文数惠州市2018届高三第一次调研考试 精品

惠州市2018届高三第一次调研考试
数学试题（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：
锥体的体积公式：Sh V 3
1
=
（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 第I 卷 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求．）
1．已知全集U={1，2，3，4},集合A={1,3，4}，B={2，3}，则图中阴影 部分表示的集合为( )
A ．{2} B.{3} C.{1,4} D.{1,2,3,4} 2．复数
i
i
+-11的值是( ) A.1 B.-1 C.i D. -i 3．已知向量)4,(),2,1(x b a ==，，若向量b a ⊥，则x=( )
A.2
B.-2
C.8
D.-8 4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如 右图）。

由图中数据可知身高在[120，130]内的 学生人数为( )
A.20
B.25
C.30
D.35
5．设{a n }是等差数列，且a 2+a 3+a 4=15，则这个数列的前5项和S 5=( ) A.10 B.15 C.20 D.25
6．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体， 则该组合体的侧视图的面积为( )
A.8π
B.6π
C.34+
D.32+ 7.函数1)4
cos(
)4
sin(
2)(-+-=x x x f π
π
，x∈R 是( )
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
8．设平面区域D 是由双曲线14
22
=-x y 的两条渐近线和抛物线y 2
=-8x 的准线所围成的
三角形（含边界与内部）．若点(x ，y)∈D，则目标函数z=x+y 的最大值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.3
9.“lgx，lgy ，lgz 成等差数列”是“y 2
=xz”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10.规定记号“⊗”表示一种运算，即2b a ab b a ++=⊗（a,b 为正实数），若31=⊗k ，
的，只记第一题的分。

）
14．（坐标系与参数方程选做题）过点)3
,2(π
且平行于极轴的直线的极坐标方程为_______．
15.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A
直线PO 交圆O 于B ，C 两点，AC=2，∠PAB=1200
， 则圆O 的面积为____．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=4，13=c ,sinA=4sinB. (1)求b 边的长； (2)求角C 的大小。

17.（本小题满分12分）
甲、乙二名射击运动员参加今年深圳举行的第二十六届世界大学生夏季运动会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）：
甲 5 6 9 10 乙
6
7
8
9
(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
(2)现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由． 18.（本小题满分14分）
如图的几何体中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F 为CD 的中点．
(1)求证：AF//平面BCE ：
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE 。

19．（本小题满分14分）
己知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -1，等差数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=S 3。

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式： (2)设11+=
n n n b b c ，数列{c n }的前n 项和为T n ，问2012
1001
>n T 的最小正整数n 是多少？
20.（本小题满分14分）
如图，在△ABC 中，2
7
||||=
=AC AB ，2||=BC ，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中 点P 。

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右顶点A 1作直线l 与圆E ：(x-1)2+y 2
=2 相交于M 、N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分
割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出 直线l 的方程；若不能，请说明理由．
21.（本小题满分14分）
已知函数b ax x x f +-=3)(3在x=1处有极小值2。

(1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数32)('3
)(+-=x x f m
x g 在[0，2]只有一个零点，求m 的取值范围。

参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
D
D
C
D
C
B
D
A
B
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11.1； 12.720； 13.2)2(22=-+y x ； 14.3sin ==θρ； 15.π4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分） 解：(1)依正弦定理
B
b
A a sin sin =
有bsinA=asinB …………3分 又a=4，sinA=4sinB ，∴b=1 …6分
(2)依余弦定理有21
142131162cos 222=⨯⨯-+=-+=ab c b a C ………9分
又
1800<<C ，︒
=∴60C ……12分 17．（本小题满分12分）
解：(1)记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(x ，y)表示基本事件
从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，则共有(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，6)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(9，6)，(9，7)，(9，8)，(9，9)，(10，6)，(10，7)，(10，8)，(10，9)。

16种结果 …2分 记A={甲的成绩比乙高}
则A 包含(9，6)，(9，7)，(9，8)，(10，6)，(10，7)，(10，8)，(10，9)有7种结果……4分
16
7
)(=
∴A P …………6分 (2)甲的成绩平均数5.7410
9651
=+++=x 乙的成绩平均数5.749
8762
=+++=x 甲的成绩方差25.44)5.710()5.79()5.76()5.75(2
22221=-+-+-+-=S 乙的成绩方差25.14
)5.79()5.78()5.77()5.76(222222=-+-+-+-=S ………10分
21x x = ，2221
S S > ∴选派乙运动员参加决赛比较合
适 ……………………12分 18.（本小题满分14分）
(1)证明：取CE 的中点G ，连结FG 、BG. ∵F 为CD 的中点，∴GF//DE 且DE GF 2
1
=
.
∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB//DE,∴GF//AB.
又DE AB 2
1
=
，∴GF=AB ............. 3分 ∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF//BG ． …5分 ⊂/AF 平面BCE ，⋅⊂BG
平面BCE ，∴AF//平面BCE ．…………7分 (2)证明：∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD …………9分 ∵DE ⊥平面ACD ，⊂
AF 平面ACD ，∴DE ⊥AF ． ……………10分 又CD ∩DE=D ，∴AF ⊥平面CDE ． …12分 ∵BG//AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ……13分 ⋅⊂BG 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ． ……14分 19.（本小题满分14分）
解：(1)当n=1时，a 1=S 1=2a 1-1，∴a 1=1 …1分 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2a n -1)-(2a n-1-1)=2a n -2a n-1，
即21
=-n n a a
………3分
∴数列{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，12,21-==∴-n
n
n n S a …5分 设{b n }的公差为d ，b 1=a 1=1, b 4=1+3d=7,∴d=2
122)1(1-=⨯-+=∴n n b n
……8分 (2))12)(12(111
+-==+n n b b c n n n
)121121(21+--=n n ………10分 ++-+-=∴ 5
1
31311(21n
T 21)121121=+--n n 12)1211(+=+-n n n …12分
依椭圆的定义有：
=+=||||2PC PB a +-++
22)0453()121(=-+-22)0453()121(44
749=+ ∴a=2， ………6分
又c=1，∴b 2=a 2-c 2
=3 …7分
∴椭圆的标准方程为13
42
2=+y x ……8分
（求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即可求出椭圆方程， 也可以给满分。

）
(2) 椭圆的右顶点A 1(2，0)，圆E 圆心为E(1，0)，半径2=r 。

假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧， 则∠MEN=900
，圆心E(1，0)到直线l 的距离12
2
==
r d ……10分 当直线l 斜率不存在时，l 的方程为x=2，
此时圆心E(1，0)到直线l 的距离d=1（符合） ………11分 当直线l 斜率存在时，设l 的方程为y=k(x-2)，即kx-y-2k=0， ∴圆心E(1，0)到直线l 的距离11
||2
=+=
k k d ，无解 ………13分
综上：点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时l 方程为x=2 …14分。

21.（本小题满分14分）
解：(1)f'(x)=3x 2
-3a …………1分
依题意有⎩⎨⎧=+-==-=231)1(033)1(
'b a f a f ， ………3分
解得⎩
⎨⎧==41
b a …………4分
此时)
1)(1(333)('2
+-=-=x x x x f ， x ∈(-1，1)，f'（x ）<0，x ∈(1，+∞)，f'(x)>0，满足f(x)在x=1处取极小值
∴f （x ）=x 3
-3x+4 ………5分
(2)f'(x)=3x 2
-3
32)('3)(+-=∴x x f m x g 32)33(3
2+--=x x m 322
+--=
m x mx …………6分 当m=0时，g(x)=-2x+3，∴g(x)在[0，2]上有一个零点2
3
=x （符合）， ……8分
当m ≠0时，
①若方程g(x)=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g(x)在[0，2]上有一个零点。

则⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤=+--=∆2100)3(44m
m m
，得253+=m ……10分 ②若g(x)有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外， 则g(0)g(2)≤0，即(-m+3)(3m-1)≤0，解得3
1
≤m ，或m ≥3 …………12分 综上：m 的取值范围是3
1≤
m ，或253+=m ，或m ≥3 …………14分。