2022-2023学年河南省南阳市六校高一年级下册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市六校高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知O 的半径为2，弦AB 的长等于半径，则劣弧 AB 的长为（）A ．
π
3
B ．
π2
C ．
2π3
D ．π
【答案】C
【分析】由弦长可确定 AB 所对圆心角，代入扇形弧长公式即可.【详解】 弦AB 的长等于半径， AB ∴所对的圆心角为π3， AB ∴的长为π2π
233
⨯=.故选：C.2．复数4i
13i
z =
-在复平面内对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算进行化简，从而得出对应点的坐标即可.【详解】(
)4i 13i
4i 3i 4
13i
z +=
=
=-
+-，
故对应点的坐标为()
3,1-，在第二象限.故选：B
3．已知0πα<<，且6
sin cos 3
αα+=，则sin cos αα-=（）
A ．
33
B ．
233
C ．
66
D ．
63
【答案】B
【分析】根据题意，求得12sin cos 03
αα=-<，得到sin 0,cos 0αα><，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由6
sin cos 3
αα+=，平方可得()22sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，
可得1
2sin cos 03
αα=-<，
因为0πα<<，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 0αα->，又由()2
4sin cos 12sin cos 3αααα-=-=，所以23sin cos 3
αα-=.故选：B.
4．如图，一个水平放置的平行四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为矩形A B C D ''''，若4A B ''=，
3B C ''=，则在原平行四边形ABCD 中，AD =（
）
A ．3
B ．32
C ．62
D ．9
【答案】D
【分析】根据斜二测画法规则把直观图还原为原图形即可求解.
【详解】在直观图A B C D ''''中，4A B ''=，3B C ''=，则3D E ''=，32A E ''=，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得3DE =，62AE =，所以229AD DE AE =+=.
故选：D.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2
1cos 2cos 22
A A -=且b c =，则
B =（）
A ．
π3
B ．
π
4
C ．
π6D ．
π12
【答案】A
【分析】利用降幂公式和二倍角公式进行化简，求出A 的值后即可求B .【详解】2
1cos 2cos
22
A A -=，()2
12cos 11+cos 22
A A --∴=
，
21+cos 22cos A A =-，()()2cos 1cos 10A A -+=，在△ABC 中，()0,π,cos 1A A ∈≠-.
1πcos ,,
23A A ==b c = ,
()1ππ23
B C A ==
-=.故选：A.
6．将函数()()π2sin 22f x x θθ⎛⎫=-< ⎪⎝
⎭图象上各点的横坐标缩小为原来的1
2，再将所得图象向右平
移π
6
个单位长度得到一个偶函数()g x 的图象，则()f x 的零点为（）A ．()ππ
62k k -+∈Z B ．()ππ
64k k -+∈Z C ．()ππ
122
k k -
+∈Z D ．()ππ
124
k k -
+∈Z 【答案】C
【分析】由图象变换可得()2π2sin 43g x x θ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦，根据题意结合诱导公式可得π6θ=-，以π26x +
为整体，结合正弦函数求零点.
【详解】将函数()f x 图象上各点的横坐标缩小为原来的1
2，得到()2sin 4y x θ=-，再将所得图象向右平移
π6个单位长度，得到()π2π2sin 42sin 463g x x x θθ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦，
因为()g x 为偶函数，则
()1112πππ
21π,322
k k k θ+=+=+∈Z ，解得11ππ,6k k θ=-∈Z ，
又因为ππ,22θ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则1π0,6k θ==-，
所以()π2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令π
2π,6
x k k +
=∈Z ，解得ππ,122k x k =-+∈Z ，
即()f x 的零点为()ππ
122
k k -+∈Z .故选：C.
7．已知某正四棱台上底面的边长为22，下底面的边长为42，外接球的表面积为80π，则该正四棱台的体积为（）
A ．224
B ．112
C ．224或
2243
D ．112或
1123
【答案】D
【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心MN ，分球心在线段MN 上和延长线上两种情况考虑，利用勾股定理可求出正四棱台的高，近一步计算即可.【详解】根据题意，球心位置分为两种情况：(1)若球心位置在几何体内，
如图所示：设O 为外接球球心，R 为外接球半径，则1OC OC R ==,
又上底面是边长为22的正方形，故11
12,2
A C MC ==下底面的边长为42的正方形，故4,2
AC
NC =
=外接球的表面积为24π80π,R =所以25,R =125,OC OC R ===则22112044,OM OC MC =-=-=2220162,
ON OC NC =-=-=所以正四棱台的高6,
h MN OM ON ==+=正四棱台的体积11
()6(832832)112,
33V h S S SS '=⨯⨯++=⨯⨯++⨯='(2)当球心在MN 的延长线上时，正四棱台的高2,h OM ON =-=则正四棱台的体积11112
()2(832832),333
V h S S SS =⨯⨯++=⨯⨯++⨯=
''故选：D.
8．已知△ABC 中，sin sin 2π
33
,A B ACB ∠==::
，且△ABC 的面积为63，则△ABC 的边AB 上的中线长为（）
A ．
3192
B ．19
C ．32
D ．33
【答案】B
【分析】根据题意利用正弦定理可得:2:3a b =，结合面积公式可得4,6a b ==，再根据向量可知
1122
CD CA CB =+
，结合数量积的运算律求模长.
【详解】由正弦定理可得：sin :sin :2:3A B a b ==，设2,3,0a k b k k ==>，由面积公式1sin 2ABC S ab C = ，即2
133********
k k k ⨯⨯⨯==，解得2k =，则4,6a b ==，
设边AB 上的中线为CD ，则1122
CD CA CB =
+
，
可得2221111111
366416194244224
CD CA CA CB CB =+⋅+=⨯+⨯⨯⨯+⨯
=uuu r uur uur uur uur ，即19CD =uuu r
.
故选：B.
二、多选题
9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥
B ．若m α⊥，m n ∥，αβ⊥，则n β∥
C ．若αβ∥，n β⊥，m α∥，则m n ⊥
D ．若αβ⊥，m β⊥，n α⊥，则m n ⊥【答案】CD
【分析】根据线面位置关系逐项判断即可求解.
【详解】A 项，α，β可平行，可相交，故A 项错误；
B 项，由m α⊥，m n ∥，可得n α⊥，又αβ⊥，所以n 与β可能平行，还可能n β⊂，故B 项错误；
C 项，由于αβ∥，n β⊥，所以n α⊥，又m α∥，所以m n ⊥，故C 项正确；
D 项，由αβ⊥，m β⊥，可知m α∥或m α⊂，又n α⊥，所以m n ⊥，故D 项正确；故选：CD.
10．已知复数3i z =+，则下列说法正确的是（
）
A ．z 的虚部为i
B ．2023i 13
i
44
z =--C ．()
213i z z =-D ．若01z =，则0z z -的最小值是1
【答案】BCD
【分析】根据复数的概念，可判定A 不正确；根据复数的运算法则，可判定B 、C 正确；根据复数的几何意义，可判定D 正确.
【详解】由复数3i z =+，可得复数z 虚部为1，所以A 不正确；由复数2023i i i(3i)13
i 443i (3i)(3i)
z ---===--++-，所以B 正确；由复数2232i z =-，()()(
)
13i 13i
3i 232i z -=-+=-，所以C 正确；
由复数01z =，可得复数0z 在复平面内表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，如图所示，又由复数3i z =+在复平面内对应点(3,1)Z ，可得2OZ =，所以0z z -的最小值为11OZ -=，所以D 正确.故选：BCD.
11．如图，正三棱锥-P ABC 的底面边长是侧棱长的2倍，E ，F ，H 分别是AB ，AC ，BC 的中点，D 为PH 的中点，且EF AH O ⋂=，则下列结论中正确的是（
）
A ．平面PAH ⊥平面ABC
B ．平面PEF ⊥平面PAH
C ．平面PEF ⊥平面ABC
D ．平面EFD ⊥平面PBC
【答案】ABD
【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断即可.
【详解】选项A ，因为H 是BC 的中点，在等腰三角形PBC 中，PH BC ⊥，在等腰三角形ABC 中，
AH BC ⊥,又因为AH PH H ⋂=,,PH AH ⊂平面PAH 中，所以BC ⊥平面PAH ,因为BC ⊂平面ABC ,所以平面PAH ⊥平面ABC ，故A 正确；
选项B ，因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ,所以EF ⊥平面PAH ,因为EF ⊂平面PEF ,所以平面PEF ⊥平面PAH ，故B 正确；
选项C ，由已知条件可知PE PF =,O 为EF 的中点，则PO EF ⊥,若平面PEF ⊥平面ABC ，则PO ⊥平面ABC ,根据正三棱锥的结构特征可知点P 在底面ABC 内的射影是三角形ABC 的中心，同时也是AH 的三等分点，而此处O 为AH 的中点，故C 错误；
选项D ，连接OD ，,O D 分别为,AH PH 的中点，所以OD ∥AP ,因为正三棱锥-P ABC 的底边长为侧棱的2倍，所以三棱锥-P ABC 的侧面均为等腰直角三角形，
所以PA PB ⊥，PA PC ⊥，因为PB PC P ⋂=,,PB PC ⊂平面PBC ,所以PA ⊥平面PBC ,所以OD ⊥平面PBC ,又因为OD ⊂平面EFD ,所以平面EFD ⊥平面PBC ，故D 正确；故选：ABD .
12．已知函数()()()2cos cos 2sin 2cos 22f x x x x ϕϕϕ=++-+，则（
）
A ．()f x 的图象关于点3π,08⎛⎫
⎪⎝⎭中心对称
B ．()f x 的值域为[]22-,
C ．满足()f x 在区间[](),0m m m ->上单调递增的m 的最大值为π
8
D ．()1f x =在区间π11π,88⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的所有实根之和为
5π2【答案】ACD
【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()π2sin 24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；利用代入检
验法可知A 正确；根据正弦型函数值域可知B 错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得m 范围，知C 正确；将问题转化为πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与2
2
y =交点横坐标之和的问题，由对称性可求得
D 正确.【详解】
()[]2cos cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2f x x x x x x ϕϕϕϕϕ=-+-+()cos 21cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2x x x x x ϕϕϕϕ
=+-+-+πcos 2sin 22sin 24x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭；
对于A ，当3π
8x =时，π3ππ2π444
x +=
+=，此时()2sin π0f x ==，()f x \的图象关于点3π,08⎛⎫
⎪⎝⎭中心对称，A 正确；
对于B ，[]πsin 21,14x ⎛
⎫+∈- ⎪⎝⎭
，()f x \的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，B 错误；
对于C ，若()f x 在[],m m -上单调递增，则()ππ22π42
ππ22π42m k k m k ⎧-+≥-+⎪⎪∈⎨
⎪+≤+⎪⎩Z ，解得：()3ππ8
ππ8m k k m k ⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩Z ，又0m >，3π
π08ππ0
8k k ⎧->⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得：1388k -<<，
0k ∴=，π08
m ∴<≤
，则m 的最大值为π
8，C 正确；
对于D ，令()1f x =，则π2sin 242
x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
；
当π11π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()π20,3π4x +∈，
作出πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与2
2
y =
的图象如下图所示，
πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭与22
y =的交点1234,,,x x x x 即为方程()1f x =的根，
由对称性可知：12π
4+=x x ，349π4
x x +=，
1234π9π5π442
x x x x ∴+++=
+=，D 正确.故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解；本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果.
三、填空题
13．已知向量()()1,2,1,1,2a b c a b λ==-=+ ，若c b ⊥
，则c =
．
【答案】62
【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得4λ=，进而可求模长.
【详解】由题意可得()22,22c a b λλλ=+=+-r r r
，
若c b ⊥
，则()()()1212240λλλ⨯++-⨯-=-+=，解得4λ=，
所以()6,6c =r ，则22
6662c =+=r .
故答案为：62.
14．已知函数()πtan 204y ax a ⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π2，则函数tan 1y ax =-的定义域为
．
【答案】πππ,π,42k k k ⎡
⎫++∈⎪⎢⎣
⎭Z
【分析】根据正切型函数的周期可得1a =，再令tan 10x -≥，结合正切函数求定义域.【详解】由题意可得：ππ
22
T a =
=，且0a >，解得1a =，对于函数tan 1y x =-，令tan 10x -≥，即tan 1x ≥，解得ππ
ππ,42
k x k k +
≤<+∈Z ，所以函数tan 1y x =-的定义域为πππ,π,42k k k ⎡
⎫++∈⎪⎢⎣
⎭Z .
故答案为：πππ,π,42k k k ⎡
⎫++∈⎪⎢⎣
⎭Z .
15．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()(),30P m m m -≠是角α终边上的
一点，则()()
()sin 2π3cos π9π2sin sin 7π2αααα-+-=
⎛⎫
-+++ ⎪⎝⎭
．
【答案】6
-【分析】先利用三角函数的定义求得sin α和cos α，再根据诱导公式化简求解即可.
【详解】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()(),30P m m m -≠是角α终边上的一点，所以()
2
23310sin 103m m
m m m α-=
=-
+-，()
2210cos ,sin 3cos ,10103m m m m m m m ααα====-+-，所以()()()sin 2π3cos πsin 3cos 3cos 3cos 6
9π2cos sin 2cos 3cos 2sin sin 7π2αααααααααααα-+----===----+⎛⎫
-+++ ⎪⎝⎭
，故答案为：6
-四、双空题
16．已知向量,a b
满足3,2a b == ，则a b a b ++- 的最小值是
，最大值是．
【答案】6213
【分析】利用向量数量积运算律可得到1312cos a b θ+=+ ，1312cos a b θ-=-
，令
1312cos 1312cos t θθ=++-，平方后可求得2t 的范围，进而得到t 的范围，即可求得所求最值.【详解】设,a b
的夹角为θ，22
221312cos a b a b a a b b θ+=+=+⋅+=+ ，22
221312cos a b a b a a b b θ-=
-=
-⋅+=- ，
1312cos 1312cos a b a b θθ∴++-=++-
，
令1312cos 1312cos t θθ=++-，则0t ≥且22262169144cos t θ=+-，
[]2cos 0,1θ∈ ，[]2169144cos 25,169θ∴-∈，[]236,52t ∴∈，6213t ∴≤≤，即a b a b ++-
的最小值为6，最大值为213.
故答案为：6；213.
五、解答题
17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1BC CC =，点D 是AC 的中点．
(1)求证：1//AB 平面1BC D ，
(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为6，求四面体11A C BD 的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2
【分析】（1）连接1B C 交1BC 于点O ，可得1//DO AB ，利用线面平行的判断定理可得答案；（2）设1BC CC a ==，AC b =，利用三棱柱111ABC A B C -的体积为6可得212a b =，
再由111121136
B A
C
D A C D V S BC a b -=⨯= 可得答案.【详解】（1）连接1B C 交1BC 于点O ，连接DO ，因为11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 的中点，可得DO 为1ACB 的中位线，所以1//DO AB ，
因为DO ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，1//AB 平面1BC D ；
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥，因为AC BC ⊥，1CC AC C =I ，1CC AC ⊂、平面11ACC A ，
所以BC ⊥平面11ACC A ，点D 是AC 的中点，
设1BC CC a ==，AC b =，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为
21111622
ABC V S C AC BC C a C b C =⨯=⨯=⨯= ，可得212a b =，所以11112111111123326
B A
C
D A C D V S BC A C C BC C a b -=⨯=⨯⨯=⨯= .
18．如图，在ABC 中，2,CD DB AE EC == ．
(1)用AB ，AD 表示AC ，BE ；
(2)若点M 满足1324AM AB AC =-+ ，证明：B ，M ，E 三点共线．【答案】(1)23AC AB AD =-+ ，BE 322
AB AD =-+ (2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.
（2）利用三点共线的判定证明即可.
【详解】（1）因为2,CD DB AE EC == ，
3AC AB BC AB BD
=+=+ ()
323AB AD AB AB AD =+-=-+ ，12
BE BA AE AB AC =+=-+ ()111222AB BC BA AB BC =-+-=-+ ()1111332222AB BD AB AD AB =-+⨯=-+⨯- 322AB AD =-+ .（2）由1324AM AB AC =-+ ，可得131322422AM AB AE AB AE =-+⨯=-+ ，所以23AM AB AE =-+ ，()
2AE AB AM AE -=- ，即2BE EM = ，所以B ，M ，E 三点共线.
19．已知复数12sin 3i z θ=-，()212cos i z θ=+，π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．(1)若12z z ⋅为实数，求θ的值；
(2)设复数12,z z 在复平面内对应的向量分别是,a b ，若()()
22a b a b -⊥- ，求πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值．【答案】(1)π3θ=(2)3
5
【分析】（1）根据题意，由复数的运算将12z z ⋅化简，然后由12z z ⋅为实数列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由()()
22a b a b -⊥- 列出方程即可得到πsin 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由同角的平方关系，即可得
到结果.
【详解】（1）因为12sin 3i z θ=-，()212cos i z θ=+，所以()()122sin 3i 12cos i z z θθ⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦
()()
2sin 23cos 4sin cos 3i θθθθ=++-，且12z z ⋅为实数，所以4sin cos 30θθ-=，即3sin 22
θ=，又因为π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23π35,θ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∈，所以2π23θ=，则π3θ=.（2）由题意可得，()2sin ,3a θ=- ，()1,2cos b θ= ，因为()()
22a b a b -⊥- ，所以()()22022225a b a a b b a b ⋅=+---⋅= ，即()()()2224sin 3214cos 52sin 23cos 0θθθθ+++--=，化简可得8sin 3cos 5θθ-=，所以π4sin 35θ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，又因为π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,362θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2ππ3cos 1sin 335θθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.20．将函数sin y x =的图象向左平移
π6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的()1N ωω
*∈，纵坐标不变，得到函数()f x 的图象，已知()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴．
(1)求π()6
f -；(2)求()f x 在[]0,π上的单调区间．
【答案】(1)1
2
-(2)递增区间为π[0,]6和2π[,π]3，递减区间为π2π[,]63.【分析】（1）根据三角函数的图象变换得到()sin(π)6
f x x ω=+，再由()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴，求得41436ω≤<，得到2ω=，得出()πsin(2)6f x x =+，即可求得π()6
f -的值；（2）由[]0,πx ∈，可得ππ13π[,]6662x +
∈，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）解：将函数sin y x =的图象向左平移
π6个单位长度，得到函数πsin()6y x =+，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1ω，纵坐标不变，得到()sin(π)6
f x x ω=+，因为[]0,πx ∈，可得πππ[,π]666x ωω∈++，又因为()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴，则满足3ππ5ππ262ω+≤<，解得4733
ω≤<，因为N ω*∈，所以2ω=，所以()πsin(2)6f x x =+，则πππππ1()]sin(sin[2()sin 666)662
f =--=-=-=-+.（2）解：由函数()πsin(2)6
f x x =+，又由[]0,πx ∈，可得ππ13π[,]6662x +
∈，当πππ2662
x ≤+≤时，即π06x ≤≤时，函数()f x 单调递增；当ππ3π2262x ≤+≤时，即π2π63
x ≤≤时，函数()f x 单调递减；当63ππ13π262x ≤+≤时，即2ππ3x ＃时，函数()f x 单调递增，
所以函数()f x 的单调递增区间为π[0,]6和2π[,π]3，单调递减区间为π2π[,]63.21．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6a B b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭．(1)求A ；
(2)若2a =，求bc 的取值范围．
【答案】(1)π3
A =(2)8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于π消去角C ，然后通过两角和差的正弦公式展开化简即可求解；
（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得8π4sin 2363
bc B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合角A 的范围和正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）已知π2sin 6a B b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，由正弦定理可得π2sin sin sin sin 6A B B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即312sin sin cos sin sin()22A B B B A B ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭
，
整理得3sin sin sin cos sin A B B A B =+，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以3sin cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，又()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以ππ66
A -=，即π3A =.（2）由（1）知π3A =，又2a =，由正弦定理，得4sin sin sin 3a b c A
B
C ===，所以44sin ,sin 33b B c C =
=，所以161621631sin sin sin sin πsin cos sin 333322bc B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()
216318π4sin 21cos sin 2344363B B B ⎡⎤⎛⎫=+-=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，在锐角ABC 中，2ππ0ππ32π6202C B B B ⎧<=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩，则ππ5π2666B <-<，当ππ262B -
=时，πsin 216B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当ππ266B -
=时，π1sin 262B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π61sin 212B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝
⎭，则843bc <≤，故ABC 的周长的取值范围为8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦
.22．如图，圆锥PO 的体积8π3
V =
，点A ，B ，C ，D 都在底面圆周上，且AB CD O = ，AB CD ⊥，AB ＝4，E 为PB
的中点．(1)求圆锥PO 的侧面积；
(2)求直线CE 与平面PCD 所成角的余弦值．
【答案】(1)42π(2)30
6
【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出PO 的长，从而求出圆锥的母线长，即可求出圆锥的侧面积；（2）易得AB ⊥平面PCD ,从而过E 作AB 的平行线，即面PCD 的垂线，从而得到ECF ∠即线面角，然后利用勾股定理求出各边长度即可.
【详解】（1）AB ＝4，且AB CD O = ，所以底面圆的半径122
R AB ==,圆锥PO 的体积22118ππ=π2,333
V R PO PO =⋅⨯⨯=2,PO ∴=圆锥母线长2222,l PB PO OB ==+=所以圆锥PO 的侧面积π42πS Rl ==；
（2）
取PO 中点为F ，且E 为PB 的中点．所以1,12
EF OB EF OB ==∥,圆锥PO 可知，PO ⊥平面ABCD ,PO AB ∴⊥，且AB CD ⊥，PO CD O = ,所以AB ⊥平面PCD ,
,B EF A ∥所以EF ⊥平面PCD ，所以ECF ∠即直线CE 与平面PCD 所成角.2225CF OF OC =+=，2226CE CF EF =+=，故530cos 66
CF ECF CE ∠===.故答案为306.。