通信原理课后答案

第一章习题
习题1.1 在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。

解：E 的信息量：()
()b 25.3105.0log E log E 1
log 222E =-=-==P P I
习题1.2 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。

试求该信息源中每个符号的信息量。

解：
b A P A P I A 24
1
log )(log )(1log 222
=-=-==
b I B 415.2163log 2
=-= b I C 415.2163log 2=-= b I D 678.116
5log 2=-=
习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。

若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms 。

传送字母的符号速率为
Bd 10010521
3
B =⨯⨯=
-R
等概时的平均信息速率为
s b 2004log log 2B 2B b ===R M R R
（2）平均信息量为
比特977.1516
log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H
则平均信息速率为 s b 7.197977.1100B b =⨯==H R R
习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解：3
11200 Bd 5*10B B R T -===
习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为
96log 96
1
*4832log 321*
16)(log )()(log )()(22264
1
21
+=-=-=∑∑==i i i i M
i i x P x P x P x P X H
=5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率 1000*5.795790 b/s b R mH === 。

习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us 。

试求码元速率和信息速率。

解：B 6B 11
8000 Bd 125*10
R T -=
== 等概时，s kb M R R B b /164log *8000log 22===
习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。

解
：12V 4.57*10 V -==
习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m ，试求其最远的通信距离。

解：由28D rh =，得
63849 km D ===
习题1.9 设英文字母E 出现的概率为 0.105， x 出现的概率为0.002 。

试求 E 和x 的信息量。

解：
()2222()0.105()0.002
()log E log 0.105 3.25()log ()log 0.0028.97p E p x I E P bit I x P x bit
===-=-==-=-=
习题1.10 信息源的符号集由 A ，B ，C ，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。

试求该信息源符号的平均信息量。

解：
符号
/23.216
5
log 16581log 81log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑
习题1.11 设有四个消息A 、B 、C 、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。

试计算其平均信息量。

解：
符号/75.12
1
log 2181log 8181log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑
习题1.12一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。

对于传输的每一个字母用二进制
脉冲编码，00 代替 A ，01 代替 B ，10 代替 C ，11 代替D 。

每个脉冲宽度为5ms 。

（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。

（2） 若每个字母出现的概率为1
4B p =
,
14C p =,310D p =
, 试计算传输的平均
信息速率。

解：首先计算平均信息量。

（1）
2211
()log ()4*()*log 2 /44i i H P p bit x x =-=-=∑字母
平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s
（2）
2222211111133
()log ()log log log log 1.985 /5544441010
i i H P p bit x x =-=----=∑字母
平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s
习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。

（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。

解：令点出现的概率为
()
A P ,划出现的频率为
()
B P
()A P +()B P =1,
()()1
3
A B P P = ⇒ ()34A P = ()14B P = (1)
22()log ()0.415()log ()2I A p A bit I B p B bit
=-==-=
（2）
符号/811.04
1
log 4143log 43)(log )(222bit x p x p H i i =-=
-=∑ 习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。

其中16 个出现的概率为
1/32，其余112个出现的概率为1/224。

信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。

试计算该信息源的平均信息速率。

解： 符号/4.6224
1log )2241(*112)321(*16)(log )(H 22bit x p x p i i =-+-
=-=∑ 平均信息速率为6.
4*1000=6400bi t /s 。

习题1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率B
R 等于多
少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率
b
R 等于多少？
解：300B R B = 300/b R bit s =
习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
传送 1 小时的信息量 2.23*1000*36008.028Mbit = 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵： max 2
1
log 2.32/5H bit =-=符号
则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*36008.352Mbit =
习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms ，求B
R 和
b
R ；有四进信号，
码元宽度为0.5ms ，求传码率
B
R 和独立等概时的传信率
b
R 。

解：二进独立等概信号：31
2000,2000/0.5*10B b R B R bit s
-=
==
四进独立等概信号：3
1
2000,2*20004000/0.5*10B b R B R bit s -=
===。

小结：
记住各个量的单位： 信息量： bit
2log ()
I p x =-
信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 2()log ()
i I p x p x =-∑
平均信息速率：/(/bit s bit =符号）/ (s/符号) 传码率：B R （B ） 传信率：
b
R bit/s
第二章习题
习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成：
()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=0.5，P (θ=π/2)=0.5 试求E [X (t )]和X R (0,1)。

解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22
t t t π
πππ+
-
cos t ω
习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成：
()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

[]/2
/2/2
/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dt
T ττπθπτθ→∞
-→∞-=+=+++⎰
⎰
222cos(2)j t j t e e πππτ-==+
2222()()()(1)(1)
j f j t
j t j f X P f R e d e
e e d
f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++⎰⎰
习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp() ,t 0
(){0, t<0
t X t -≥=
试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。

X (t )的傅立叶变换为：
(1)004
()()441j t t j t j t
X x t e
dt e e dt e dt j ωωωωω
+∞-+∞--+∞-+-∞====+⎰⎰⎰ 则能量谱密度 G(f)=2
()X f =2
22
416114j f
ωπ=++
习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。

试求：
(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t
解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=⋅-⋅=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ
()X P f 因为21x x 和相互独立，所以[][][]2121x E x E x x E ⋅=。

又因为[][]021==x E x E ，[][]12212x E x E -=σ，所以[][]
22
2
21σ==x E x E 。

故 ()[]
()222222sin 2cos σσππ=+=t t t X E
(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
222exp 21
σσπz x p 。

(3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--== []212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2
ex p f a -
解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。

可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =[]cos *cos()E A t A t ωωτ+
[]2
21cos cos (2)cos ()22A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=22
A
习题2.7 设()t X 1和()t X 2是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为()()ττ21X X R R 和。

试求其乘积X (t )=12()()X t X t 的自相关函数。

解：(t,t+)=E [X (t )X (t+)]=E [1212()()()()X t X t X t X t ττ++]
=[][]1122()()()()E X t X t E X t X t ττ++=12()()X X R R ττ
习题2.8 设随机过程X (t )=m (t )cos t ω，其中m (t )是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
4210,10 kHZ 10 kHZ
()0,X f f P f -⎧-<<=⎨
⎩
其它 (1)试画出自相关函数()X R τ的曲线；(2)试求出X (t )的功率谱密度()X P f 和功率P 。

解：(1)()1, 101010,x R ττττ
τ+-<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其它 其波形如图2-1所示。

图2-1信号波形图
(2)因为)(t X 广义平稳，所以其功率谱密度()()τωX X R P ↔。

由图2-8可见，()τX R 的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
()()()[]⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
⎪⎭⎫
⎝⎛⨯*-++⨯=
2Sa 2Sa 4112Sa 21210
202200ωωωωωωωδωωδππωx P
()()2
10,21d 21===
=
⎰
∞
∞
-x x R S P P 或ωωπ
习题 2.9设信号x (t )的傅立叶变换为X (f ) =sin f
f
ππ。

试求此信号的自相关函数。

解：x (t )的能量谱密度为G (f )=2
()X f =2
sin f f ππ
其自相关函数()21, 10()1010,j f X R G f e df πτ
τττττ+∞-∞
+-≤≤⎧⎪==-≤<⎨⎪⎩
⎰其它
习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()τ
τk -e 2
k R n =
，k 为常数。

(1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。

解：(1)222()()2(2)
k j j n n k k P f R e
d e e d k f τωτ
ωττττπ-+∞-+∞--∞
-∞
===+⎰
⎰
2
1()
τx R -1
τ
1
()20k R P n ==
(2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。

图2-2
习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
()1, 11R τττ=--≤<
试求X (t)的功率谱密度()X P f 并画出其曲线。

解：详见例2-12
习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
4210,10 kHZ 10 kHZ
()0,X f f P f -⎧-<<=⎨
⎩
其它 试求其平均功率。

解：343
10*104
2
4
1080
2
()2102*10*
*103
3
X f P P f df f df +∞
--∞
====⎰⎰
习题2.13 设输入信号/,0
()0,0t e t x t t τ-⎧≥=⎨<⎩ ，将它加到由电阻R 和电容C 组成的高
通滤波器（见图2-3）上，RC ＝。

试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
11
122j f j f τ
πτ
πτ
τ
=
++
输出信号y(t)的能量谱密度为
2
2
()()()()11()(1)
22y R G f Y f X f H f R j fC
j f τππτ
===
+
+
习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=[]()/dx t dt τ式中，τ为常数。

试求该线性系统的传输函数H(f).
()
τn R 2
k τ
()
f P n 1
f
C
R
图2-3RC 高通滤波器
解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*2*()j f X f τπ,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 2f πτ
习题2.15 设有一个RC 低通滤波器如图2-7所示。

当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
2
n 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。

解：参考例2-10
习题2.16 设有一个LC 低通滤波器如图2-4所示。

若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
2
n 的高斯白噪声时，试求 (1) 输出噪声的自相关函数。

(2)输出噪声的方差。

解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为
H(f)=
222
1221422j fC f LC
j fL
j fC
ππππ=
-+
输出过程的功率谱密度为2
002
1
()()()21i n P P H LC
ωωωω==
- 对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为00()exp()4Cn C
R L L
ττ=-
(2) 输出亦是高斯过程，因此 20
000(0)()(0)4Cn R R R L
σ=-∞==
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
2
n 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。

解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。

由 2.15题可知E(y(t))=0 , 20
0(0)4y n R RC
σ==
所以输出噪声的概率密度函数
202())y x RC
p x n =
-
习题2.18设随机过程()t ξ可表示成()2cos(2)t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随变
量，且(0)1/2(/2)1/2p p θθπ====、，试求[(1)]E ξ及(0,1)
R ξ。

图2-4LC 低通滤波器
解：[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;E ξπππ=+++=
(0,1)[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2
R E ξξξππππ==+++=
习题2.19设
1020()cos sin Z t X w t X w t
=-是一随机过程，若
1
X 和
2
X 是彼此独立且
具有均值为 0、方差为2
σ的正态随机变量，试求：
（1）[()]E Z t 、
2[()]E Z t ； （2）()Z t 的一维分布密度函数()f z ； （3）
12(,)
B t t 和
12(,)
R t t 。

解： （1）
10200102[()][cos sin ]cos []sin []0
E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=-=
因为
1
X 和
2
X 是彼此独立的正态随机变量，
1
X 和
2
X 是彼此互不相关，所以
12[]0
E X X =
22222222210200102[()][cos sin ]cos []sin []
E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=+
又1[]0E X =;222112()[][]D X E X E X σ=-= 221[]E X σ⇒=
同理
22
2[]E X σ=
代入可得 22
[()]E Z t σ=
（2）
由[()]E Z t =0；22
[()]E Z t σ= 又因为()Z t 是高斯分布
可得 2
[()]D Z t σ=
2
2[()])2z f Z t σ=- (3)
12121212(,)(,)[()][()](,)
B t t R t t E Z t E Z t R t t =-=
101201102202[(cos sin )(cos sin )]
E X w t X w t X w t X w t =--
221010220102220120[(cos cos sin sin )]cos ()cos E X w t w t X w t w t w t t w σστ=+=-=
令
12t t τ
=+
习题2.20求乘积()()()Z t X t Y t =的自相关函数。

已知()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为()
x R τ、
()
y R τ。

解：
因()X t 与()Y t 是统计独立，故 [][][]E XY E X E Y =
()[()()][()()()()] [()()][()()]()()Z X Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R ττττττττ=+=++=++=
习题2.21若随机过程
0()()cos()
Z t m t w t θ=+，其中()m t 是宽平稳随机过程，且自相关
函数()m R τ为 1,10
()1,01
0,m R τττττ+-<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩其它 θ是服从均匀分布的随机变量，它与()m t 彼
此统计独立。

（1） 证明()Z t 是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数()
Z R τ的波形；
（3） 求功率谱密度
()
Z P w 及功率S 。

解：
（1）()Z t 是宽平稳的[()]E Z t ⇔为常数；
00[()][()cos()][()][cos()]
E Z t E m t w t E m t E w t θθ=+=+
20
1[cos()][()]0
2w t d E Z t π
θθπ
=+=⎰
1212101202(,)[()()][()cos()()cos()]
Z R t t E Z t Z t E m t w t m t w t θθ==++
120102[()()][cos()cos()]
E m t m t E w t w t θθ=++
1221[()()]()
m E m t m t R t t =-只与
21t t τ
-=有关：
令
21t t τ
=+
0101{cos()cos[()]}
E w t w t θτθ+++
01010010{cos()[cos()cos sin()sin }
E w t w t w w t w θθτθτ++-+
200100101cos *[cos ()]sin *[cos()sin()]
w E w t w E w t w t τθτθθ=+-++
0011
cos *{[1cos 2()]}0
2w E w t τθ=++-
01
cos()2w τ=
所以1201
(,)cos()*()
2Z m R t t w R ττ=只与τ有关，证毕。

（2）波形略；
00
1
(1)cos(),10
2
11
()cos()*()(1)cos(),01
22
0,
Z m
w
R w R w
τττ
ττττττ
⎧
+-<<
⎪
⎪
⎪
==-≤<
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
其它
()()
Z Z
P w Rτ
⇔
而()
Z
Rτ的波形为
可以对
()
m
Rτ求两次导数，再利用付氏变换的性质求出()
m
Rτ的付氏变换。

''2
sin(/2)
()(1)2()(1)()()
/22
m m
w w
R P w Sa
w
τδτδτδτ
=+-+-⇔==
22
00
1
()[()()]
422
Z
w w w w
P w Sa Sa
++
⇒=+
功率S：
(0)1/2
Z
S R
==
习题2.22已知噪声()
n t的自相关函数
()exp()
2
n
a
R a
ττ
=-
，a为常数：求
()
n
P w和S；
解：
因为22
2
exp()
a
a
w a
τ
-⇔
+
所以
2
22
()exp()()
2
n n
a a
R a P w
w a
ττ
=-⇔=
+
(0)
2
a
S R
==
习题2.23()t
ξ是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。

在区间（-1，1）上，该自相关函数
()1
Rττ
=-。

试求()t
ξ的功率谱密度()
P w
ξ。

解：见第2. 4 题
2
()1()
2
w
R Sa
ττ
=-⇔
因为
()(2)
T n
t t n
δδ
∞
=-∞
=-
∑
所以()()*()
T
t R t
ξτδ
=
据付氏变换的性质可得
()()()
R
P w P w F w
ξδ
=
而
()(2)()
T n n
t t n w n
δδπδπ
∞∞
=-∞=-∞
=-⇔-
∑∑
故
22
()()()()*()()*()
22
R n n
w w n
P w P w F w Sa w n Sa w n
ξδ
π
πδππδπ
∞∞
=-∞=-∞
-
==-=-
∑∑习题2.24将一个均值为0，功率谱密度为为0/2
n的高斯白噪声加到一个中心角频率为c w、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。

解：
（1）
20
()()()()
2
o i
n
P w H w P w H w
==
因为0
20
()()
w
G w Sa w
w
π
τ
⇔
,故2()()
B
G w BSa B
π
πτ
⇔
又2
()()*[()()]
B c c
H w G w w w w w
π
δδ
=++-
1
()()cos()
c c c
w w w w w
δδτ
π
++-⇔
由付氏变换的性质1212
1
()()()*()
2
f t f t F w F w
π
⇔
可得
00
2
()()()*[()()
22
()()cos()
o B c c
c
n n
P w H w G w w w w w
R n BSa B w
π
δδ
τπττ
==++-
⇔=
（2）
[()]0
o
E t
ξ=；2
00
(0)[()]
R E t Bn
ξ
==；2
()[()]0
o
R E t
ξ
∞==
所以
2
(0)()
R R Bn
σ=-∞=
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为2
00
[()])
2t f t Bn ξ=-
习题2.25设有RC 低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为0/2
n 的白噪声
时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。

解：
1
1()11jwC
H w jwRC R jwC ==
++
(1)
2
021
()()()*
21()O i n P w P w H w wRC ==
+
(2) 因为
222exp()a a w a τ-⇔+
所以
002
1
()*()exp()2()14o O n n p w R wRC RC RC ττ=
⇔=-+
习题2.26将均值为0，功率谱密度为0/2
n 高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数；
（2） 求输出噪声的方差。

解：
()R H w R jwL =
+
(1) 2
2
0022
()()()*()exp()2()4o i O R n n R P w P w H w R R wL L L ττ==⇔=-+
(2)
0[()]0
E n t =；
20(0)()(0)4n R R R R L σ=-∞==
习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为b
T ，脉冲
幅度取1±的概率相等。

现假设任一间隔b
T 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无
关，且过程具有宽平稳性，试证：
（1） 自相关函数
0,()1/,b
b b
T R t T T ξτττ⎧>⎪=⎨
-≤⎪⎩
（
2）功率谱密度
2
()[()]
b b
P w T Sa fT
ξ
π
=。

解：
（1）
()[()()]
R E t t
ξ
τξξτ
=+
①当b
T
τ>
时，()t
ξ与()
t
ξτ+无关，故()
R
ξ
τ
=0
②当b
T
τ≤
时，因脉冲幅度取1±的概率相等，所以在2b T内，该波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为
1
4。

（A）波形取-1-1、11 时，
在图示的一个间隔b
T内，
1
()[()()]*11/4
4
R E t t
ξ
τξξτ
=+==
（B）波形取-1 1、1 -1 时，
在图示的一个间隔b
T内，
1
()[()()]*()
4
b
b b
T
R E t t
T T
ξ
ττ
τξξτ
-
=+=-
当b
T
τ≤
时，
11
()[()()]2*2*()1
44
b
b b b
T
R E t t
T T T
ξ
τττ
τξξτ
-
=+=+-=-故
0,
()
1/,
b
b b
T
R t
T T
ξ
τ
ττ
⎧>
⎪
=⎨
-≤
⎪⎩
（2）
2()24A w Sa ττ⇔
,其中2A τ为时域波形的
面积。

所以
2()()(
)2b
b wT R p w T Sa ξξτ⇔=。

习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，()t η是平稳的，求
1()t ξ与2()t ξ的互功率谱密度的表示式。

（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）
解：
110
()()()t t h d ξηααα
∞
=-⎰
220()()()t t h d ξηβββ
∞
=-⎰
121,11121()[()()]
R t t E t t τξξτ+=+
11120
1200
[()()()()]
()()()E t h d t h d h h R d d ηηαααητβββαβταβαβ
∞
∞
∞∞
=-+-=+-⎰⎰⎰⎰
所以
121212()()[()()()jw jw P w R e
d d d h h R
e d τ
τ
ητττ
ααβταββ∞∞∞∞
---∞
-∞
-∞
-∞
=
=
+-⎰
⎰⎰⎰
令'
τταβ=+-
'
''*12120
()()()[()()()()
jw jw jw P w h e
d h e
d R
e d H w H w P w α
β
τηηααββττ∞∞
∞
---∞
==⎰⎰⎰
习题2.29若()t ξ是平稳随机过程，自相关函数为()
R ξτ，试求它通过系统后的自
相关函数及功率谱密度。

解：
()()()()1jwT h t t t T H w e δδ-=+-⇔=+ 1/2
()(22cos )H w wT =+
2
()()()2(1cos )()
O P w H w P w wT P w ξξ==+
()2()2cos *()2()()()
jwT jwT O P w P w wT P w P w e e P w ξξξξ-=+=++
2()()()
R R T R T ξξξτττ⇔+-++
习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为0/2
n 的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。

解：
0[()]0
E n t =;
2
0000021()*()exp()21()44n n n P w R wRC RC RC RC ττσ=
⇔=-⇒=+
又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
2
2[])
2x f x σ=-
第三章习题
习题3.1 设一个载波的表达式为()5cos1000c t t π=，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+cos200t π。

试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。

解： ()()()()()t t t c t m t s ππ1000cos 5200cos 1+==
()
t t t t
t t ππππππ800cos 1200cos 2
5
1000cos 51000cos 200cos 51000cos 5++=+= 由傅里叶变换得
()()()[]()()[]()()[]4004004
5
6006004550050025
-+++-+++-++=
f f f f f f f S δδδδδδ 已调信号的频谱如图3-1所示。

图3-1 习题3.1图
习题3.2 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少？ 解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2，上、下边带的振幅均为5/4。

习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ ，基带调制信号是频率为2 kHZ 的单一正弦波，调制频移等于5kHZ 。

试求其调制指数和已调信号带宽。

解：由题意，已知m f =2kHZ ，f ∆=5kHZ ，则调制指数为
5
2.52
f m f m f ∆=
== 已调信号带宽为 2()2(52)14 kHZ m B f f =∆+=+=
习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。

证明：设基带调制信号为'()m t ，载波为c (t )=A 0cos t ω，则经调幅后，有
'
0()1()cos AM s t m t A t ω⎡⎤=+⎣⎦
已调信号的频率 2
2'22
0()1()cos AM AM
P s t m t A t ω⎡⎤==+⎣⎦
22'222'22000cos ()cos 2()cos A t m t A t m t A t ωωω++
因为调制信号为余弦波，设
2(1)1000 kHZ 100
f m B m f f =+∆==，故
2'
'2
1
()0, ()22
m m t m t ==≤
则：载波频率为 2
2
2
0cos 2
c A P A t ω==
边带频率为 '222
'2
2
2
0()()cos 24
s m t A A P m t A t ω=== 因此1
2
s c P P ≤。

即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。

习题3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即z (t )=x (t )y (t )，其傅立叶变换为卷积关系：Z ()=X ()*Y ()。

证明：根据傅立叶变换关系，有
()()[]()()ωωπ
π
ωωωd e d 2121
t
j 1
⎰⎰∞+∞-∞
+∞--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
*u u Y u X Y X F 变换积分顺序:()()[]()
()u u Y u X Y X -t j 1e d 2121
ωω
ωππ
ωω⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=
*⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-F ()()u Y u X t ut d d e 21e 21j j ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎰⎰+∞∞-+∞∞-ωωππω ()()()()
t y t x u
t y u X ut
==⎰+∞∞-d e 21j π
又因为 ()()()()[]ωZ t y t x t z -1F == 则 ()[]()()[]ωωωY X Z -*=-11F F 即 ()()()ωωωY X Z *=
习题3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ ，振幅等于1V 。

它对频率为10mHZ 的载波进行相位调制，最大调制相移为10rad 。

试计算次相位调制信号的近似带宽。

若现在调制信号的频率变为5kHZ ，试求其带宽。

解：由题意，m 10 kHZ , A 1 V m f == 最大相移为 max 10 rad ϕ= 瞬时相位偏移为()()p t k m t ϕ=，则10p k =。

瞬时角频率偏移为d
()
sin p m m d t k t dt
ϕωω=则最大角频偏p m k ωω∆=。

因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指
数 10p m
f p m
m
k m k ωω
ωω∆=
=
==
因此，此相位调制信号的近似带宽为
2(1)2(110)*10220 kHZ f m B m f =+=+=
若m f =5kHZ ，则带宽为
2(1)2(110)*5110 kHZ f m B m f =+=+=
习题3.7 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制，并且最大调制频移为1mHZ 。

试求此频率调制信号的近似带宽。

解：由题意，最大调制频移1000 kHZ f ∆=，则调制指数1000/10100f m
f
m f ∆=== 故此频率调制信号的近似带宽为
63()10cos(2*1010cos 2*10)s t t t ππ=+
习题3.8设角度调制信号的表达式为63()10cos(2*1010cos 2*10)s t t t ππ=+。

试求：
（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。

解：（1）该角波的瞬时角频率为
6()2*102000sin 2000t t ωπππ=+
故最大频偏 200010*
10 kHZ 2f π
π
∆== （2）调频指数 3
31010*1010f m f m f ∆===
故已调信号的最大相移10 rad θ∆=。

（3）因为FM 波与PM 波的带宽形式相同，即2(1)FM f m B m f =+，所以已调信号的带宽为
B=2(10+1)*31022 kHZ =
习题3.9 已知调制信号 m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt)，载波为cos104πt ，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达试，并画出频谱图。

解：
方法一：若要确定单边带信号，须先求得m(t)的希尔伯特变换 m’（t ）=cos （2000πt -π/2）+cos （4000πt -π/2） =sin （2000πt ）+sin （4000πt ） 故上边带信号为
S USB (t)=1/2m(t) coswct-1/2m’(t)sinwct
=1/2cos(12000πt)+1/2cos(14000πt) 下边带信号为
SLSB(t)=1/2m(t) coswct+1/2m’(t) sinwct =1/2cos(8000πt)+1/2cos(6000πt )
图3-2 信号的频谱图
方法二：
先产生DSB 信号：sm(t)=m(t)coswct=···
，然后经过边带滤波器产生SSB 信号。

习题3.10将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。

若信号的传输函数H(w)如图所示。

当调制信号为m(t)=A[sin100πt +sin6000πt]时，试确定所得残留边带信号的表达式。

解：
图3-3 信号的传递函数特性
根据残留边带滤波器在fc 处具有互补对称特性，从H(w)图上可知载频
fc=10kHz，因此得载波cos20000πt。

故有
s m(t)=[m0+m(t)]cos20000πt
=m0cos20000πt+A[sin100πt+sin6000πt]cos20000πt
=m0cos20000πt+A/2[sin(20100πt)-sin(19900πt)
+sin(26000πt)-sin(14000πt)
S m(w)=πm0[σ(w+20000π)+σ(W-20000π)]+jπA/2[σ(w+20100π)-
σ(w+19900π)+σ(w-19900π)+σ(w+26000π)-σ(w-26000π) -σ(w+14000π)+σ(w-14000π)
残留边带信号为F(t)，且f(t)<=>F(w)，则F(w)=Sm(w)H(w)
故有：
F(w)=π/2m0[σ(w+20000π)+σ(w-20000π)]+jπA/2[0.55σ(w+20100π) -0.55σ(w-20100π)-0.45σ(w+19900π)+ 0.45σ(w-19900π)+σ(w+26000π) -σ(w-26000π)
f(t)=1/2m0cos20000πt+A/2[0.55sin20100πt-0.45sin19900πt+sin26000πt]
习题3.11设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)=0.5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，而载波为100kHz，已调信号的功率为10kW.若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，试问：
1.）该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性H(w)?
2.）解调器输入端的信噪功率比为多少?
3.）解调器输出端的信噪功率比为多少?
4.）求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图型表示出来。

解：
1.）为了保证信号顺利通过和尽可能的滤除噪声，带通滤波器的宽度
等于已调信号带宽，即B=2fm=2*5=10kHz，其中中心频率为100kHz。

所以
H(w)=K ，95kHz≤∣f∣≤105kHz
0，其他
2.）Si=10kW
Ni=2B* Pn(f)=2*10*103*0.5*10-3=10W
故输入信噪比Si/Ni=1000
3.）因有G DSB=2
故输出信噪比S0/N0=2000
4.）据双边带解调器的输出嘈声与输出噪声功率关系，有：
N0=1/4 Ni =2.5W
故Pn (f)= N0/2fm=0.25*10-3W/Hz
=1/2 Pn(f) ∣f∣≤5kHz
图3-4解调器输出端的噪声功率谱密度
习题3.12设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn（f）=5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的单边带信号，并设调制信号m（t）的频带限制在5kHz。

而载频是100kHz，已调信号功率是10kW。

若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器，试问：
1）该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性。

2）解调器输入端信噪比为多少?
3）解调器输出端信噪比为多少?
解：1）H(f)= k ，100kHz≤∣f∣≤105kHz
= 0 ，其他
2）Ni=Pn(f)·2fm=0.5*10-3*2*5*103=5W
故Si/Ni=10*103/5=2000
3）因有G SSB=1，S0/N0= Si/Ni =2000
习题3.13某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为10-9W，由发射机输出端到调制器输入端之间总的传输耗损为100dB，试求：
1）DSB/SC时的发射机输出功率。

2）SSB/SC时的发射机输出功率。

解：
设发射机输出功率为S T，损耗K=S T/Si=1010(100dB)，已知S0/N0=100·（20dB），N0=10-9W
1）DSB/SC方式：
因为G=2，
Si/Ni=1/2·S0/N0=50
又因为N i=4N0
Si=50Ni=200N0=2*10-7W
S T=K·Si=2*103W
2）SSB/SC方式：
因为G=1，
Si/Ni= S0/N0=100
又因为Ni=4N0
Si=100Ni=400N0=4*10-7W
S T=K·Si=4*103W
习题3.14根据图3-5所示的调制信号波形，试画出DSB波形
图3-5调制信号波形
解：
图3-6已调信号波形
习题3.15根据上题所求出的DSB图形，结合书上的AM波形图，比较它们分别通过包络检波器后的波形差别
解：
讨论比较：DSB信号通过包络检波器后产生的解调信号已经严重失真，所以DSB信号不能采用包络检波法;而AM可采用此法恢复m(t)
习题 3.16已知调制信号的上边带信号为S USB(t)=1/4cos(25000πt)+1/4cos(22000πt)，已知该载波为cos2*104πt求该调制信号的表
达式。

解：由已知的上边带信号表达式S USB(t)即可得出该调制信号的下边带信号表达式：
S LSB(t)=1/4cos(18000πt)+1/4cos(15000πt)
有了该信号两个边带表达式，利用上一例题的求解方法，求得
m(t)=cos(2000πt)+cos(5000πt)
习题3.17设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在10kHz，而载波为250kHz，已调信号的功率为15kW。

已知解调器输入端的信噪功率比为1000。

若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，求双边噪声功率谱密度Pn(f)。

解：
输入信噪比Si/Ni=1000
Si=15kW
Ni=2B* Pn(f)=2*15*103* Pn(f)=15W
故求得Pn(f)=0.5*10-3W/Hz
习题3.18假设上题已知的为解调器输出端的信噪比，再求双边噪声功率谱密度Pn(f)。

解：
G DSB=2
故输出信噪比
S0/N0=2Si/Ni=1000
所以Si/Ni=500
由上一例题即可求得：Pn(f)=1*10-3W/Hz
习题 3.19某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为10-8W，DSB/SC时的发射机输出功率为2*103W试求：从输出端到解调输入端之间总的传输损耗?
解：已知：输出噪声功率为N0=10-9W
因为G=2，
Si/Ni=1/2·S0/N0=50
因为Ni=4N0
Si=50Ni=200N0=2*10-6W
所以损耗K=S T/Si=109
习题3.20将上一题的DSB/SC时的发射机输出功率改为SSB/SC时的发射机输出
功率，再求：从输出端到解调输入端之间总的传输损耗?
解：
因为G=1，
Si/Ni= S 0/N 0=100
因为Ni=4N 0，Si=100Ni=400N 0=4*10-6W 所以，损耗K=S T /Si=5*108
习题3.21根据图所示的调制信号波形，试画出AM 波形。

解：
AM 波形如下所示：
习题3.22根据图所示的调制信号波形，试画出DSB 波形。

试问DSB 信号能不能采用包络检波法
图3-9调制信号波形
图3-10已调信号波形
DSB信号通过包络检波器后产生的解调信号已经严重失真，所以DSB信号不能采用包络检波法
习题3.23简述什么是载波调制?常见的调制有哪些?
答：载波调制，就是按调制信号(基带信号)的变换规律去改变载波某些参数的过程。

调制的载波可以分为两类：用正弦型信号作为载波;用脉冲串或一组数字信号作为载波。

通常，调制可以分为模拟调制和数字调制。

习题3.24试叙述双边带调制系统解调器的输入信号功率为什么和载波功率无关?
答：因为输入的基带信号没有直流分量，且h(t)是理想带通滤波器，则得到的输出信号事物载波分量的双边带信号，其实质就是m(t)与载波s(t)相乘。

所以双边带调制系统解调器的输入信号功率和载波功率无关。

习题3.25什么是门限效应?AM信号采用包络检波法解调时为什么会产生门限效应?
答：在小信噪比情况下包络检波器会把有用信号扰乱成噪声，这种现象通常称为门限效应。

进一步说，所谓门限效应，就是当包络检波器的输入信噪比降低到一个特定的数值后，检波器输出信噪比出现急剧恶化的一种现象。

该特定的输入信噪比值被称为门限。

这种门限效应是由包络检波器的非线性解调作用引起的。

而AM信号采用包络检波法解调时会产生门限效应是因为：在大信噪比情况下，AM信号包络检波器的性能几乎与同步检测器相同。

但随着信噪比的减小，包络检波
器将在一个特定输入信噪比值上出现门限效应。

习题3.26已知新型调制信号表达式如下：sinΩtsinw c t，式中w c=8Ω，试画出它的
波形图。

图3-11调制信号波形图
习题3.27已知线性调制信号表达式如下：
(1+0.5sinΩt)cosw c t
式中w c=4Ω，试画出它的波形图
解：(1+0.5sinΩt)coswct= coswct+0.5sinΩtcoswct，所以：
两者相加即可得出它的波形图：
图3-12调制信号波形图
习题3.28
某调制方框图3-14
如下，已知m(t)的频谱如下面图3-13所示。

载频w 1<<w 2，w 1>w H ，且理想低通滤波器的截止频率为w1，试求输出信号s(t)，并说明s(t)为何种一调制信号。

图3-13 m(t)的频谱
解：s 1(t)=m(t)cosw 1tcosw 2t s 2(t)=m(t)sinw 1tsinw 2t
经过相加器后所得的s(t)即为：
s(t)=s1(t)+s2(t)
=m(t)[cosw1cosw2+sinw1sinw2]
=m(t)cos[(w1-w2)t]
由已知w1<<w2 w1>w H
故：
s(t)=m(t)cosw2t
所以所得信号为DSB信号
第四章习题
习题4.1 试证明式()()∑∞
-∞
=Ω-=∆n nf f T f s 1δ。

证明：因为周期性单位冲激脉冲信号()()T s
n t t nT δδ∞
=-∞
=-∑，周期为s
T ，其傅里叶
变换 ()2()n
s
n F t n ωπ
δω∞
Ω=-∞
∆=-∑
而 2
2
11()s s
s T jn t n T s
S
F t dt T T ωδ--=
=
⎰
l 所以 2()()s n s n T π
ωδωω∞
Ω=-∞∆=
-∑
即 1
()()s
n s
f nf T δω∞
Ω=-∞
∆=
-∑
习题4.2 若语音信号的带宽在300～400Hz 之间，试按照奈奎斯特准则计算理论上信号不失真的最小抽样频率。

解：由题意，H f =3400Hz ,L f =300Hz ,故语音信号的带宽为 B =3400-300=3100Hz
H f =3400Hz =13100⨯+3
31⨯3100=kB nB +
即n =1,k =331。

根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为
s f =)1(2n k
B +=2⨯3100⨯（1+331
）=6800Hz
习题4.3 若信号()sin(314)314s t t t =。

试问：
（1） 最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？
（2）
在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min 的抽样，需要保
存多少个抽样值？
解：()sin(314)314s t t t =，其对应的傅里叶变换为
()S ω=⎩⎨⎧≤其他
,0314
,314ωπ
信号()s t 和对应的频谱()S ω如图4-1所示。

所以Hz 5023142H H ===ππωf 根据低通信号的抽样定理，最小频率为Hz 1005022H s =⨯==f f ，即每秒采100个抽样点，所以3min 共有：100⨯3⨯60=18000个抽样值。

习题 4.4 设被抽样的语音信号的带宽限制在300～3400Hz ，抽样频率等于8000Hz 。

试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。

解：已抽样语音信号的频谱如图4-2所示。

(a) (b)
图4-1习题4.3图
图4-2 习题4.4图
习题4.5 设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号量噪比等于多少分贝？
解：由题意M=256，根据均匀量化量噪比公式得 ()
dB 16.48256lg 20lg 20dB
===M N S q q
习题4.6 试比较非均匀量化的A 律和μ律的优缺点。

答：对非均匀量化：A 律中，A=87.6；μ律中，A =94.18。

一般地，当A 越大时，在大电压段曲线的斜率越小，信号量噪比越差。

即对大信号而言，非均匀量化的μ律的信号量噪比比A 律稍差；而对小信号而言，非均匀量化的μ律的信号量噪比比A 律稍好。

习题4.7 在A 律PCM 语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于0.3时，输出的二进制码组。

解：信号抽样值等于0.3，所以极性码1c =1。

查表可得0.3∈（13.93，11.98），所以0.3的段号为7，段落码为110，故234c c c =110。

)
第7段内的动态范围为：
(11.9813.93)16-≈1
64
，该段内量化码为n ,则
164n ⨯
+1
3.93
=0.3，可求得n ≈3.2，所以量化值取3。

故5678c c c c =0011。

所以输出的二进制码组为11100011。

习题4.8 试述PCM 、DPCM 和增量调制三者之间的关系和区别。

答：PCM 、DPCM 和增量调制都是将模拟信号转换成数字信号的三种较简单和常用的编码方法。

它们之间的主要区别在于：PCM 是对信号的每个抽样值直接进行量化编码：DPCM 是对当前抽样值和前一个抽样值之差（即预测误差）进行量化编码；而增量调制是DPCM 调制中一种最简单的特例，即相当于DPCM 中量化器的电平数取2，预测误差被量化成两个电平+∆和-∆，从而直接输出二进制编码。

第五章习题
习题5.1 若消息码序列为1101001000001，试求出AMI 和3HDB 码的相应序列。

解： A MI 码为
3HDB 码为
习题5.2 试画出A MI 码接收机的原理方框图。

解：如图5-20所示。

图5-1 习题5.2图
习题 5.3 设)(1t g 和)(2t g 是随机二进制序列的码元波形。

它们的出现概率分别是P 和
)1(P -。

试证明：若k t g t g P =-=
)]
(/)(1[1
21，式中，k 为常数，且10<<k ，则此序列中将
无离散谱。

证明：若k t g t g P =-=
)
(/)(11
21，与t 无关，且10<<k ，则有
1)
()]
()([212=-t g t g t g P
即 )()1()()()(2221t g P t g t Pg t Pg -=-=
0)()1()(21=-+t g P t Pg
所以稳态波为 ∑∑--+-=)()1()()(s
2
s
1
nT t g P nT t g P
t v
0)]()1()([s
2
s
1
=--+-=∑nT t g P nT t g P
即0)(=w P v 。

所以无离散谱。

得证！
习题5.4 试证明式()()()()⎰
+-=1
11d 2sin 2sin 4W f ft W f H Wt t h ππ。

证明：由于⎰
∞
∞
-=
df e f H t h ft j π211)()(，由欧拉公式可得
⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞
-∞∞-+=+=f
ft f H ftdf f H f
ft ft f H t h d 2sin )(j 2cos )(d )2sin j 2)(cos ()(1111ππππ
由于)(1f H 为实偶函数，因此上式第二项为0，且
⎰∞
∞
-=f ft f H t h d )2cos()(2)(11π
令，'d d ,'
f f W f f =+=，代入上式得
1
0100010010111000001001011+--+-++-+-+
k
a。