2009-2010高三一模理科试卷

朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）
数学学科测试（理工类） 2010.4
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分
第I 卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数1i
1i 2
++等于
（A ）1i 2+ （B ）1i
2
- （C ）－21 （D ）21
（2）右图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两 名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的 一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选
手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有
（A ）a 1>a 2 （B ）a 2>a 1
（C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关
（3）下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
π
=
x 对称的是 （A ）sin(2)6π=+y x （B ）sin()23π
=+x y
（C ）sin(2)3π=-y x （D ）sin(2)6
π
=-y x
（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方 形；③圆；④椭圆. 其中正确的是 （A ）①② （B ） ②③ （C ）③④ （D ） ①④
（5）在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数2
2
()2π=+-+f x x ax b
079
54551844647
93m
甲 乙
有零点的概率为 （A ）
78 （B ）34 （C ）12 （D ）14
（6）已知点(3,4)-P 是双曲线22
221 (0, 0)x y a b a b
-=>>渐近线上的一点，,E F 是左、
右两个焦点，若0EP FP ⋅=
，则双曲线方程为
（A ）
22134x y -= （B ）22
143x y -= （C ）
221916x y -= （D ）22
1169x y -= （7）设m i n {, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221
()min{3log , log }2
f x x x =- ，则满足()1f x <的x 的集合为
（A ） （B ）(0, +)¥ （C ）(0, 2)(16,)+?U （D ）1
(, )16
+?
（8）一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC D AC B --的
余弦值为
1
3
，则下列论断正确的是 （A ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π （B ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π
（C ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 （D ）不存在这样的球使得空间四边形ABCD 的四个顶点在此球面上
第II 卷（非选择题 共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长
为 ． （10）圆422=+y x 被直线
0323=-+y x 截得的劣弧所对的圆心角的大小
为
.
（11）已知向量 1)，θ=a ，(1 cos )，θ=b ，则⋅a b 的最大值为 .
（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C
的切线交AB
的延长线于点D ，CD =3AB BC ==.则BD 的长为 ；AC 的长为 ．
（13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .
（14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后
每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一
个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ， 则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次 生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C π=
，sin A =. （Ⅰ）求sin B 的值；
（Ⅱ）若5c a -=，求ABC ∆的面积.
(16) （本小题满分13分）
在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是
13，1
2
.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.
（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期
望．
(17) （本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，
D 为底边AB 的中点，
E 为侧棱1CC 的中点.
（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；
（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.
(18)（本小题满分13分）
已知函数3
22()(1)3
mx f x ax b x =++-，, , m a b ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；
（Ⅱ）当1m =时，若函数()f x 是R 上的增函数，求z a b =+的最小值； （Ⅲ）当1a =
，b =
()f x 在(2, )+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范
围．
(19)（本小题满分13分）
已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
12，且经过点3
(1, )2
-，过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求直线l 的方程以及点M 的坐标；
（Ⅲ）是否存在过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2
PA PB PM ⋅= ？
若存在，求直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．
(20)（本小题满分14分）
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{}n a 是调和数列，对于各项都是正数的数列{}n x ，满足12
12n n n a
a
a n n n x x x ++++==()n *∈N ．
（Ⅰ）证明数列{}n x 是等比数列；
（Ⅱ）把数列{}n x 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表，当378, 128x x ==时，求第m 行各数的和； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{}n x ，证明：12231111
1231112
n n x x x n n x x x +----<+++<--- ．
（考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）
12345678910 x x x x x x x x x x
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）
数学测试（理工类）答案 2010.4
一、选择题:
三、解答题:
(15
) 解：（Ⅰ）因为34C π=
，sin 5
A =，
所以cos A ==由已知得4
B A
π
=
-.
所以sin sin(
)sin
cos cos
sin 4
4
4
B A A A π
π
π
=-=-
252510=
⋅-=
. …………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=
，所以 sin 2C =且sin B = 由正弦定理得
sin A sin a c C ==又因为5c a -= 所以 5c =，a =
所以15sin 522ABC S ac B ∆=
==. …………………………13分
(16) （Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A .
由题意， 得122()339
P A =
⨯=． 答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是
2
9
． …………………… 5分
（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则
212125
(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，
211121
(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=，
1122
(2)33327P ξ==⨯⨯=，
1111
(3)33327
P ξ==⨯⨯=．
所以，x 的分布列为：
x 的数学期望012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………… 13分
(17) 解法一：证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .
因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点, 所以 OD ∥1BB 且11
2
OD BB =
.又E 是1CC
所以 EC ∥1BB 且11
2
EC BB =,
所以 EC ∥OD 且EC OD =.
所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .
因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以CD ⊥平面11A ABB .
由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .
因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.
又1EO A B O = ，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,
所以1AB ⊥平面1A BE . ………………………………………10分
（Ⅲ）解: 取11AC 中点
F ，连接1, B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，
所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C .
因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11AC 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A .
所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AAC C 所成角.
111sin B F BE F B E ∠=
=
…………………………………………14分 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系. 设边长为2，可求得(0,0,0)A ，(0,2,0)C 1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，,0)B ，1B (0,2,1)E ，1,0)2D ，1
,1)2
O . （Ⅰ）易得，3
,0)2
CD =- ， 3
(,0)22
EO =- . 所以CD EO = ， 所以EO ∥CD .
又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分
（Ⅱ）易得，1,2)AB =
，1,2)A B =- ，1(0,2,1)A E =-
所以11110, 0AB A B AB A E ⋅=⋅= .
所以1111, .AB A B AB A E ⊥⊥
又因为111A B A E =A ，111,A B A E A BE ⊂平面，
所以1AB ⊥平面1A BE . …………………………………………… 10分 （Ⅲ）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)x y z =n ,
因为(0,0,0)A , (0,2,0)C ,1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，
所以1(0,2,0), (0,2,2)AC AC ==
，1(,1)B E =-
.
由 10,0,AC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n 得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z ì=ïïí
ï=ïî 不妨令(1,0,0)=n ，设直线1B E 与平面11AAC C 所成角为α．
所以111sin cos ,B E B E B E
α⋅=<>==
=⋅ n n n . 所以直线1B E 与平面11AAC C
． ………………………14分 (18)（Ⅰ）解：2
2
()2(1)f x mx ax b '=++-． …………………………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立.
则有22
44(1)0a b ∆=--≤，即2
2
1a b +≤．
设cos ,sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数，01r ≤≤），
则(cos sin )sin()4
z a b r π
θθθ=+=+=+.
当sin()14
π
θ+
=-，且1r =时，z a b =+
取得最小值
（可用圆面的几何意义解得z a b =+
的最小值 ………………………8分
（Ⅲ）①当0m >时，2
()21f x mx x '=+-是开口向上的抛物线，显然()f x '在(2, )+∞上
存在子区间使得()0f x '>，所以m 的取值范围是(0, )+∞．
②当0m =时，显然成立．
③当0m <时，2()21f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上
存在子区间使()0f x '>，应满足 0, 12, 1()0,m m f m
≥<-'-> 或0,
12,(2)0. m m f <⎧⎪⎪
-<⎨⎪'>⎪⎩
解得102m -
<≤，或31
42
m -<<-，所以m 的取值范围是3(, 0)4-．
则m 的取值范围是3
(, )4
-+∞． …………………………………………13分
(19)解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.
a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩
解得2
4a =，2
3b =，故椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．
由22
1,43
(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
得222
(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以2
2
2
[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=. 整理，得32(63)0k +=. 解得12
k =-
． 所以直线l 方程为11
(2)1222
y x x =--+=-+． 将12k =-
代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3
(1, )2
．……9分 （Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得
22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．
因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为
1122(,),(,)x y x y ，
所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>． 所以112
k >-
． 又1112218(21)34k k x x k -+=+，211122
1
16168
34k k x x k --=+， 因为2PA PB PM ⋅= ，即12125
(2)(2)(1)(1)4
x x y y --+--=，
所以22
1215(2)(2)(1)||4x x k PM --+==．
即 2
121215[2()4](1)4
x x x x k -+++=，
所以222
111111
222111161688(21)445[24](1)3434344
k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得112k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以11
2
k =
. 于是存在直线1l 满足条件，其方程为1
2y x =
． …………………………13分 (20)解：（Ⅰ）证明：因为1
2
1
2n n n a a
a n n n x x x ++++==，且数列{}n x 中各项都是正数，
所以 1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x ++++==． 设1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x p ++++===， ① 因为数列{}n a 是调和数列，故0n a ≠，
12
211
n n n a a a ++=+
． 所以，
12
2n n n p p p
a a a ++=+
． ② 由①得
1212
lg , lg , lg n n n n n n p p p x x x a a a ++++===，代入②式得， 所以12 2lg lg lg n n n x x x ++=+，即2
12 lg lg()n n n x x x ++=.
故212 n n n x x x ++=，所以数列{}n x 是等比数列． …………………………5分
（Ⅱ）设{}n x 的公比为q ，则437x q x =，即4
8128q =．由于0n x >，故2q =．
于是333822n n n n x x q --==⨯=． 注意到第 (1,2,3,)n n = 行共有n 个数，
所以三角形数表中第1行至第1m -行共含有(1)
123(1)2
m m m -++++-=
个数. 因此第m 行第1个数是数列{}n x 中的第2(1)2
122
m m m m --++=项. 故第m 行第1个数是222
2
22
2
m m m m x -+-+=，
所以第m 行各数的和为22
2
22
2
2
(21)
2
(21)21
m m m
m m m m S -+-+-=
=--． ………… 9分
（Ⅲ）因为2n
n x =，所以
11121211
11212
2(2)2
k k k k k k x x ++---==<---. 所以
122311111111112222
n n x x x n
x x x +---+++<+++=--- ． 又 11
11211112122(21)
k k k k k x x +++--==----， 1111123222232k k k
≥=
--⋅⋅+-(1,2,3,,)k n = ， 所以
2122311111111111()[()()]1112223222
n
n n x x x x x x ≥+---++++++-+++--- 11
[1()]
11112
2[1()]1232322312
n n n n n -=-⋅=-⋅->--. 所以 12231111
1231112
n n x x x n n x x x +----<+++<--- ． ………………………14分。