河北省唐山市2013届度高三上学期期末考试答案数学理 含答案

唐山市2012—2013学年度高三年级期末考试
理科数学参考答案
一、
选择题：
A 卷：CCDAD ADCB
B CA B 卷:ACDB
C ADCAB DA
二、填空题:
（13）18 （14）错误! （15）错误! （16)－70错误!
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）sin A ＋错误!cos A ＝2sin B 即2sin （A ＋错误!)＝2sin B ，则sin (A ＋错误!)＝sin B ．…3分
因为0＜A ，B ＜,又a ≥b 进而A ≥B ，
所以A ＋ 3＝－B ,故A ＋B ＝2
3
，C ＝错误!．
…6分
(Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得
错误!＝错误!＝错误![sin A ＋sin (A ＋错误!）]＝错误!sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋错误!）．…10分
当A ＝错误!时,错误!取最大值2． …12分
（18)解：
(Ⅰ）样本数据的平均数为：
175×0.05＋225×0.15＋275×0。

55＋325×0。

15＋375×0.1＝280．
因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天． …5分
（Ⅱ）依题意，X ~B （3，1
10
）．
X 的可能值为0，1，2，3．
P （X ＝0）＝（错误!）错误!＝错误!，P （X ＝1)＝C 错误!×错误!×（错误!)错误!
＝错误!，
P (X ＝2）＝C 2，3×（错误!）错误!×错误!＝错误!,P （X ＝3）＝（错误!)错误!＝错误!． …9分
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
错误! 错误! 错误! 错误!
…10分
数学期望E （X ）＝3×1
10＝错误!(件）．
…12分 （19)解:
（Ⅰ）由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1．
又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1,所以AB ⊥平面BB 1C 1C , 又AB 平面AA 1B 1B ，所以平面AA 1B 1B ⊥BB 1C 1C ． …4分
（Ⅱ)由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点,连结CO ,则CO ⊥BB 1．
由（Ⅰ）知，CO ⊥平面AB 1B 1A ．建立如图所示的坐标系O -xyz ． 其中O 是BB 1的中点,Ox ∥AB ,OB 1为y 轴，OC 为z 轴．
设AB ＝2,则A （2，－1，0),B （0，－1,0）,C （0，0，错误!），A 1（2，1,0)．
C
B 1
O C 1
A 1
z y
x
A
错误!＝(－2，0，0），错误!＝（－2，1，错误!)，错误!＝(0,2，0）．
…6分
设n1＝(x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则n1·错误!＝0，n1·错误!＝0，
即错误!取z1＝－1,得n1＝(0，错误!,－1)．…8分
设n2＝（x2，y2，z2)为面ACA1的法向量，则n2·错误!＝0,n2·错误!＝0，
即错误!取x2＝错误!，得n2＝(错误!，0，2）．…10分
所以cos n1，n2＝错误!＝－错误!．
因此二面角B-AC-A1的余弦值为－
7
7
．…
12分
（20）解：
（Ⅰ)设圆F的方程为（x－1）2＋y2＝r2（r＞0）．
将y2＝4x代入圆方程,得(x＋1）2＝r2，所以x＝－1－r（舍去)，或x＝－1＋r．
圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r＝0,即r＝1．故所求圆F的方程为(x－1)2＋y2＝1． (4)
分
（Ⅱ）设过点M（－1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T．
连结TF，则TF⊥MT，且TF＝1，MF＝2，所以∠TMF＝30°．…6分
直线MT的方程为x＝错误!y－1，与y2＝4x联立，得y2－4错误!y ＋4＝0．
记直线与抛物线的两个交点为A（x1,y1）、B(x2，y2），则
y1＋y2＝4错误!,y1y2＝4，x1＋x2＝错误!（y1＋y2)－2＝10．
…8分
从而AB 的垂直平分线的方程为y －23＝－错误!（x －5）．
令y ＝0得,x ＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E 的圆心为E (7，0）．…10分
|AB ｜＝错误!＝错误!＝8错误!．
又点E 到直线AB 的距离d ＝7－0＋1
2
＝4，所以圆E 的半径R
＝错误!＝4错误!．
因此圆E 的方程为（x －7）2＋y 2＝48． …12分
（21）解：
（Ⅰ)f (x )的定义域为（0，＋∞)，f
（x )＝2ax － 1
x
．
（1）若a ≤0，则f (x )＜0,f (x ）在(0，＋∞)是减函数； …2分
(2)若a ＞0，则当x ∈(0，错误!)时，f （x )＜0，f (x ）在(0,错误!）是减函数;
当x ∈（错误!,＋∞)时，f (x )＞0，f （x ）在（错误!,＋∞)是增函数． …4分
（Ⅱ）曲线y ＝f （x ）在P (t ，f （t )）处的切线方程为y ＝f （t ）(x －t )＋f （t ），
且P 为它们的一个公共点．
B
C
F
A D
M
x
y
O T
设g（x）＝f(x)－［f(t)（x－t）＋f（t）］，则g(x)＝f(x）－f（t)，有
g（t)＝0，且g（t)＝0．…6分
设h(x）＝g(x)＝－错误!x－错误!－f(t)，则当x∈（0，2)时，
h（x）＝－ 1
4
＋错误!＞0，
于是g(x）在(0，2）是增函数，且g(t)＝0,所以
当x∈(0，t)时，g(x）＜0，g（x)在（0，t）是减函数;
当x∈(t，2)时，g（x）＞0，g(x)在（t，2)是增函数．
故当x∈(0,t)或x∈（t，2］时，g（x)＞g(t)＝0．
…9分
若x∈(2,＋∞)，则
g（x)＝－错误!x2－ln x－［f(t)(x－t)＋f（t)]＝－错误!x2＋(错误!t ＋错误!）x－错误!t2－1－ln错误!
＜－错误!x2＋（错误!t＋错误!)x－错误!t2－1＝－错误!x（x－2t－错误!）－错误!t2－1．
当x＞2t＋错误!时，g(x)＜－错误!t2－1＜0．
所以在区间（2，2t＋错误!)至少存在一个实数x0＞2，使g（x0)＝0．因此曲线y＝f（x)与其在点P(t，f(t））处的切线至少有两个不同的公共点．…12分
（22）解：
（Ⅰ)∵∠ABD＝∠CBD，∠ABD＝∠ECD，∴∠CBD＝∠ECD,
又∠CDB＝∠EDC，∴△BCD∽△CED，∴错误!＝错误!,∴CD2＝DE×DB,
∵DE×DB＝DE×（DE＋BE)＝DE2＋DE×BE，DE×BE＝AE×EC，
∴CD2－DE2＝AE×EC．…6分
（Ⅱ）连结OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形,
∴∠COD ＝60．∴∠CBD ＝错误!∠COD ＝30，
∴∠ACD ＝∠CBD ＝30． (10)
分
（23）解：
（Ⅰ）曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0． ①
当α＝错误!时，曲线C 2的普通方程为y ＝x ． ②
由①，②得曲线C 1与C 2公共点的直角坐标方程为(0，0)，(1，1)． …4分
（Ⅱ)C 1是过极点的圆，C 2是过极点的直线．
设M (ρ，θ)，不妨取A (0,θ)，B (2ρ，θ)，则2ρ＝2cos θ． …7分
故点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ（θ≠错误!)．
它表示以（错误!,0)为圆心，以错误!为半径的圆，去掉点（0,0）． …10分 （24）解:
（Ⅰ）f (x )＝｜x －a |≤3，即a －3≤x ≤a ＋3． 依题意，错误!
由此得a 的取值范围是[0，2］． …4分 (Ⅱ）f （x －a )＋f （x ＋a )＝｜x －2a ｜＋｜x ｜≥｜(x －2a ）－x ｜＝2|a |． …6分
当且仅当（x －2a ）x ≤0时取等号．
D
E
A
B
O
解不等式2|a|≥1－2a,得a≥错误!．
故a的最小值为错误!．…10分。