2019-2020年高三上学期第一次月考数学试卷

2019-2020年高三上学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．
上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．卷纸．．相应位置．．．．上．
1．已知集合，集合，则 .
2、已知其中，是实数，是虚数单位，则=_______．
3、若集合，，则的真子集的个数是 ▲ ．7
4．在平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，且，则 ．
5、已知条件：,条件:，则是的 条件. 充分不必要
6、将函数的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像
7．曲线在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ．
8、已知函数y ＝sin （）（＞0，0＜）的部分图象如图所示，
则的值为＿＿＿
9．不等式的解集是 ▲ ．
10．定义在R 上的函数f(x)= ，则f （xx ）的值为 ▲ ．0
11．如图为函数的图象，
为函数的导函数，则不等式的解集为______ ______．
答案
12．定义在实数集上的偶函数,满足,且在[-3,-2]上单调减，又
α、β是锐角三角形的三个内角，则与 的关系是__ ____.
(用表示) ．
13．若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是 ▲ ． 14给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是R ，值域是[0，]；
②函数的图像关于直线(k ∈Z)对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；
④ 函数在上是增函数。

o y
x
-33
则其中真命题是__
．①②③
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内
．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.
16． (本小题满分14分) 已知，：，：．
⑴ 若是的充分条件，求实数的取值范围；
⑵若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.
解：：，……..2分
⑴∵是的充分条件，
∴是的子集．……..4分
∴，得，∴实数的取值范围为．……..6分
⑵当时，：……..8分
依题意，与一真一假，……..9分
真假时，由，得．……..11分
假真时，由，得．……..13分
∴实数的取值范围为．……..14分
17．（本小题满分15分）设函数的定义域是，对于任意正实数恒有
，且当时，。

（1）求的值；
（2）求证：在上是增函数；
（3）求方程的根的个数。

.解：（1）令，则，…………………………2分
令，则，…4分
（2）设，则
当时， ……………………………………………6分
)()()()()(11
211212x f x x f x f x x x f x f >+=⨯=……………………………………9分 所以在上是增函数…………………………………………………10分
（3）的图像如右图所示
又4)44()16(,2)22()4(=⨯==⨯=f f f f
由在上单调递增，且 ，可得的图像大致形状如右图所示，由
图像在
内有1个交点，在内有2个交点，在内有2个交点，又，后面
的图像均在图像的上方。

故方程的根的个数为5
个………………………………………………15分
（说明：没有图像只给出结果且结果正确给3分）
18. (本小题满分15分) 如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个
图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市
政府大楼.设扇形的半径OM ＝R ，，当点位于何处时，图书馆的占
地面积最大，最大面积是多少？
解：设OB 与OM 之间的夹角为， 由题意可知，点M 为弧的中点，所以.
设OM 于BC 的交点为F ，则，. ……..4分
……..6分
所以2sin (cos sin )S AB BC R R R θθθ=⋅=-
，，
， ……..11分
所以当 ，即 时，S 有最大值.
即. ……..14分
答：当时，图书馆的占地面积最大，最大值为. ……..15分
19．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设，当a ＝1时，若对任意的x 1，x 2∈[1,e]（e 是自然对数的底数），，求实数b 的取值范围．
A B C D M O P Q F
19.（1）因为， 所以()()222222
222()1x a x a a a x ax a f x x x x x +---'=--==．………………………2分 ①若，，在上单调递增．
②若，当时，， 在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
③若，当时，， 在上单调递减；
当时，，在上单调递增．………7分
综上：①当时，在上单调递增．
②当时，在上单调递减，在上单调递增．
③当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，．
由（1）知，若，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 ．…………………………………………………9分
因为对任意的，都有成立，
问题等价于对于任意，恒成立，……………………11分
即对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
因为函数的导数在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，……………14分
所以，所以．………………………………………………16分
20．(本小题满分16分)已知奇函数的定义域为R ，且在上是增函数，是否存在实数m ，使
()()cos2142cos (0)f f m m f θθ-+->对所有都成立？若存在，
求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由。

解：∵是R 上的奇函数，且在上是增函数，
是R 上的增函数， ……..2分
于是不等式可等价地转化为 ……..4分
即 >, 即 ……..6分
设t =,则问题等价地转化为函数
g (t )=t 2－mt +2m －1=(t －)2－+2m －1在上的值恒为正，又转化为函数g (t )在上的最小值为正。

……..8分
∴当<0,即m <0时，g (0)=2m －1>0m >与m <0不符； ……..10分
当时，即时，g (m )=－+2m －1>04－2<m <4+2，
∴4－2<m ≤1 ……..13分 当,即m >1时，g ()=m >
∴m>1 ……..15分
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 ……..16分
另法(仅限当m能够解出的情况)：对于θ∈［0,］恒成立，等价于m>(1－c os2θ)/(2－c os θ) 对于θ∈［0,］恒成立
∵当θ∈［0,］时，(1－c os2θ)/(2－c osθ) ≤4－2，∴m>4－2。