1g x x x =+-，
()2
10g x x
'=
+>，∴()g x 在()0,+∞上单调递增，而()10g =，
∴在()()0,1,0x g x ∈<，即()0G x '<，在()()1,,0x g x ∈+∞>，即()0G x '>，
∴()G x 在()0,1单调递减,在()1,+∞单调递増，∴()G x 极小值()11G ==，令21m =，即
12
m =
时方程
()2
2mf x x =有唯一实数解。

22。

（1）解：
()
f x 的定义域为R
，
()x f x e a
'=-;
若0a ≤，则0()f x '>恒成立，所以()f x 在R 总是增函数
若0a >，令0()f x '>，求得x lna >,所以()f x 的单增区间是()ln ,a +∞； 令0()f x '<，求得x lna <，所以()f x 的单减区间是(),ln a -∞ (2)把
()1x
a f x e a =⎧⎪⎨'=-⎪⎩
代入
()0
)(1x k x f x ++'->得:
(10
)(1)x e x k x --++>，
因为0x >，所以10
x
e ->,所以()(11
)x
k x e
x -->--,
11
x x x k e --->
-，1
1x x k x e +-<
-,
所以:()()
1
0*1
x
x k x x e +<
+>-
令
()1
1
x
x g x x e +=
+-，则
()()
()
2
21x x x
e e x g x e
--'=
-，由（1）知：
()()
2x h x e x =--在()0,+∞ 单调
递増， 而
()()1020
h h ⎧<⎪⎨>⎪⎩，所以()h x 在()0,+∞上存在唯一零点α，且()1,2α∈;
故()g x '在()0,+∞上也存在唯一零点且为α，当()0,x α∈时，0()g x '<，当(),x α∈+∞时,0()g x '>，
所以在()0,+∞上，min
()
()
g x g α=；由()0g α'=得：2
e
α
α=+,所以() 1
g αα=+，所以
()
() 2,3g α∈，
由于()*式等价于()k g α<，所以整数的最大值为2。