广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试(B卷)数学(文)试题(精编含解析)

可化为
，
因此，直线
在 轴截距最小时， 取最大值，
由图像可得，当直线
过点 时，在 轴截距最小，
由
解得
，
所以此时， 取最大值为
.
故答案为 11
【点睛】本题主要考查简单的线性规划，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义求解
即可，属于常考题型.
14.已知直线 与圆
相交于 ， 两点，且线段 的中点 坐标为
，
，
又 平面 ，平面
平面 ，平面
平面
∴ 平面 ；
所以
由（1）有 平面 ，得
∴ 设点 到平面
的距离为
由 ∴
【点睛】本题主要考查线面垂直的 判定，以及求点到面的距离，熟记判定定理，灵活运用几何法求点到面 的距离即可，属于常考题型.
19.已知椭圆 （1）求椭圆 的方程；
的右焦点为 ，离心率为 .
（2）设过点 的直线 交椭园 于 ， 两点，若
所以
.
（2）由（1）知
所以
因为当
时
，当
时
所以 所以
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及含绝对值的等差数列的求和，熟记等差数列的通项公式、 前 项和公式即可，属于常考题型.
18.如图，等边三角形 所在平面与梯形 所在平面互相垂直，且有
，
，
.
（1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离.
【答案】(1)见解析.(2) . 【解析】 【分析】 （1）先取 中点 ，连接 ，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
4.函数
的单调增区间为（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
【答案】C
【解析】
【分析】
D.
，
先将函数解析式化简整理，得到 结果.
，再由
，求解，即可得出
【详解】因为
，
由
可得
，
即函数 故选 C
的单调递增区间为
，.
【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.
5.在某次高中学科竞赛中，4000 名考生的参赛成绩统计如图所示，60 分以下视为不及格，若同一组中数据 用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）
A. 成绩在
分的考生人数最多
B. 不及格的考生人数为 1000 人
C. 考生竞赛成绩的平均分约 70.5 分
D. 考生竞赛成绩的中位数为 75 分
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图中数据，逐项判断即可得出结果.
【详解】A 选项，由频率分布直方图可得，成绩在
的频率最高，因此考生人数最多，故 A 正确；
2019 年汕头市普通高考第二次模拟考试试题
文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.
1.已知全集 ，集合
，
，则
A.
B.
C.
【答案】B
【解析】
【分析】 先化简集合 ，得到 的补集，再和集合 求交集，即可得出结果.
【详解】因为
【答案】(1) 【解析】 【分析】 （1）先由
.(2)200. 得到
，两式作差，化简整理，即可证明数列
为等差数列，进而可求出其通项公式；
（2）先由（1）的结果，得到 ，进而得到
【详解】（1）当 时，因为
①
所以
②
①-②得：
即
又
即
，再由求和公式，即可得出结果.
所以数列 是以 19 为首项-2 为公差的等差数列，
（ 为坐标原点）的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1) 【解析】
.(2)
或Байду номын сангаас
.
【分析】
（1）根据题意，得到 ，进而求出 ，即可得到椭圆方程；
（2）先由题意设直线 的方程为
，联立直线与椭圆方程，设
，
，由韦达定理，根
据
的面积
【详解】（1）由题意可知
，求出 ，即可得出结果. ，
离心率 所以
，所以
所以椭圆 的方程为
6.执行如图所示的程序框图，若输出的
，则判断框内应填入的条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图，分析框图的作用，结合输出结果，即可得到判断条件.
【详解】由程序框图可得：初始值为
，
第一步：
，需要继续循环；
第二步：
，需要继续循环；
第三步：
，需要进入循环；
。。。。
由此可知，该程序框图即是计算等比数列 的前 项和，
于常考题型.
3.已知平面向量 ， 均为单位向量，若向量 ， 的夹角为 ，则
A. 25
B. 7
C. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
（） D.
先由向量 ， 的夹角为 ，得到
，进而可计算出
的结果.
【详解】因为向量 ， 的夹角为 ，所以
所以
.
，又 ， 均为单位向量，
故选 C
【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.
17.记 为数列 的前 项和，若
，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
，设数列 的前 项和为 ，求 的值.
，
（2）由题意可以设直线 的方程为
，
由
得
，
设
，
所以，
，
所以
的面积
. 创
因为
的面积为 ，所以
.
解得
.
所以直线 的方程为
或
.
【点睛】本题主要考查椭圆方程，以及椭圆中的直线问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，
属于常考题型.
20.某工厂 ， 两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利 10 元、8 元、6 元，现从 ， 生产线的产品中各随机抽取 100 件进行检测，结果统计如下图：
，求出函数 的值域，再由存在实数 ，使得 即可，进而可求出结果.
成立，只需
【详解】因为
，
当 时，
单调递增，故
；
当 时，
，
当且仅当 综上可得，
，即
时，取等号；
；
又因为存在实数 ，使得
成立，
所以只需
，即
，
解得
.
故选 A
【点睛】本题主要考查分段函数的值域，存在实数 ，使得
成立，转化为
是
解题的关键，属于常考题型.
因此，直线 的方程为
，即
.
故答案为
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型.
15.已知 为锐角，且
【答案】 . 【解析】 【分析】
，则
________.
先由 果.
化简整理得到
，求出 ，再由 为锐角，即可得出结
【详解】因为
，所以
，
即
，所以
，
解得
或
，
又因为 为锐角，所以
又数列 的前 项和为
，
由 即该程序框图需要计算
可得
； ，
因此判断框中需要填入
故选 C
【点睛】本题主要考查程序框图，只需分析框图的作用，结合题意求解即可，属于常考题型.
7.已知 是抛物线
的焦点，过焦点 的直线 交抛物线的准线于点 ，点 在抛物线上且
，
则直线 的斜率为（ ）
A. ±l
B.
C.
D.
【答案】C
，又 ，所以
（） D.
，
因
，所以
.
故选 B 【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于常考题型.
2.已知复数
，
，则 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由
得到其共轭复数 ，再由复数的乘法，即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
.
故选 A
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算、以及复数的共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属
，则直线 的方程为
________.
【答案】
.
【解析】
【分析】
由圆的方程，得到圆心 的坐标，由圆的特征可得：
，从而可求出直线 的斜率，再由直线过点 ，
即可得出直线方程. 【详解】因为圆
的 圆心坐标为
，又点 坐标为
，
所以直线 的斜率为
；
又因为 是圆的一条弦， 为 的中点，
所以
，故
，即直线 的斜率为 ，
， ，
） ，
因此
.
故选 B
【点睛】本题主要考查函数奇偶性、对称性、以及周期性的综合应用，熟记函数基本性质即可，属于常考
题型.
9.如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由几何体的三视图，确定该几何体为一个大球的 ，和一个小球的 组合而成，再根据题中数据，即可得 出结果.
（1）根据已知数据，判断是否有 99%的把握认为一等级产品与生产线有关？ （2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？ （3）估计该厂产量为 2000 件产品时的利润以及一等级产品的利润.
B 选项，由频率分布直方图可得，成绩在
的频率为 ，因此，不及格的人数为
，
即 B 正确；
C 选项，由频率分布直方图可得：
平均分等于
，即 C 正确；
D 选项，因为成绩在
的频率为 ，由
的频率为 ，
所以中位数为 故选 D
，故 D 错误.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.
【详解】由几何体的三视图，可确定该几何体为一个大球的 ，和一个小球的 组合而成， 由题意可得，大球的半径为 2，小球的半径为 1，
所以该几何体的体积为
.
故选 C
【点睛】本题主要考查由几何体的三视图，求几何体的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.
10.已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（ ）
，
因此
.
故答案为 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题，熟记公式即可，属于常考题型.
16.长方体 ________.
中，
，
，
， 是棱 上的动点，则
的面积最小值是
【答案】 . 【解析】
【分析】
先由题意，以点 为坐标原点，
方向分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，求出 点、
点坐标，再设出点 坐标，表示出
单调递减；
故选 B
【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，结合题中图像即可求解，属于常
考题型.
11.平面四边形 为（ ）
中，
，
，
，
，
，则四边形 的面积
A. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意设
【详解】因为
又
，
所以由
B.
C.
D.
，由余弦定理求出
即可求出结果.
，所以设
，
，
得
C 中，由
则 所以 所以 时，
得
，令
在
上恒成立，
在
上单调递减，又
，
，即 ，所以函数
， 单调递减，不满足题意，所以 C 错误；
D 中，由
得
，令
，
则 所以
在
上恒成立，
在
上单调递增，又
，
所以当 时，
，即 ，所以函数
单调递增；
当
时，
，即 ，所以函数
当 趋近于 0 时， 趋近于 ，不满足题意，故 D 错误.
，再根据余弦定理求出
所以
，
又
，所以
由余弦定理可得，
，所以 ，
， 可得
，解得
，
故
. 故选 B
，最后由
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可，属于常考题型.
12.已知函数
，
则 的取值范围为（ ）
A.
B.
【答案】A
【解析】
【分析】
，设 为实数，若存在实数 ，使得
C.
D.
成立，
先由
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知实数 ， 满足约束条件 【答案】11. 【解析】 【分析】
，则
的最大值是________.
由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为 结合图像即可得出结果.
，当直线
【详解】由约束条件
作出可行域如下：
在 轴截距最小时， 取最大值，
又目标函数
8.已知 是定义在 上的奇函数，满足
A. 0
B.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由 是定义在 上的奇函数，满足
即可求出结果.
【详解】因为函数 满足
，
所以 关于直线 对称，所以
，
又 是定义在 上的奇函数，所以
，
又由
可得
所以
，故
因此，函数 是以 4 为周期的周期函数，
所以
，又
，且
，则
（
C.
D.
得到函数 的对称轴，以及周期，再由
（2）先由（1）求出
，取 中点 ，连接 ，由线面垂直的判定定理证明 平面 ；
根据 可求出结果.
求出
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接
则四边形
为菱形，
，再设点 到平面 的距离为 ，由
，即
即有 所以
， ，
又 平面 ，平面
平面 ，平面
平面
，
∴ 平面 ；
（2）由（1）可得
，所以
，
，
取 中点 ，连接 ，
则
【解析】
【分析】
先根据
，结合抛物线的定义，求出 点坐标，得到 点坐标，进而可得直线斜率.
【详解】因为点 在抛物线
上，且
，点 在抛物线的准线上，
由抛物线的定义可知， 直线 ，设
，
则
，解得 ，所以 ，故
，
故
，又 ，
所以直线 的斜率为
.
故选 C
【点睛】本题主要考查求抛物线中直线的斜率，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型.
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的方法，逐项判断各选项中的单调性，即可得出结果.
【详解】A 中，由
所以当 时， B 中，由
，即 得
所以当 时， ，即
当
时， ，即
得
，由
得，
单调递增，不满足题意，所以 A 错误；
，由
得，
单调递增；
单调递减；且 趋近于 0 时， 趋近于 1，所以 B 正确；