拉压杆的变形与变形能-5

§2-5拉伸或压缩时的变形
1．沿杆件轴线的轴向变形
如图2-23，设等直杆的原长为，横截面面积为。

在轴向力l A P 作用下，长度由l 变为。

杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为
1l
l l l −=Δ1 （1）
由于杆内各点轴向应力σ与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长除以原长l ：
l Δl l Δ=
ε （2） 由εσE =得
l
l E A N Δ= 所以
EA
Pl EA Nl l ==Δ （2-6） 式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l Δ与拉力P 和杆件的原长度l 成正比，与横截面面积成反比。

这是胡克定律的另一种表达形式。

式中是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA 越大，则变形越小，将EA 称为抗拉（压）刚度。

A EA 2．横向变形
若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为，变形后相应尺寸变为，则横向变形为 b 1b
b b b −=Δ1横向线应变可定义为
b
b Δ=′ε 由实验证明，在弹性范围内
με
ε=′ （2-7） μ为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。

由于μ为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号ε
εμ′−=，称为泊松比或横向变形系数。

ε′与ε的关系为
μεε−=′ （2-8）
3
()()x N
x e σγ0 ()A dA A σσγ+=+在处0=x 0A A =即：按指数函数变化。

A 例2-6 图2-25所示为变截面杆，已知BD 段
cm 21=A 2，DA 段42=A cm 2，kN ，
kN 。

求AB 杆的变形5=AB l 1P 102=P Δ。

（材料的
MPa ）
310120×=E 解：首先分别求得BD 、DC 、CA 三段的轴力，N ，
为
1N 23N 51−=N kN ；52−=N kN ；53=N kN
44
9311111005.1102101205.0105−−×−=×××××−==Δ=ΔEA l N l l BD （m ） 449322221052.010
4101205.0105−−×−=×××××−==Δ=ΔEA l N l l DC （m ） 449333331052.010
4101205.0105−−×=×××××==Δ=ΔEA l N l l CA
（m ） 43211005.1−×−=Δ+Δ+Δ=Δl l l l AB （m ） AB l Δ的负号说明此杆缩短。

变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明
确，如例2-6中因为0=A δ，则B AB l δ=Δ。

对
于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使
变形和位移之间还应满足一定的几何关系。

例2-7 图2-26a 所示杆系结构，已知BC 杆圆截
面mm ，BD 杆为8号槽钢，
[]20=d 160=σMPa ，GPa ，kN 。

求B 点的位移。

200=E 60=P 解：（1）计算轴力，取节点B （图b ）
由，得
0=∑X 0cos 12=−N N α （1）
由，得
0=∑Y 0sin 2=−P N α （2）
所以
kN 752=N （压）
kN 451=N （拉）
（2）计算变形 由BC ：CD ：5:4:3=BD ，得22==l BD m 。

BC 杆圆截面的面积，BD 杆为8号槽钢，由型钢表查得截面面积，由胡克定律求得
261m 10314−×=A 262m 101020−×=A 3693111111086.010
314102002.11045−−×=×××××==Δ=EA l N l BB （m ） 36932222210732.010
10201020021075−−×−=×××××==Δ=EA l N l BB （m ） 1）确定B 点位移。

已知
1l ΔBC 杆伸长变形后变为B 1C ，BD 交于B 3。

B 33BB 即为B 点的位移。

三边的长度比为5:4:3m 1056.14
)5(53122−×=+×+×=l l l ΔΔΔ B 点的水平位移
m 1086.0311−×=Δ=l BB
最后求出位移3BB 为
m 1078.1)()(3212313−×=+=BB B B BB
轴向拉（压）杆件的变形能
变形能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。

对于始终处于静力平衡状态的物体，如果物体的变形处于弹性范围内，则原来慢慢施加的外力对变形体所作的外力功W 几乎全部转化为物体的弹性变形能U ，则由能量守恒原理：
W U = （1）
下面以图2-27来讨论轴向拉伸或压缩的变形
能。

对轴向拉压（杆），拉力P 作功为
l P W Δ2
1=
（2） 所以，由胡克定律EA Pl l =Δ，得 EA
l P l P W U 2212===Δ （2-10） 定义比能（或应变能密度）u 为单位体积的变形能，即
σε212=Δ=Al l P =
V U u （2-11）
由胡克定律εσE =，则得 E
22σE u 2212εσε=== 单位为焦/米3，J/m 3。

例2-9 简易起重机如图2-28所示。

BD 撑杆为无缝钢
管，外径90mm ，壁厚2.5mm ，杆长。

弹性模
量。

BC 是两条横截面面积为172mm m 3=l GPa 210=E 2的
钢索，弹性模量。

若不考虑立柱的变形，
试求B 点的垂直位移。

设GPa 1771=E kN 30=P 。

解：从三角形BCD 中解出BC 和CD 的长度分别为
m 20.21==l BC ， m 55.1=CD
算出BC 和BD 两杆的横截面面积分别为
21mm 3441722=×=A ()
222mm 68785904=−=πA 由BD 杆的平衡方程，求得钢索BC 的拉力为
P N 41.11=
BD 杆的压力为
P N 93.12=
当载荷P 从零开始缓慢地作用于由BC 和BD 两杆组成的简单弹性杆系上时，P 所作的功是 它在数值上应等于杆系的叺形能，亦即等于BC 和BD 两杆变形能的总和。

故
221122222
2121A E l N A E l N P +=δm 1048.4p 1093.1438−−×=×=δ1 将各数值代入，由此求得
关于用能量法求复杂结构的位移将在以后详细讨论。