【数学】山东省沂水县第一中学2018届高三第三轮考试数学(文)试题

山东省沂水县第一中学2018届高三第三轮考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
{}2560A x x x =--
<{}
3B y y ==+A B ⋂=A ． B ． C ． D ． 5,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭5,63⎛⎫ ⎪⎝⎭[)3,6()3,62.若在复平面内，点所对应的复数为，则复数的虚部为（ ）
()3,2A -z 2z A ．12 B ．5 C ． D ．
5-12-3.已知，则“”是“是第三象限角”的（ ）a R ∈cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭
αA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件4.已知实数，则的大小关系为（ ）23
322
5log ,log ,2a b e c e ==-=,,a b c A ． B ． C ． D ．
a c
b <<
c a b <<b a c <<a b c <<5.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填（ ）
S 21
-A ． B ． C ． D ．64?a <64?a ≤128?a <128?
a ≤6.
线的为（ ）
A ．
B ． C
D ． 212x -=21y =212y -=221x y -=
7.如图，网格中小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A ．
． C ．
．
63
2
+632+36+36+8.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点在直线上，是直线
()2:20C x py p =
>F l M l N 与抛物线的一个交点，且
，过点作垂直于轴的直线，该直线与抛物
MF C 40
FM FN += N
y 线的另一个交点为，则 (为坐标原点）的面积为（ ）
C N 'ONN '∆O A B C 9.已知定义在上，且周期为2的函数满足，若函数R ()f x ()2232,1023,01x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨+≤<⎪⎩有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
()()3g x f x kx =--k A ． B ． 222,,2353⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．
D ．222,,233
⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222,353⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，10.已知函数在上的最小值为，点为函数()2cos 3cos 444x x x f x m =++[]0,π32
A ()f x 的图象在轴正方向上第一个最高点，点为函数的图象在轴正方向上第二个零点，x
B ()f x x 点为坐标原点，则（ ）
O tan ABO ∠=A ． B ． C ． D ． 1
π23π12π13π
11.已知实数满足，则的取值范围为（ ）,x y ()()431360x y x y ⎧≥⎪⎨⎪-+-≤⎩
y x
A ．
B ．
C ．
D ． 33,2⎛⎤- ⎥⎝⎦33,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,5⎛⎤- ⎥⎝⎦15,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
12.已知正方体中，点是线段的中点，点是直线上异于的1111ABCD A B C D -E BC M 1BD 1,B D 点，则平面可能经过下列点中的（ ）
DEM A ． B ． C ． D ．
A 1C 1A C 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量不共线，且，则实数的值为 ．,m n ()()
3//2m n m n λ+- λ14.已知圆的半径为6，是圆的两条相互垂直的直径，分别以为圆O 1234,O O O O O 1234,,,O O O O 心，4为半径作圆，圆与各圆的交点与点连线得到的三角形如图中阴影部分所示，则往O O 圆内随机投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为 ．
O 15.已知中，角所对的边分别为，且，
ABC ∆,,A B C ,,a b
c b c ==，则的面积为
．
cos cos cos a B b A C +=16.已知关于的不等式的解集为，则实数的值为 x 1ln ln 22x m x ⎛⎫-≥- ⎪⎝
⎭()0,+∞m ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知公差不为0的等差数列的前三项的和为15，且.
{}n a 11034a a a a =（1）求数列的通项公式；
{}n a （2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的最小值.1
1n n n b a a -={}n b n n S n S m <m 18.如图，四棱锥中，为等边三角形，，为P ABCD -PCD ∆2CD AD AB ==,,,E S T Q 的中点，，平面平面.
, CD PA PB AD ,,90ABC BCD PEA ∠=∠=∠=︒STRQ ⋂ABCD RQ =
（1）证明：平面平面；
PAE ⊥STRQ （2）若，求三棱锥的体积.
1AB =Q BCT -19.长沙某公司生产一种高科技晶片100片，生产过程中由于受到一些不可抗因素的影响，晶片会受到一定程度的磨损，因此在生产结束之后需要由测试人员进行相应的指标测试.指标测试情况统计如表所示：
若，则称该晶片为合格品，否则该晶片为劣质品.
60M ≥
（1）试求本次生产过程中该公司生产出合格品的频率以及数量；
（2）求这批晶片测试指标的平均值；
（3）现按照分层抽样的方法在测试指标在与之间的晶片中抽取6个晶片，[)60,80[]100,120再从这6个晶片中任取2个晶片进入深入分析，求恰有1个晶片的测试指标在之间的[)60,80概率.
20.已知椭圆过点，且离心率为，直线过点，()2222:10x y C a b a b +=>>52,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭23l ()0,1-是椭圆上关于对称的两点.
,M N l （1）求椭圆的标准方程；
C （2）求直线在轴上的截距的取值范围.
l x 21.已知函数.
()2ln f x x a x =-（1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值；
()f x ()()3,3f a （2）求函数的单调区间；
()f x （3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.()()21ln 222a a g x x f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝
⎭[]1,4a 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），直线的参数
xOy C 2
1x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩α1l
方程为（为参数），直线的直角坐标方程为.以原点为极点，轴的正半x y t ⎧⎪⎨=⎪⎩
t 2l y =x 轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线以及直线的极坐标方程；
C 12,l l （2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的值.
1l C ,O P 2l C ,O Q OP OQ -23.选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值为.
()12f x x x =---m
（1）在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并结合图象求出的值；
()f x m （2）若，不等式恒成立，求的最小值.
,a m b m >>ln ln 1a b ⋅≥ab
试卷答案
一、选择题
1-5: CDBDA 6-10: BBDCA 11、12：AC
二、填空题
13.
15.或 16. 23
-
3+3-2-三、解答题
17.解；（1）依题意，即，
11034a a a a =()()()1111923a a d a d a d +=++即，故.
2221111956a a d a a d d +=++123a d =又，即，故.
12315a a a ++=15a d +=13,2a d ==故数列的通项公式.
{}n a 21n a n =+（2）依题意，.()()111111212322123n n n b a a n n n n -⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭
则，11111111111123525727922123n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
故恒成立，则，所以实数的最小值为.1112323m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭16m ≥m 16
18.解：（1）因为为的中点，，所以四边形为E CD 2,90CD AB ABC BCD =∠=∠=︒ABCE 矩形，所以.
AE CD ⊥由已知易得，所以.
//RQ CD RQ AE ⊥
因为，故平面，故平面平面.90,PEA PE CD E ∠=︒⋂=AE ⊥PCD PCD ⊥ABCD 因为，所以平面.
PE CD ⊥PE ⊥ABCD 因为平面，所以.
RQ ⊂ABCD RQ PE ⊥又，所以平面.
PE AE E ⋂=RQ ⊥PAE 所以平面平面.
PAE ⊥STRQ （2）由（1）可知，平面，又是的中点，
PE ⊥ABCD T PB ∴点到平面的距离为
T BCQ 12PE =易知
.(
)11112222BCQ ABCD S S ∆==⨯⨯+=梯形故三棱锥的体积.
Q BCT
-1338
V ==19.解：（1）依题意，该公司生产出合格品的概率，234125255
P ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭数量为（片）.4100=805⨯（2）依题意，所求平均值为.23108230507090110742525252525
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）依题意，可知抽取的6个晶片中有5个晶片的测试指标在之间，
[)60,80记为，1个晶片的测试指标在之间，记为，
,,,,a b c d e []100,120A 则任取2个晶片，所有的情况为
，()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a A b c b d b e b A c d c e c A d e d A e A 共15种，其中满足条件的有5种，
故所求概率.13P =20.解：（1）依题意，，解得，
222224251
923a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩
229,5a b ==故椭圆的标准方程为.22
195
x y +=（2）记直线与轴的交点为.
l x D 由题可知直线的斜率一定存在，故可设直线的方程为.
MN MN y kx m =+
当时，直线的方程为，所以.0k ≠l 11y x k
=--D x k =-将直线的方程代入椭圆的方程，消去得.MN y 22259189)450(k x kmx m +++-=设，线段的中点为，则
()()1122,,,M x y N x y MN R ，代入直线的方程121222189,59259R x x km km x x x k k +-+=
==-++MN 得，2
559R m y k =+将点的坐标代入直线的方程得.
R l ()2945*k m =-又因为，()()()2
22184599450km k m ∆=-+->化简得.
22590k m --<将代入上式得，解得，
()*240m m -<04m <<所以，且
，k <<0k ≠所以
.D x k ⎛⎫⎛=-∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝当时，直线的方程为，其在轴上的截距为0.
0k =l 0x =x 综上所述，在轴上的截距的取值范围为.
l
x ⎛ ⎝21.解：（1），而，即，解得.()2a f x x x '=-()34f '=2343
a ⨯-=6a =（2）函数的定义域为.
()f x ()0,+∞①当时，，的单调递增区间为；
0a ≤()0f x '>()f x ()0,+∞②当时，.0a >(
)2222x x a x a f x x x x x
⎛+ -⎝⎭⎝⎭'=-==当变化时，的变化情况如下:
x ()(),f x f x '
由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.()f
x ⎛ ⎝
⎫+∞⎪⎪⎭
（3），于是.()21ln 22
g x x ax x =--()21212ax x g x ax x x +-'=--=-因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，
()g x []1,4()0g x '≤[]1,4即在上恒成立.2210ax x x
+-≥[]1,4又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立.
()g x ()0,+∞2210ax x +-≥[]1,4于是有，设，则，所以有212a x x ≥-1t x =114
x ≤≤，
，()22211a t t t ≥-=--114x ≤≤当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，14t =()211t --716-()0g x ≤[]1,4716
a ≥-即实数的取值范围是.a 7,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
22.解：（1）依题意，曲线的普通方程为，将C ()()22215x y -+-=cos ,sin x y ρθρθ=
=代入曲线的极坐标方程为C 4cos 2sin ρθθ
=+由题易知直线的普通方程为，1l y =故直线的极坐标方程为.
1l ()6R π
θρ=∈易知直线的极坐标方程为.
2l ()3R π
θρ=∈（2）联立，得到.6
4cos 2sin πθρθθ
⎧=⎪⎨⎪=+
⎩1OP =同理
.
2OQ =故.
1OP OQ -=-23.解：（1）依题意，函数的图象大致如图所示，结合图象可知.
()f x 1m =
（2）因为，故，则.()()2
2
ln ln ln 1ln ln 44
a b ab a b +≤⋅≤=()2
ln 4ab ≥2ab e ≥当且仅当时等号成立，所以的最小值为. a b e ==ab 2e。